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1、2023年11月6日星期一,1,第四节 无穷小量与无穷大量,第一章,到目前为止，,我们已经阐明了数列与函数的极限,下面我们再来研究一类比较简单但十分重要的函数，,即所谓的无穷小量,二、无穷大量（Infinitely Large Quantity）,一、无穷小量（Infinitely Small Quantity）,2023年11月6日星期一,2,一、无穷小量,当,定义1 若,时,函数,则称函数,例如:,函数,当,时为无穷小;,函数,时为无穷小;,为,时的无穷小.,需要指出的是，,（1）不要认为无穷小量是一个很小很小的数；,（2）除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小!；,（3）一个函数是无穷小
2、量，必须指明自变量的变化趋势,2023年11月6日星期一,3,其中 为,时的无穷小量.,证:,当,时,有,注：对自变量的其它变化过程类似可证.,定理 1(无穷小与函数极限的关系),例如：,有,其中,2023年11月6日星期一,4,二、无穷大量,定义2 若任给 M 0,一切满足不等式,的 x,总有,则称函数,当,时为无穷大,使对,若在定义中将 式改为,则记作,(正数 X),记作,总存在,2023年11月6日星期一,5,注意:,1.按函数极限定义来说，,无穷大的函数 f(x)的极限是不,存在的.,但为方便起见，,我们也说“函数的极限是无穷大”.,2.无穷大不是很大的数,它是描述函数的一种状态.,3
3、.函数为无穷大,必定无界.但反之不真!,例如,函数,当,但,不是无穷大!,2023年11月6日星期一,6,证:任给正数 M,要使,即,只要取,则对满足,的一切 x,有,所以,例1 证明,思考题 证明,（习题14 1（3）,提示：,要使,即,就要,即,只要取,（其中M 3）,2023年11月6日星期一,7,定理2（无穷小与无穷大的关系）,若,为无穷大,为无穷小;,若,为无穷小,且,则,为无穷大.,则,(自学),据此定理,关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.,在自变量的同一变化过程中,说明:,2023年11月6日星期一,8,内容小结,1、主要内容:,两个定义;两个定理.,2、几点注意:,无穷小与无穷大是相对于过程而言的.,（1）无穷小（大）是变量,不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；,（2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小.,（3）无界变量未必是无穷大.,2023年11月6日星期一,9,思考与练习,课后练习,习 题 1-4 1（2）2,提示：,详见例题,
