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1、,一、无穷限的广义积分二、无界函数的广义积分,第五节 广义积分,一、无穷限的广义积分,两极限均存在称 收敛，两极限至少有一个不存在称 发散.,上述各广义积分统称为无穷限的广义积分，简称无穷积分.,2.说明,（1）设，则,这里A与B是相互独立的.,（2）当 为奇函数时,不能按积分区间关于原点对称的定积分处理为零。因为,解.,3.例题,例1 计算广义积分.,图57,解,极限不存在,是发散的,例2 计算广义积分.,例3 计算广义积分.,解 先计算定积分,则,.,.,即,二、无界函数的广义积分,1.定义2 设 在 上连续，在点 的右邻 域内无界,取，若 存在，则称此极 限为 在 上的广义积分，记作,这
2、时称广义积分 收敛；若极限不存在，称广义积分 发散.,类似地，设 在 上连续，在点 的左邻域内无界，取，若 存在，则称此极限为 在 上的广义积分，记作，即,.,这时称广义积分 收敛；若极限不存在，称广义积分 发散.,设 在 上除点 外连续，在点 的邻域内无界，若广义积分 和广义积分 都收敛，则称上述两广义积分之和为 在 上的广义积分，记为，,即,这时称广义积分 收敛，若上述两极限至少有一个不存在，则称广义积分 发散.,2.说明,（1）在定义2中 在点 的邻域内都无界，这些点均为 的无界间断点，也称为 的瑕点，故无界函数的广义积分也称为瑕积分.,当 为 的瑕点时，,当 为 的瑕点时，,当 为 的
3、瑕点时,(3)若积分区间是有限的，必须先考察是定积分还是瑕积分，如是瑕积分而按定积分计算就会出现错误，即使是按定积分求得的结果与按瑕积分求得的结果相同，前者的概念也是错误的.,(4)若积分区间是无穷区间，被积函数是无界函数的广义积分，应把广义积分分拆成几项，使每项是单纯的无穷积分或瑕积分，再按各自的积分方法计算.,3.例题,例4 计算广义积分.,解，是瑕点，,这个广义积分的几何意义是当 时，图58中阴影部分趋近于 的面积值.,图58,例5 计算广义积分.,解 因为，所以 是瑕点，,而，,所以 发散.,.,注：若按定积分计算（不考虑 是瑕点),就会导致以下的错误.,例6 考察广义积分 的敛散性.,解 是瑕点，积分区间是无穷区间，,先考察 的敛散性.,当 时，,当 时，,当 时收敛，当 时发散；,再考察 的敛散性.,当 时，,当 时，,当 时收敛，当 时发散.,则广义积分 发散.,
