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1、第九章 薄板的小挠度弯曲问题及经典解法,第一节 有关概念及计算假定,第二节 弹性曲面微分方程,第三节 薄板横截面上的内力及应力,第四节 边界条件 扭矩的等效剪力,第五节 简 单 例 题,第六节 四边简支矩形薄板的重三角级数解,第七节 矩形薄板的单三角级数解,9-1 有关概念及计算假定,图9-1,1.名词解释,（1）板 两个平行面与垂直于该平面的棱柱面所围成的物体称为平板，简称板。（2）中面 平分板厚度d的平面称为中面。（3）弹性曲面 板弯曲时中面所形成的曲面。,（4）挠度 中面在 z方向上的位移。（5）薄板 板的厚度d远小于中面的最小尺寸 b。（3）弹性曲面 板弯曲时中面所形成的曲面。（如小于
2、b/8至b/5）的平板。,2.荷载的分解,将板受到的一般荷载分解为两种：作用于中面之内的荷载（平面应力问题）。垂直于中面的荷载（板的弯曲问题）。,3.小挠度弯曲理论,4.三个基本假定,板的弯曲刚度较大，板的挠度远小于其厚度。,（1）形变分量、都可以不计。,1）由几何方程，知 即在垂直于中面的任一法线上，薄板全厚度内各点的挠度相同。,2）由几何方程，得,，,（9-1）,（2）引起的形变可以不计。,由物理方程（7-12），有：,（9-2）,即薄板小挠度弯曲问题的物理方程和薄板平面应力问题的物理方程相同。,（3）薄板中面内各点都没有平行于中面的位移,，,（9-3）,、即投影保持形状不变。,、,、,9
3、-2 弹性曲面微分方程,按位移求解，基本未知量。,1.用w表示形变分量,将假定（1），即式（9-1）对z积分：,，,应用假定（3），即式（9-3），有：，即,，,（a）,2.用w表示应力分量,（1）由物理方程（9-2）式解得应力分量：,，,，,（b）,（2）用w表示应力分量sx、sy、txy,将（a）式代入（b）式，有,（9-4）,（3）用w表示应力分量tzx、tzy,由空间问题的平衡方程（7-1）式的第一式有（令fx=fy=0）：,，将（9-4）式代入，有：,由边界条件，有，,即有：,同理，有：,（9-5）,（4）用w表示应力分量sz,由平衡方程（7-1）式的第三式有（取 fz=0）：,（c
4、）,若体力不为零，可把薄板单位面积内的体力及面力归入薄板上面的面力，并用 q表示。,（d）,由于、，将（9-5）式代入（c）式，,在薄板下面，边界条件（面力已等效），可得：,回代（e）式，有：,（9-6）,3.弹性曲面微分方程,（1）在薄板上边界，q薄板单位面积内的横向荷载，包括横向面力及体力。,（2）将（9-6）式代入上式，有：,其中:,称为薄板的弯曲刚度，它的量纲是：L2MT-2,（9-7）,（9-8）,（9-9）,方程（9-8）称为薄板的弹性曲面微分方程。是薄板弯曲问题的基本微分方程。具体求解时要考虑（板边上）薄板侧面的边界条件。,9-3 薄板横截面上的内力及应力,1.横截面上的内力,一
5、般情况下，很难使应力分量精确满足边界条件，应用圣维南原理，应使应力组成的内力整体地满足边界条件。,图9-2,取出平行六面体dxdyd。,（1）在x为常量的截面上，作用有sx、txz、txy。由于应力分量sx和txy都与 z成正比，全截面上其合力为零，只能合成为弯矩和扭矩。,1）弯矩（沿y方向取单位宽度）由sx合成：,将（9-4）式中的第一式代入，对z积分，有：,（a）,2）扭矩由txy合成：,（b）,将（9-4）式中的第三式代入，对z积分，有：,3）横向剪力（由txz合成）,（c）,将（9-5）式中的第一式代入，对z积分，有：,（2）同样在y为常量的截面上，每单位宽度内的sy、tyx、tyz也
6、分别合成为如下的弯矩、扭矩和横向剪力：,（d）,（e）,（f）,（3）利用（9-9）式，各个内力的表达式可以简写为：,（9-10）,，,，,图9-3,薄板内力的正负方向的规定，是从应力的正负方向的规定得出：正的应力合成的主矢量为正，正的应力乘以正的矩臂合成的主矩为正；反之为负。薄板内力的正方向如图9-3所示。,2.横截面上的应力,由式（9-4）至（9-6）及（9-10）式，有：,（9-11）,，,，,，,3.分析,（1）上述各内力分量均为薄板单位宽度上的内力，弯矩、扭矩的量纲为LMT-2，横向剪力的量纲是MT-2。,（2）一定荷载引起的弯应力和扭应力数值上最大，是主要的应力；横向剪应力数值较小
7、，是次要的应力；挤压应力数值更小，是更次要的应力。所以计算薄板内力时，主要计算弯矩和扭矩，横向剪力无须计算。（3）应用时可查相关手册，若是双向配筋时，扭矩的影响也可不考虑。,9-4 边界条件 扭矩的等效剪力,矩形薄板，OC边简支；OA边固支；AB和BC边自由。,图9-4,1.固支边，OA边（x=0）,（9-13）,2.简支边，OC边（y=0）,（a）,（b）,（1）无外力作用时：,若（a）第一条件满足，则w在OC边上处处为零，则，故,（9-14）,（2）若在OC边上作用有分布力矩M（为x的函数）时，则（b）式及（9-14）的第二式为：,（b）,3.自由边，AB边（y=b）,（1）薄板的弯矩、扭
8、矩和横向剪力都应为零，即：,（c）,，,，,（2）薄板边上的扭矩可以变换为等效的横向剪力，即扭矩的等效剪力。总的分布剪力是：,图9-5,角点A、B处的集中剪力（集中反力）为：,（d）,，,则边界条件（c）变为：,，,（e）,由式（9-10）可知，自由边AB的边界条件为：,（9-15）,4.自由边，BC边（x=a）,同样，有总的分布剪力是：,（9-16）,角点C、B处的集中剪力（集中反力）为：,（f）,，,则边界条件可变换为：,（g）,，,由式（9-10）可知，自由边BC的边界条件为：,（9-17）,在两边相交的点，如B点，总的集中反力是,由式（9-10）第三式，可知：,（9-18）,集中剪力或
9、集中反力的正负号决定于角点处的扭矩的正负号，而不能另行规定。据此，A点和C点处的剪力以沿z轴的正方向为正，而O点和B点处的剪力以沿 z轴的负向时为正。,如果点B是自由边AB和自由边BC的交点，而点B并没有任何支柱对薄板施以此向集中力，则应有FRB=0，亦即：,如果点B处有支柱阻止挠度发生，则交点条件应为：,而支柱对薄板所施加的反力按式（9-18）计算。,（9-19）,（9-20）,9-5 简 单 例 题,1.夹支椭圆板,设有椭圆形薄板，图9-6，其边界方程是,图9-6,（a）,（b）,试取挠度的表达式为,由式（b）及式（a）可见，在薄板的边界上有w=0，同时也有,为了式（b）能满足边界条件，薄
10、板的边界必须是夹支边。将式（b）代入弹性曲面微分方程（9-8），得,（c）,因为m是常数，所以 q也必须是常数，可见薄板所受的荷载必须是均布荷载，即q=q0，由（c）式求出m，再代入式（b），得,再按照式（9-10）求内力，由式（d）得到弯矩,（d）,（e）,（f）,对于O点及A点，图9-6，得到,，,对于O点及B点，图9-6，得到,（g）,（h）,假定a b，则上两式求出的是薄板中的最大及最小弯矩，变化见图9-6。,命a趋于无穷大，薄板变成跨度为2b的平面应变情况下的固端梁，可得,在梁的中央及两端，弯矩分别为,，,同材力解答。,对圆板（a=b），弯矩、扭矩及横向剪力的最大绝对值分别为,，,，
11、,而应力分量的最大绝对值为,，,，,2.简支矩形板,设有四边简支的矩形薄板，图9-7，其交点B由于支承构件的沉陷而发生挠度wB=z，则BC边及AB边保持为直线，而它们的挠度为,（i）,，,在该两边处，还有边界条件,，,（j）,在OA边及OC边，边界条件为,（k）,取薄板挠度的表达式为:,（l）,则有,（m）,交点B处的集中反力为,可见，薄板在B点处受有与z方向相同的反力（向上为正）。同样，薄板在O点处受有与z方向相同的反力，并在A点及C点还受有同样大小的与z反向的反力（向下为正）。,9-6 四边简支矩形薄板的重三角级数解,对四边简支的矩形薄板，图9-7，边界条件是,图9-7,（a）,纳维把挠度
12、的表达式取为如下的重三角级数，求得了重三角级数解。,（b）,能满足（a）的全部边界条件。,为求系数Amn，将式（b）代入微分方程（9-8），得：,（c）,1.任意荷载作用下,将上式右边的q=q(x,y)展开为重三角级数：,（d）,（e）,（f）,由傅里叶级数的展开公式，有,代回式（b），可求得系数,对上式中分子进行积分，求出Amn，再代入（b）式，即可求出挠度w的表达式，再应用式（9-10）便可求得内力。,2.均布荷载作用下,当薄板受均布荷载q=q0时，式（e）中的积分成为:,由式（f）求得,或,代入（b）式，即可求出挠度w的表达式,（g）,再应用式（9-10）可求得内力。,3.集中荷载作用下
13、,当薄板的任意一点（x，h）受集中荷载F时，可以用微分面积上的均布荷载F/dxdy来代替分布荷载。于是，（e）式中的q除了在点（x，h）处的微分面积上等于F/dxdy以外，其余各处都等于零。（e）式成为：,代入（b）式，即可求出挠度w的表达式：,（g）,由此可以用式（9-10）求得内力。,9-7 矩形薄板的单三角级数解,1.矩形薄板的单三角级数解,对于有两个对边简支的矩形薄板，图9-8，可求得单三角奇数解。,图9-8,莱维把挠度的表达式取为如下的单三角级数：,（a）,级数（a）能满足 x=0及 x=a两边的边界条件，即：,，,，,，,故只须选择函数Ym，使式（a）能满足弹性曲面的微分方程,（b
14、）,并在 y=b/2的两个边上满足边界条件。,将式（a）代入式（b），得,将上式右端的q/D展开成级数，由傅里叶级数的展开公式得:,与式（c）对比，有,（c）,（d）,常微分方程的解是：,设图9-7中的矩形板是四边简支的，受有均布荷载q=q0。此时，微分方程（d）的右边成为：,（e）,微分方程（d）的特解为：,代入式（e），由于对称，挠度w应是的 y偶函数，故有 Cm=0，Dm=0，即得：,（f）,由于 y=b/2的两个边也是简支边，边界条件为：,，,将式（f）代入上式，可得求Am、Bm的联立方程,以及,其中。由此可求出系数：,，,。,以及,，,。,将求出的系数代入（f）式，即可求出挠度w的最后表达式。,据此可进一步求出内力。,2.重三角级数解和单三角级数解的对比,（1）重三角级数解：方法简单方便、只适用于四边简支矩形板、级数收敛慢。（2）单三角级数解：方法较为复杂、适用于一般边界情况、级数收敛快。,
