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第二节 三重积分,一、三重积分的定义二、三重积分的计算三、三重积分的换元法,一、三重积分的定义,直角坐标系中将三重积分化为三次积分,二、三重积分的计算,如图，,得,注意,解,解,如图，,解,解,原式,解,如图,三、三重积分的换元法,规定：,1、利用柱面坐标计算三重积分,柱面坐标与直角坐标的关系为,如图，三坐标面分别为,圆柱面；,半平面；,平 面,如图，柱面坐标系中的体积元素为,解,知交线为,所围成立体的投影区域如图，,解,所围成的立体如图，,2、利用球面坐标计算三重积分,规定：,如图，三坐标面分别为,圆锥面；,球 面；,半平面,球面坐标与直角坐标的关系为,如图，,球面坐标系中的体积元素为,如图，,解,补充：利用对称性化简三重积分计算,使用对称性时应注意：,、积分区域关于坐标面的对称性；,、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的,奇偶性,解,积分域关于三个坐标面都对称，,被积函数是 的奇函数,解,三重积分的定义和计算,在直角坐标系下的体积元素,（计算时将三重积分化为三次积分）,小结,（1）柱面坐标的体积元素,（2）球面坐标的体积元素,（3）对称性简化运算,三重积分换元法,柱面坐标,球面坐标,小结,思考题,选择题:,思考题,练 习 题,练习题答案,
