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1、弹性力学第2章 弹性力学平面问题的基本理论,（第二讲）边界条件与圣维南原理 平面问题的求解方法 常体力问题的应力函数解法,弹性力学平面问题的基本方程,第2章 平面问题的基本理论,力平衡微分方程：,几何方程：,物理方程：,构成定解问题 边界条件,第2章 平面问题的基本理论2.2 边界条件,2.2 边界条件,应力边界,位移边界,应变边界,2.2.1位移边界条件,平面问题中应有关于x方向和y方向的位移边界条件,第2章 平面问题的基本理论2.2 边界条件,其中，和 为指定的沿x方向和y方向位移(平面问题)，Su为给定的位移边界。,（在Su上）,2.2.2 应力边界条件,在力边界上取微小体元dxdy1(
2、平面问题)并考察它的平衡问题,如图所示。,第2章 平面问题的基本理论2.2 边界条件,由微小体元的x方向合力平衡，有,第2章 平面问题的基本理论2.2 边界条件,这里，ds为边界上斜边的长度，边界外法线n的方向余弦为l=dy/ds，m=dx/ds，则上式简化为,（在Sp上）,第2章 平面问题的基本理论2.2 边界条件,同样，可建立微元体在y方向上合力和力矩的平衡方程，将微小体元的三个平衡方程汇总后，有,其中，Sp为给定的力边界，由于，则重写上式，有,（在Sp上）,如图所示弹性体，试写出其上、下、左、右四个边界上的应力边界条件。,例,第2章 平面问题的基本理论2.2 边界条件,【解】在上边界y=
3、-h/2上，不存在任何面力，即,可以看出，上边界的外法线方向为坐标轴y轴的负方向，因此，它的方向余弦为l=0，m=-1。,可以得到，在上边界上应有,第2章 平面问题的基本理论2.2 边界条件,应用应力边界方程,于是，上边界的应力边界条件为,注：千万不要想当然地认为是x和y为0，在不确定的情况下，一定要应用边界方程推写应力边界条件！,左边界x=0上（外法线的方向余弦为l=-1，m=0）的应力边界条件为,第2章 平面问题的基本理论2.2 边界条件,同理，可给出下边界y=h/2上（外法线的方向余弦为l=0，m=1）的应力边界条件为,右边界x=a上（外法线的方向余弦为l=1，m=0）的应力边界条件为,
4、如图所示薄板条，在y方向受均匀拉力作用，试证明在板中间突出部分的尖端A处各应力分量为零。,例,第2章 平面问题的基本理论2.2 边界条件,【证】设AC和AB的方向余弦分别为(l1,m1)和(l2,m2)，可以给出边界条件,由于A点是两个边界的交点，因此上述四个方程同时成立。然而，l1 l2 0，m1 m2 0，且取值具有任意性，因此，必有x=y=xy=0，即板中间突出部分的尖端A处各应力分量为零。,在AC上：在AB上：,在上面这个例题中，弹性体右端面上受到集中力P的作用，应如何给出其边界条件？,问题,第2章 平面问题的基本理论2.2 边界条件,【简短的分析】属于分布力；外力P是集中力。,因此，
5、无法直接应用上面所建立的应力边界方程。为了解决这个问题，就必须把集中力等效地转化为分布力，或者把分布（应）力转化为集中力进行处理。这种处理方法的正确与否就是圣维南原理所要论证的要点。,2.2.3 圣维南原理,第2章 平面问题的基本理论2.2 边界条件,圣维南原理表明，如果物体一小部分边界上的面力变换为分布不同，但静力等效的面力（主矢量相同，对于同一点的主矩也相同），那么，近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受的影响可以忽略不计。,圣维南于1855年提出了局部效应原理，以后称为圣维南原理。,圣维南原理并没有严格的理论证明。,第2章 平面问题的基本理论2.2 边界条件,思考题：,为什么圣维南原
6、理所提到的是“物体一小部分边界上的面力”而非“集中力”？,什么是静力等效？,主矢量和主矩所指的是什么？,圣维南原理解决了什么问题？,重新回到前面所提出的问题上来。弹性体右端面上的集中力P可以转化为与其静力等效的力系，如图所示。,第2章 平面问题的基本理论2.2 边界条件,显然，转化为分布力的静力等效力系，可以应用应力边界条件方程表示为,考虑静力等效条件，应有,代入,弹性体右端面的力边界条件,2.2.4 力（积分的应力）边界条件,这样一来，就给出了应用应力边界方程来处理集中力边界的基本方法。,第2章 平面问题的基本理论2.2 边界条件,圣维南原理给出了答案。,问题是：这种处理方法是否正 确？,可
7、以看出，这里的边界条件不同于前面所提到的应力边界条件，它与合力相关，因此称之为力边界条件。它也被称之为积分的应力边界条件。,【p32习题28(2)】试列出图214所示问题的全部边界条件。在其端部边界上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件。,例,第2章 平面问题的基本理论2.2 边界条件,它的外法线方向余弦为0,-1，由此可得，其应力边界条件为,【解】在上边界y=-h/2上，有,在下边界y=h/2上，有,第2章 平面问题的基本理论2.2 边界条件,在左端面x=0，分别作用有沿水平方向和垂直方向的集中力FN与FS，以及弯曲力矩M，无法直接利用应力边界方程给出应力边界条件，只能利用圣维南原理建
8、立力（积分的应力）边界条件。该端面的外法线方向余弦为-1,0，由x方向上的力平衡条件，有,它的外法线方向余弦为0,1，由此可得，其应力边界条件为,第2章 平面问题的基本理论2.2 边界条件,从上述关系可得，端部边界上的三个力（积分应力）边界条件为,由y方向上的力平衡条件，有,由力矩平衡条件，有,右端面x=l为一固定端，有位移边界条件,第2章 平面问题的基本理论2.2 边界条件,利用圣维南原理，考虑到该面的外法线方向余弦为1,0，可以得到其三个积分应力边界条件为,根据弹性体的力平衡条件，可以得到作用在该面上的合力与合力矩分别为,第2章 平面问题的基本理论2.3 平面问题的求解方法,2.3 平面问
9、题的求解方法,迄今，已经建立了求解弹性力学平面问题的基本方程。可以看出，它一共涉及到8个变量，是8个变量组成的一个偏微分方程组。从理论上讲，联合所给问题的边界条件，就能对问题进行求解。为了便于求解，需对方程作适当简化。由此提出了平面问题的求解方法。,问题的实质和核心就是减少变量的个数！通常采用类似于代数方程中的消元法进行求解,第2章 平面问题的基本理论2.3 平面问题的求解方法,位移法是按位移求解方法的简称。它是以位移分量为基本未知函数，从基本方程和边界条件中消去应力和形变分量，导出只含位移分量的方程和边界条件。并由此解出位移分量，再求出形变分量和应力分量。,应力法是按应力求解方法的简称。它是
10、取应力分量为基本未知函数，从方程和边界条件中消去位移和形变分量，导出只含应力分量的方程和边界条件。并由此解出应力分量，再求出形变分量和位移分量。,平面问题有两种求解方法：即位移法和应力法。,第2章 平面问题的基本理论2.3 平面问题的求解方法,两种求解方法:位移法、应力法,平面问题基本方程中分别涉及到三类变量，即应力分量、应变分量和位移分量。理论上，可以依据这三类变量建立三种求解方法。,思考题：为什么在弹性力学平面问题中没有按应变的求解方法？,取u和v为基本未知函数。为了消元，将其它未知函数用基本未知函数u和v表示。形变分量用u和v表示，可以直接采用几何方程(b)。,第2章 平面问题的基本理论
11、2.3 平面问题的求解方法,2.3.1 位移法,对物理方程(c)进行联合求解，得到用形变分量表示的应力分量，再将用u和v表示形变分量的几何方程(b)代入，可得用u和v表示的应力分量,(f),按位移求解的基本方程。将所得到的应力分量(f)代入力平衡微分方程(a)，得到用位移分量u和v表示的平衡微分方程,第2章 平面问题的基本理论2.3 平面问题的求解方法,(h),(g),用位移分量表示的边界条件。将式(f)代入式(e)在Su上的应力边界条件，得,位移边界条件即为式(d)。,平面问题按位移求解的方法，就是要使位移分量u，v满足所求解区域内的平衡微分方程(g)，并在边界上满足应力边界条件(h)和位移
12、边界条件(d)。求出位移分量后，可由式(b)求出形变分量，由式(f)求出应力分量。,第2章 平面问题的基本理论2.3 平面问题d的求解方法,对于平面应变问题，只要将各方程中的E、分别作替换,取x，y和xy为基本未知变量。为了消元，将其它未知函数用基本未知函数x，y和xy表示。,第2章 平面问题的基本理论2.3 平面问题的求解方法,2.3.2 应力法,形变分量的应力表示已由物理方程(c)给出。再由此形变分量去求位移分量时，需要通过积分。因此，位移分量用应力分量表示的式子，不仅表达式较为复杂，而且还包含积分带来的未定项。这样使得位移边界条件用应力分量来表示时既复杂又难以求解。所以在按应力求解函数式
13、解答时，通常只需考虑全部为应力边界的问题。,按应力求解的基本方程。两个平衡微分方程中，只包含应力分量，可以作为求解应力分量的方程。由于应力分量有三个，因此还缺少一个方程。这个补充方程，可以从几何方程和物理方程中消去位移和形变分量得出。首先从几何方程中消去位移分量。几何方程式(b)的第一式对变量y、第二式对变量x求二阶偏导数相加，减去第三式对变量x和y的偏导数，得形变协调条件，即相容性方程,第2章 平面问题的基本理论2.3 平面问题的求解方法,(i),第2章 平面问题的基本理论2.3 平面问题的求解方法,(j),再将物理方程(c)代入上式，消去形变分量，便得出用应力表示的相容性方程（其中应用平衡
14、微分方程进行了简化，但没有消元）为,平衡微分方程(a)和相容性方程(j)便是在区域内求解应力的基本方程。,应力边界条件。考虑全部边界均为应力边界条件的问题，因此式(e)给出了平面应力问题的应力边界条件。,按应力求解平面应力问题时，应力分量x，y和xy必须满足下列条件：区域内的平衡微分方程；区域内的相容性方程；在边界上的应力边界条件，其中假设只求解全部为应力边界条件的问题；对于多连体，还需考虑位移的单值条件。,第2章 平面问题的基本理论2.3 平面问题的求解方法,形变协调条件（相容性方程）的物理意义：变形协调条件是连续体中位移连续性的必然结果；变形协调条件是形变对应的位移存在且连续的必要条件。,
15、第2章 平面问题的基本理论2.3 平面问题的求解方法,2.3.3 常体力问题的应力函数法,在常体积力情况下，fx和fy均为常数，按应力进行求解所导出的相容方程(j)简化为,此时，平衡微分方程的解可以直接导出。其实，根据微分方程理论知，非齐次微分方程的解是非齐次微分方程的特解和齐次微分方程的通解之和。在常体力情况下，非齐次方程(b)的任一特解可以表示为,而对于的齐次微分方程,第2章 平面问题的基本理论2.3 平面问题的求解方法,的通解，已由艾里在1862年导出。艾里指出一定存在着某个函数(x,y)，使得,显然，上述应力分量表达式使得力平衡方程所对应的齐次微分方程自动满足。函数(x,y)称之为艾里
16、应力函数，也简称为应力函数（关于它的导出过程，将在下次课作详细讲解）。,由此可见，平衡微分方程的全解为,第2章 平面问题的基本理论2.3 平面问题的求解方法,问题的解答就转化为了求解一个应力函数(x,y)的情况，这个应力函数不仅满足平衡微分方程，还使平面问题的求解大为简化。从求解三个应力未知函数变为求解一个应力函数。应该强调的是，导出应力函数的过程本身就证明了它的存在性，因此我们可以用各种方法去寻求 的解答。,应力函数 应当满足的条件,第2章 平面问题的基本理论2.2 平面问题的求解方法,相容方程；将上面所得到的应力分量表达式代入以应力分量表示的相容方程，可得,注意到fx和fy为常量，上式可以
17、简化为,展开式,应力函数 应当满足的条件,第2章 平面问题的基本理论2.2 平面问题的求解方法,应力边界条件；,对于多连体，还需满足位移的单值条件。,什么是单连体？什么是多连体？只有一个连续边界的物体称为单连体；具有两个以上连续边界的物体称为多连体。,第2章 平面问题的基本理论2.3 平面问题的求解方法,思考题：,【p33习题210】检验平面问题中的位移分量是否为正确解答的条件是什么？,【p33习题211】检验平面问题中的应力分量是否为正确解答的条件是什么？,【p33习题212】检验平面问题中的应力函数是否为正确解答的条件是什么？,【p33习题213(a)】检验应力分量x=y2q/b2，y=x
18、y=0是否是图示问题的解答。,例,第2章 平面问题的基本理论2.3 平面问题的求解方法,【解】将题给应力分量代入力平衡方程，知,同时满足。再将它们代入相容方程,得到,第2章 平面问题的基本理论2.3 平面问题的求解方法,而,因此，它们不能满足相容方程。所给应力分量能够满足应力边界条件,然而，它们无法满足相容方程，因此并不是所给问题的正确解答。,【p34习题216】设有任意形状的等厚度薄板，体积力可以不计，在全部边界上（包括孔口边界上）受有均匀压力q。试证x=y=-q及xy=0能满足平衡微分方程、相容方程和应力边界条件，也能满足位移单值条件，因而就是正确的解答。,例,第2章 平面问题的基本理论2
19、.3 平面问题的求解方法,【证】由于不计体力，而且x、y 和xy均为常数，因此，力平衡方程,自然满足。同时，相容方程,也能得到满足。,考虑边界上任意点P，其外法线方向余弦为l,m，则该点处的压力q在坐标轴x和y方向上投影的分量分别为,第2章 平面问题的基本理论2.3 平面问题的求解方法,将应力分量x=y=-q及xy=0代入，可见，上述边界条件能得到满足。,因此，可以建立应力边界条件,对于多连体，将所给应力分量代入物理方程,得,第2章 平面问题的基本理论2.3 平面问题的求解方法,第一和第二式分别对变量x和y积分，得,再将它们代入几何方程，得,这里，f1(y)和f2(x)分别为关于变量y和x的待
20、定函数。再将它们代入第三式，得,要使该式成立，必有,第2章 平面问题的基本理论2.3 平面问题的求解方法,这里，B1、B2和C均为常数。于是，薄板的位移场可以表示为,积分后，有,从上述关系可以看出，薄板的每一点均能满足位移单值条件。综上所述，所给应力分量就是正确的解答。,第2章 平面问题的基本理论,本章小结,两类平面问题及其特征平面问题的三类基本方程两类边界条件圣维南原理及其应用平面问题的两类求解方法体力为常数时平面问题的应力函数求解方法,第2章 平面问题的基本理论2.2 边界条件 2.3平面问题的求解方法,习题：（课本第33页)习题29、210、212、213（b）（课本第34页)习题217（选作）,
