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1、一、无穷限的广义积分,第四节广义 积 分,二、无界函数的广义积分,一、无穷区间的广义积分,例 1求由曲线 y=e-x，,y 轴及 x 轴所围成开口曲边梯形的面积.,解这是一个开口曲边梯形，,为求其面积，任取 b 0,+)，,在有限区间 0,b 上，,以曲线 y=e-x为曲边的曲边梯形面积为,b,即,当 b+时，阴影部分曲边梯形面积的极限就是开口曲边梯形面积，,定义 1设函数 f(x)在 a,+)上连续，,取实数 b a，,如果极限,则称此极限为函数 f(x)在无穷区间a,+)上的广义积分，,这时也称广义积分收敛，,记作,即,存在，,否则称广义积分发散.,定义 2设函数 f(x)在(-,b 上连
2、续，,取实数 a b，,如果极限,则称此极限值为函数 f(x)在无穷区间(-,b 上的广义积分，,这时也称广义积分收敛，,记作,即,存在，,否则称广义积分发散.,定义 3设函数 f(x)在(-,+)内连续，,且对任意实数 c，,如果广义积分,则称上面两个广义函数积分之和为 f(x)在无穷区间(-,+)内的广义积分，,这时也称广义积分收敛，,记作,即,都收敛，,否则称广义积分发散.,若 F(x)是 f(x)的一个原函数，并记,则定义 1，2，3 中的广义积分可表示为,例 2求,解,例 3判断,解,由于当 x+时，sin x 没有极限，所以广义积分发散.,例 4计算,解用分部积分法，得,例 5判断
3、,解,故该积分发散.,例 6证明广义积分,当 p 1 时，收敛；当 p 1 时，发散.,证 p=1 时，则,所以该广义积分发散.,当 p 1 时，,综合上述，,该广义积分收敛.,当 p 1 时，,该广义积分发散.,p 1 时，则,二、无界函数的广义积分,定义 4设函数 f(x)在区间(a,b 上连续，,取 e 0，,如果极限,则称此极限值为函数 f(x)在区间(a,b 上的广义积分，,这时也称广义积分收敛，,否则称广义积分发散.,且,记作,即,存在，,定义 5设函数 f(x)在区间 a,b)上连续，,取 e 0，,如果极限,则称此极限值为函数 f(x)在区间 a,b)上的广义积分.,这时也称广义积分收敛，,否则称广义积分发散.,且,即,存在，,定义 6设函数 f(x)在 a,b上除点 c(a,b)外连续，,如果下面两个广义积分,则称这两个广义积分之和为函数 f(x)在区间 a,b 上的广义积分，,这时也称广义积分收敛，,否则，称广义积分发散.,记作,即,都收敛，,若 F(x)是 f(x)的一个原函数，,则定义 4，5，6 中的广义积分可表示为,例 7判断,解,故积分收敛.,-,例 8讨论广义积分,解当 p=1 时，,则,故积分发散.,当 p 1 时,综上所述，得：当 p 1 时，该广义积分收敛，,
