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1、一、无穷小量,1、定义:,极限为零的变量称为无穷小量.,5 无穷小量与无穷大量,设f在某U(x0)内有定义,若 则称f为当xx0时的无穷小量。,若函数g在某U(x0)内有界，则称g为xx0时的有界量。,类似可定义xx0+,xx0-,x+,x以及x时的无穷小量与有界量。,任何无穷小量都是有界量。,例1,注意,（1）无穷小是一种变量,不能与很小的数混淆;,（2）零是可以作为无穷小的唯一的常数.,问：无穷小是否为很小的数？,很小的数是否为无穷小？,二、无穷小量与极限的关系,定理1,意义：,（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小量);,三、无穷小量的性质,性质1 有限个相同类型的无穷小量的和、
2、差、积仍是 无穷小量.,性质2（同一过程中的）有界量与无穷小量的乘积是无穷小，即 O(1)o(1)=o(1).,用迫敛性可以证明。,证法1：,证法2,性质2（同一过程中的）O(1)o(1)=o(1).,即 O(1)o(1)=o(1).,注意无穷多个无穷小量的代数和未必是无穷小；无穷多个无穷小量的乘积未必是无穷小.,四、无穷小量阶的比较,无穷小量之比的极限（0/0）可以出现各种情况：,出现不同情况的原因是无穷小趋向于零的速度不同.,例如,不可比.,观察各极限,设当xx0时，f与g均为无穷小量，,1若 则称当xx0时,f为g的高阶无穷小量,或称g为f的低阶无穷小量，记作,例如，当x0时，x,x2,
3、xn(n为正整数)等都是无穷小量，有,若存在正数K和L，使得在某U(x0)上有,则称f与g为当xx0时的同阶无穷小量。,f与g必为同阶无穷小量。,2.,注 若f(x),g(x)是同阶无穷小量，则可记作f(x)=O(g(x),但若 f(x)=O(g(x),则f(x)与g(x)不一定是同阶无穷小量。,属于,函数类,3若 则称当xx0时,f与g是等价无穷小量，记作,f(x)g(x)(xx0).,注：并不是任何两个无穷小量都可以进行这种阶的比较。,例如，当x0时，x sin 1/x和x2都是无穷小量，,当x0时不是有界量，,当x0时不是有界量，,故当x0时，x sin 1/x和x2不能比较。,例1,例
4、,解,常用等价无穷小:,五、等价无穷小量在求极限问题中的作用,定理 3 设函数f,g,h在U(x0)内有定义，且有 f(x)g(x)(xx0).,证（2）,推论,证,证毕,例5,解,例6,解,解,错,注意：只可对乘积中的无穷小因子作等价无穷小代换，对于代数和中各无穷小项不能随意作等价无穷小量代换。,作 业,P66.1(4)2(2),六、无穷大量,定义2 设函数f在某U(x0)内有定义，若,则称函数f当xx0时有非正常极限，记作,若将“|f(x)|G”换成“f(x)G”或“f(x)G”,则分别称f当xx0时有非正常极限或，分别记作,类似可定义其他极限过程 的非正常极限。,定义 3 对于自变量x的
5、某种趋向（或n时），所有以，或为非正常极限的函数（包括数列），都称为无穷大量。,至此，我们定义了极限的全部24种情形。,刻画函数极限值情况。,刻画自变量变化情况。,注意,（1）无穷大量是变量,不能与很大的数混淆;,（3）无穷大量是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大量.,证,证,七、无穷小与无穷大的关系,定理4 在同一过程中,无穷大量的倒数为无穷小量;恒不为零的无穷小量的倒数为无穷大量.,证,意义：关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.,注 对无穷大量也可以比较它们趋于无穷大的速度，定义高（低、同）阶无穷大以及等价无穷大；也可以进行等价无穷大量替换。,例3,分析,证明,证明,八、曲线的渐近线,定义:,1.垂直渐近线,即动点沿着上下方向无限远离原点时，动点到直线x=x0距离趋于0。,例如,有垂直渐近线两条:,求垂直渐近线，一般关注分式中分母为0的点。,2.水平渐近线,例如,有水平渐近线两条:,即动点沿着左右方向无限远离原点时，动点到直线y=b距离趋于0。,3.斜渐近线,即动点沿着直线y=kx方向无限远离原点时，动点到直线y=kx+b距离趋于0。,由此得到斜渐近线的求法:,注意:,例4,解,作 业,P66.4（3）,
