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1、电力系统稳态分析,东南大学电气工程学院,SOUTHEAST University,东南大学电气工程学院,电能系统基础,徐青山,电力网潮流计算模型,电力网等效电路,1）计算节点注入功率：节点注入复功率是由此节点的所有电源功率和所有负荷功率复数求和所得到的,注入功率以流入网络为正，流出为负。,2）将接在同一节点的所有对地导纳支路合并成一个支路。,电力网的数学模型,节点电压方程节点数n1，节点电压方程数n个，不计“地”节点对于交差跨接的非平面网络，可方便建立节点电压方程导纳矩阵修改方便,N+1个节点的节点电压方程：,节点注入电流列向量:,节点电压列向量:,导纳矩阵:,展开形式为：,节点导纳矩阵,自导
2、纳：在等效网络的第个节点施加单位电压，其余各节点全部接地时，经节点注入网络的电流。,互导纳：在节点施加单位电压，其余节点全接地时，节点的注入电流。,N1个节点的电力网络节点导纳矩阵的特点：,阶方阵；,对称矩阵；,复数矩阵；,高度稀疏矩阵；稀疏度零元素/总元素；非对角元个数本节点所联非接地支路数,每一对元素Yij、Yji是节点和间支路导纳的负值,对角元素Yii为所有连接于节点的支路导纳之和,网络变化后导纳矩阵的修改1)从原有网络节点i引出一新支路，增加的新节点为j，支路导纳yij n=n+1 Yjj=yij Yij=Yji=-yij Yii=Yii+yij Ykj=Yjk=0(k=1,n,ki,
3、j),2)从原有网络节点i增加一对地导纳支路，支路导纳yi0 n=n Yii=Yii+yi0,3)从原有网络节点i、j间增加一支路，支路导纳yij n=n Yii=Yii+yij Yjj=Yjj+yij Yij=Yij-yij Yji=Yji-yij,4)从原有网络节点i、j间切除一支路，支路导纳yij n=n Yii=Yiiyij Yjj=Yjjyij Yij=Yijyij Yji=Yjiyij,节电阻抗矩阵,节点阻抗矩阵：自阻抗：节点注入单位电流，其余节点注入电流全为零，即其余节点全部开路时，节点的电压。,互阻抗：节点注入单位电流，网络其余节点注入电流全为零时，节点的电压。,电力网潮流计算
4、方程式,电力网潮流计算功率方程,节点注入电流：,节点电压方程：,功率方程：,电力网潮流计算功率方程,1）节点电压以直角坐标表示的功率方程：,代入功率方程，则：,将功率方程的实部、虚部分开表示：,电力网潮流计算功率方程,2）节点电压以极坐标表示的功率方程：,代入功率方程：,将功率方程的实部、虚部分开表示：,电力网稳态分析的运行变量,N个节点，2n个功率方程 每个节点4个变量利用物理意义减少变量负荷功率不可控变量电源功率控制变量 节点电压向量状态变量,电力网节点性质的分类,PQ节点：已知节点，待求、。PV节点：已知节点，待求、。平衡节点：已知节点、，待求,电力网节点编号,任一电力网络共有n个节点，
5、根据节点分类的要求，一定有一个平衡节点，此节点取编号为1，可假设有m-1个PQ节点，节点编号依次为2，3，m，其余n-m个节点为PV节点，节点编号依次为m+1,m+2,n。,潮流计算的约束条件,1.功率约束条件：,2.状态量电压模值的约束条件：,3.电压相位角约束条件：,牛顿拉夫逊法,牛顿拉夫逊算法的核心是将非线性方程的求解转换成相应线性修正方程的迭代求解。设一维非线性方程：为满足该方程的真解，是该方程的初始近似解，称为初值。令。称为修正量。已知初值，如果求出，那么就得到了方程的真解：,3.5 牛顿拉夫逊法(2),非线性方程可以表示为 展为泰勒级数：忽略式中的高次项,求得修正量:一次近似解:以
6、 作为新的初值代入修正方程，求得新的修正量：二次近似解,不断重复上述步骤，至第k次迭代时，求得 时，有,从而 即是非线性方程的解。非线性方程的收敛标准：给定任意小正数，当方程的近似修正量满足：或称已满足收敛标准，即可用近似解 作为真解,(a)初值选择适当收敛(b)初值选择不当不收敛,设有非线性方程组：多变量方程组的初始值分别为，,修正量分别为,，。,按泰勒级数展开并忽略高次项,修正方程组写成矩阵形式：,修正方程简写成：J称为函数F的雅可比矩阵，为nn阶。X由修正量x1，x2，xn组成的列向量。,一次近似解：K+1次近似解：,在第k+1次迭代后用收敛标准检查是否满足要求：或 i=1,2,n若满足
7、，则停止迭代，以，作为方程组的解。否则，继续迭代，直至收敛为止。,牛顿拉夫逊法潮流计算,牛顿拉夫逊潮流计算的核心问题是修正方程式的建立和求解。,1直角坐标形式的功率方程 PQ节点给定功率功率不平衡方程为：m-1个PQ节点共有2（m-1）个功率不平衡量方程。,PV节点给定节点的注入有功功率 和节点电压模值功率方程：电压方程：有n-m个PV节点，共有2（n-m）个功率方程和电压方程。,平衡节点不参加迭代计算。在迭代求出各节点电压模值和电压相角后，根据功率方程直接求出平衡节点注入功率。网络共有2(n-1)个状态变量，有2(n-1)个独立方程,修正方程式：,式中雅可比矩阵的各个元素可对方程求偏导数得到
8、其中非对角元（ij）,对角元（i=j）,雅可比矩阵具有以下特点：1）雅可比矩阵中元素是节点电压的函数，迭代过程中每次迭代电压都要修正，因此雅可比矩阵中元素每次迭代都改变。2）雅可比矩阵不是对称阵。3）雅可比矩阵为稀疏阵。因为非对角元且互导纳Yij=0时，与之对应的非对角元都为零。,极坐标形式的功率方程 PQ节点功率不平衡方程：PV节点有功功率不平衡方程：,网络共有2(m-1)+n-m=n+m-2 个待求量，也有n+m-2个功率方程。极坐标牛顿拉夫逊法的修正方程式:,修正方程式改写成：,简化写成：H为(n-1)(n-1)阶矩阵，N为(n-1)(m-1)阶矩阵，K为(m-1)(n-1)阶矩阵，L为
9、(m-1)(m-1)阶矩阵。,各元素的表达式为：式中,牛顿拉夫逊法计算潮流的解算过程 1）形成网络的节点导纳矩阵YB。2）设置各节点电压的初值。3）将初值代入功率方程式，求出修正方程式中的不平衡，。4）用节点电压的初始值求雅可比矩阵中各元素。,5）解修正方程式，求各节点电压的修正量 6）求各节点电压新的初始值，即修正后值 或,7）检查是否已经收敛。8）如不收敛，将各节点电压迭代值作为新的初始值自第 3）步开始进入下一次迭代。9）计算收敛后，计算各线路中的功率分布及平衡节点注入功率，PV节点注入无功。,类牛顿拉夫逊的快速解耦潮流算法,快速解耦潮流（P-Q解耦潮流）计算派生于以极坐标表示的牛顿拉夫
10、逊法潮流。主要区别在修正方程式和计算步骤。牛顿拉夫逊算法的工作量主要是由于每次迭代都要重新形成雅可比矩阵，重新进行因子表分解，并求解修正方程。快速解耦潮流算法就是结合电力网络的特点，对牛顿拉夫逊算法进行合理的简化和改进的一种潮流算法。,快速解耦潮流算法对牛顿拉夫逊法作了两个简化:第一个简化:解耦。计及电力网络中各元件的电抗一般远大于电阻，即XR。以至各节点电压的相角的改变主要影响网络中的有功功率分布（各节点的有功功率注入），各节点电压模值的改变主要影响网络中的无功功率分布（各节点的无功功率注入）。,将牛顿拉夫逊法的修正方程简化。原型为：改写成：,忽略N、K，亦即取N=K=O。从而，快速解耦算法
11、的修正方程式为：将原来n+m-2阶雅可比矩阵J分解成一个n-1阶的H阵和一个m-1阶的L阵,第二个简化：使H，L阵成为常数阵。考虑电网中节点电压间的相角差 不易过大，可以认为 又因为,因此：,非对角元：对角元：,对无功注入功率也可进行简化：可得：,为RX情况下，除节点i外其余节点都接地时，由节点i注入的无功功率。因此，Hii,Lii又进一步简化为：,证明附录：,证明过程：,快速解耦算法的修正方程式展开式为：,无功不平衡量关系式,重新整理得：矩阵形式：系数矩阵、由导纳矩阵的虚部组成,快速解耦潮流算法解算步骤如下：1）形成导纳矩阵，进而求得系数矩阵。并对 求出逆阵。2）设置各节点电压初值。3）求出
12、有功不平衡量，得到 4）解有功功率电压相角修正方程式，求各节点电压相角的修正量。5）求修正值。,6）将初值代入无功功率方程式，求出修正方程式中的无功不平衡量。7）解无功功率电压幅值修正方程式，求各节点电压模值的修正量。8）求各节点电压模值新的初值，即修正后值。,9）检查是否已经收敛。利用事先给定的收敛标准判断收敛与否。或 10）如不收敛，将各节点电压迭代值作为新的初始值自第三步开始重新迭代。11）计算收敛后，计算各线路中的功率分布及平衡节点注入功率，PV节点注入无功。,与牛顿拉夫逊法相比，快速解耦潮流算法的修正方程用两个常数阵代替原来变化的高阶的雅可比矩阵，不需每次迭代后修改；可以进行P，Q解耦计算；系数矩阵为对称阵。因此可以提高计算速度，降低存储容量。快速解耦潮流算法和牛顿拉夫逊潮流算法的收敛判据相同，因此推导修正方程式所作的假设并不影响算法的计算精度。,一般情况下，采用P-Q解耦潮流计算时的迭代次数较采用牛顿拉夫逊法时多，但每次迭代所需的时间则较采用牛顿拉夫逊法时少，以致总的计算速度仍是P-Q解耦法快。如果不满足RX的条件，快速解耦潮流算法会导致不收敛。,
