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1、,二、典型例题分析与解答,第二、三章,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一元函数微分学(34),一、知识点与考点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、知识点与考点,(一)导数与微分,若令,1.导数定义:,则,2.左右导数:,左导数:,右导数:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,导函数简称导数,且有,函数 y=f(x)在点,4.导数的几何意义:,处的导数,表示曲线y=f(x)在点,处的切线斜率.,即有,曲线的切线方程为,3.导函数的定义:,曲线的法线方程为,是 x0时比x 高阶的无,穷小量,并称Ax为f(x)在,其中A是与x 无关的量,若函数的增量可表示为y=Ax+,则称 y=f(x)在
2、点 x 处可微,机动 目录 上页 下页 返回 结束,记为dy,即dy=Ax.,5.微分的定义:,由于x=dx,所以,6.微分的几何意义:,点 x 处的微分,当y是曲线y=f(x)上点的纵坐标,的增量时,dy表示曲线的切线纵坐标的增量.,7.基本定理,定理1(导数存在的判定定理),定理2(函数可导与连续的关系),机动 目录 上页 下页 返回 结束,可导函数必连续,但连续函数未必可导.,可导,定理4.(函数与其反函数的导数的关系),可微,反函数的导数等于直接函数导数的倒数.,定理3.(函数一阶可导与可微的关系),机动 目录 上页 下页 返回 结束,(5),(6),(7),设,及,(4),均为可导函
3、数,则复合函数,可导,且,或,(微分形式不变性),8.运算法则,(1),(3),(2),9.基本初等函数的导数与微分公式,(3),(1),(2),(4),(8),机动 目录 上页 下页 返回 结束,(5),(6),(7),(9),机动 目录 上页 下页 返回 结束,(10),(11),(14),(15),(12),(13),(16),(17),10.二阶导数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,11.方程确定的隐函数的导数,例1.设函数 y=y(x)由方程,确定,求,解法1:,方程两边对x 求导数得:,解得,方程两边微分得:,解法2:,解得:,12.参数方程确定的函数的导数,例2.设,求,机动
4、 目录 上页 下页 返回 结束,解:,13.对数求导法:,求“幂指函数”及多个因子相乘除函数,的导数时用对数求导法.,例3.设,解法1:,取对数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,等式两边对 x 求导数:,则有:,例3.设,解法2:,作指数对数恒等变形:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4.,设,则有,解,取对数,等式两边对 x 求导数:,(二)中值定理,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1.罗尔定理,(1)在闭区间a,b上连续;,(3)且 f(a)=f(b);,成立.,(2)在开区间(a,b)内可导;,若函数 f(x)满足条件:,则在开区间(a,b)内至少存在一点 使,2.拉格朗日
5、中值定理,若函数 f(x)满足条件:,(1)在闭区间a,b上连续;,(2)在开区间(a,b)内可导;,则在开区间(a,b)内至少存在一点 使等式,3.柯西中值定理,机动 目录 上页 下页 返回 结束,成立.,若函数 f(x),F(x)满足条件:,(1)在闭区间a,b上连续;,(2)在开区间(a,b)内可导且,则在开区间(a,b)内至少存在一点 使等式,(三)导数的应用,定理1 设函数 f(x)在(a,b)内可导,1.函数的单调性,若对,都有,则称 f(x)在(a,b)内单调增(减).,2.函数的极值,设函数 f(x)在,内有定义,x 为该邻域内异于,机动 目录 上页 下页 返回 结束,的任意一
6、点,若恒有,(或,则称,为 f(x)在该邻域的极大(小)值.,极大值与极小值,统称为函数的极值,方程,使函数取得极值的点称为极值点.,定理2.(函数取得极值的必要条件),的根称为函数 f(x)的驻点.,则有,设函数 f(x)在点,处可导,(可导函数的极值点必为驻点),且在该点处取得极值,定理3.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(函数取得极值的第一充分条件),设函数 f(x)在,内可导,(或 f(x)在点,处连续但不可导).,(1)若当x 由左至右经过,时,由“+”变“”,则,为函数的极大值.,(2)若当x由左至右经过,时,由“-”变“+”,(3)若当x由左至右经过,为函数的极小值.,则,
7、则,不变号,不是,时,函数的极值.,定理4,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(函数取得极值的第二充分条件),设函数 f(x)在,处,(1)若,则,为函数 f(x)的极大值.,(2)若,则,为函数 f(x)的极小值.,3.函数的最值,求连续函数 f(x)在a,b上的最值的步骤:,(1).求 f(x)在(a,b)内的驻点及导数不存在的点;,(2).求出这些点的函数值及区间端点的函数值;,(3).比较上述函数值,其中最大者为最大值,最小者为,最大值.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,恒有,(弧在弦的下方),(或,则称曲线,f(x)在(a,b)内为凹(凸)弧.,曲线上凹弧与凸弧的分界,点,4.
8、函数曲线的凹凸性和拐点,设函数 f(x)在(a,b)内连续,若对于(a,b)内任意两点,(弧在弦的上方),称为曲线的拐点.,定理1.(曲线凹凸性的判定定理),若在(a,b)上,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则曲线 y=f(x)在,当x 自左至右经过,定理2.(曲线拐点的判定定理),若在,处,时,变号,则,是曲线y=f(x)的拐点.,(a,b)上为凹(凸)弧.,二典型例题分析与解答,应填1.,已知,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解:,注释:,本题考查导数的定义.,例5.,设,例6.,在,处可导,求,分析,应满足在,处连续且可导,即,解 1.,由,由,再代入(1)得,2.,例7.,
9、设f(x)可导,则,是F(x)在x=0可导的().,(A)充分必要条件;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(B)充分条件但非必要条件;,(C)必要条件但非充分条件;,解:,直接计算解此题.,由于,A,(D)既非充分条件又非必要条件.,而f(x)可导,所以F(x)的可导性与,的可导性相同.,故选项(A)正确.,(x)在 x=0 处可导的充分必要条件是,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注释:,即f(0)=0.,本题考查函数在一点处可导的充要条件.,令,由导数的定义知,解题过程中化简题目的解题技巧应注意掌握.,例8,曲线,在点(0,1)处的切线方程,是_.,曲线在点(0,1)的切线方程为,解
10、:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注释:,两边对x求导得:,即为,将 x=0,y=1 代入式得:,本题考查隐函数求导数及导数的几何意义.,例9 设函数,由方程,确定,求,解 由,由原方程得,代入(1)得,再将,代入(2)得,注释,本题考查求隐函数在一点处的一阶、二阶导数.,注意求导数时,不必写出导函数.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例10.,处().,设y=f(x)是方程,则函数f(x)在点,且,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(C)某邻域内单调增加;,(B)取得极小值;,的一个解,(A)取得极大值;,解:,(D)某邻域内单调减少.,由于y=f(x)是方程,的一个解,所以有,
11、即有,将,代入上式得,所以函数f(x)在点,处取得极大值.,A,选项(A)正确.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例11.,且,设 f(x)有二阶连续导数,则().,(A)f(0)是 f(x)的极大值;,(B)f(0)是 f(x)的极小值;,(C)(0,f(0)是曲线y=f(x)的拐点;,(D)f(0)不是 f(x)的极值点,(0,f(0)也不是曲线,y=f(x)的拐点.,解:,由于,由极限的保号性知存在 x=0的,某去心邻域,在此邻域内有,即有,B,即有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,由于,当x 0时,函数 f(x)单调减.,当x 0时,由极值的第一充分条件知 f(x)在 x=0
12、处取得极小值.,即有,又由极限的保号性有,注释:,本题考查极限的保号性和极值的判定法则.,函数 f(x)单调增.,故选项(B)正确.,例12.,由于x=1 是(x)在(0,+),机动 目录 上页 下页 返回 结束,则(x)在x=1处取得极小值.,又(1)=0,即,则当x 0 时,则(x)在x=1处取得区间(0,+),试证:当x 0 时,证:,令,易知(1)=0.,内的唯一的极小值点,上的最小值.,证毕.,例13.,求,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解法一,原式=,则,注释:,本题考查洛必达法则求未定式极限.,由于x0时,解法二,原式=,解法2先对分母用等价无穷小代换,再用洛必达法则.,例
13、14.,原式=,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注释:,本题考查洛必达法则求未定式极限.,应填,解题过程,中应特别注意应用无穷小代换以简化计算.,添空题,设函数 f(x)在闭区间0,1上可微,函数f(x)的值都在开区间(0,1)内,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例15.,对于0,1,证明在(0,1)区间内有且仅有一个x,使得 f(x)=x.,证法1:,由题设知 F(x)在0,1上连续,又 F(0)=f(0)0,F(1)=f(1)1 0,由连续函数的,零点定理知,使 F(x)=0,即 f(x)=x.,上的每一个 x,以下证明唯一性:,用反证法,假设使得 f(x)=x 的 x 不,
14、不妨设为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,唯一,则至少应有两个,由罗尔,使,即,这与原题设,这就证明了根的唯一性.,矛盾.,证毕.,证法2:,定理知,满足f(x)=x 的 x 的存在性证法与上面相同.,而唯一性可利用结论:,则方程,f(x)=0在(a,b)内最多有n个根”.,由于,则F(x)=0 在(0,1)内最多有一个根,原命题得证.,“若在(a,b)内,例16.,(1)存在,机动 目录 上页 下页 返回 结束,试证明:,(1)令,且,则(x)在0,1上连续,使得,已知函数 f(x)在0,1上连续,在(0,1)内可导,且 f(0)=0,f(1)=1.,(2)存在两个不同的点,证:,所以存
15、在,使得,使得,第二节 目录 上页 下页 返回 结束,注释:,证毕.,本题(2)考查拉格朗日中值定理的应用.,本题(1)考查连续函数零点定理的应用;,(2)由拉格朗日中值定理,存在,若函数 f(x)在a b上连续,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例17.,()证明拉格朗日中值定理:,在(a b)内可导,使得,()若函数 f(x)在 x=0 处连续,则存在,在(0,)内可导,且,则,存在,且,证:,令辅助函数,依题设条件知 F(x)在a b 上连续,据罗尔定理,使,(),在(a b)内可导,且,机动 目录 上页 下页 返回 结束,即有,也即有,(),对于任意的 t(0,),函数 f(x)在0,t 上连续,由右导数定义及拉格朗日中值定理,其中,由于,时,所以,故,且当,证毕.,在(0,t)内可导,存在,且,证毕.,注释:,本题考查拉格朗日中值定理的证明及其应用.,
