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1、第二节,一、对坐标的曲线积分的概念 与性质,二、对坐标的曲线积分的计算法,三、两类曲线积分之间的联系,对坐标的曲线积分,一、对坐标的曲线积分的概念与性质,1.引例:变力沿曲线所作的功.,(其中 为 n 个小弧段的最大长度),2.定义.,设 L 为xoy 平面内从 A 到B 的一条有向光滑弧,若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点,都存在,在有向曲线弧 L 上,对坐标的曲线积分,则称此极限为函数,或第二类曲线积分.,在 L 上定义了一个向量函数,极限,称为对 x 的曲线积分;,称为对 y 的曲线积分.,L 称为积分弧段 或 积分曲线.,称为被积函数,其中,3.性质,(1)若 L 可分成 k
2、条有向光滑曲线弧,(2)用L 表示 L 的反向弧,则,则,定积分是第二类曲线积分的特例.,说明:,对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!,二、对坐标的曲线积分的计算法,定理:,在有向光滑弧 L 上有定义且,L 的参数方程为,则曲线积分,连续,存在,且有,如果 L 的方程为,则,空间光滑曲线弧:,有,例1.计算,其中L 为沿抛物线,从点,的一段.,例2.计算,其中 L 为,(1)半径为 a 圆心在原点的上半,圆周,方向为逆时针方向;,(2)从点 A(a,0)沿 x 轴到点 B(a,0).,例3.计算,其中L为,(1)抛物线,(2)抛物线,(3)有向折线,例4.设在力场,作用下,质点由,沿移动到
3、,试求力场对质点所作的功.,其中为,点 O 的距离成正比,例 5.设一个质点在,处受,恒指向原点,沿椭圆,此质点由点,沿逆时针移动到,例6.求,从 z 轴正向看为顺时针方向.,例7.已知,为折线 ABCOA(如图),计算,三、两类曲线积分之间的联系,设有向光滑弧 L 以弧长为参数 的参数方程为,已知L切向量的方向余弦为,则两类曲线积分有如下联系,类似地,在空间曲线 上的两类曲线积分的联系是,令,记投影为,例9.,将积分,化为对弧长的积,分,其中L 沿上半圆周,例8.设,曲线段 L 的长度为s,证明,续,在L上连,1.定义,2.性质,(1)L可分成 k 条有向光滑曲线弧,(2)L 表示 L 的反向弧,对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!,内容小结,3.计算,对有向光滑弧,对有向光滑弧,4.两类曲线积分的联系,对空间有向光滑弧:,作业 P200(2),(4),(6),(8)7 8,第三节,一、格林公式,二、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件,格林公式及其应用,区域 D 分类,单连通区域(无“洞”区域),复连通区域(有“洞”区域),域 D 边界L 的正向:观察者左侧,定理1.设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成,则有,(格林公式),函数,在 D 上具有连续一阶偏导数,一、格林公式,推论:正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积,格林公式,例如,椭圆,所围面积,
