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1、有许多实际问题的精确解，仅仅通过有限次的算术运算是求不出来的，而必须通过考察一个无限变化过程的变化趋势才能求得，由此产生了极限的理论和方法。例如，设有一圆，首先作内接正6边形，把它的面积记为A1；再作内接正12边形，其面积记为A2；在做正24边形，把它的面积记为A3；循环下去，每次边数加倍，一般地把内接正62n-1边形的面积记为An（n=1,2,3,.）这样就得到一系列内接正多边形的面积：A1，A2，A3，An，它们构成一列有次序的数。N越大，内接正多边形与圆的差别就越小,从而以An作为圆的面积的近似值也越精确。但无论n取多么大，An终究只是多边形的面积，而不是圆的面积。设想n无限增大，即内切
2、正多边形的边数无限增加，在这个过程中，从图形上看，内接正多边形将无限接近于圆；因此从数值上看，内接正多边形的面积An将将无限接近于一个确定的值，这个数值就是所要求的圆的面积。在数学上，将这个确定的数值称为上面这列有次序的数（称作数列）A1，A2，A3，An，的极限。可以看到，正是这个数列的极限精确地表达了圆的面积。,设xn=f(n)是一个以自然数集为定义域的函数,将其函数值按自变量大小顺序排成一列，x1,x2,xn,称为一个数列.xn称为数列的第n项，也称为通项,数列也可表示为xn或xn=f(xn),第一节数列的极限,一、数列的极限,例.,看数列1.,从直观上看,这个数列当n越来越大时,对应的
3、项xn会越来越接近于1,或者说“当n趋向于无穷大时,数列xn趋近于1.如何用精确的,量化的数学语言来刻划这一事实?,注意到,实数a,b的接近程度由|ab|确定.|ab|越小,则a,b越接近.因此,要说明“当n越来越大时,xn越来越接近于1”就只须说明“当n越来越大时,|xn1|会越来越接近于0”.而要说明“|xn1|越来越接近于0”则只须说明“当n充分大时,|xn1|能够小于任意给定的,无论多么小的正数”就行了,也就是说无论你给一个多么小的正数,当n充分大时,|xn1|比还小,由于是任意的,从而就说明了|xn1|会越来越接近于0.,事实上,给,很小,只须n1000 即可,数列中,从第1001项
4、开始,以后各项都有,要,也即在这个,又给,则从第10001项开始,以后各项都有,一般,任给 0,不论多么小,只须,.因此,从第,项开始,以后各项都有,.因是任意的,这就说明了当n越来越大时,xn会越来越接近于1.,要使,定义:设xn是一个数列,a是一个常数,若 0,正整数N,使得当nN时,都有|xna|,则称a是数列xn当n无限增大时的极限,或称xn收敛于a,记作,这时,也称xn的极限存在,否则,称xn的极限不存在,或称xn是发散的.,定义中的“当n无限增大时，xn无限接近于某个确定的常数a”的意思是：当n无限增大的过程中，xn与常数a的距离|xna|可以任意小，要它有多小就有多小。以数列xn
5、=为例，如果要|xn0|=小于，那么只要n100,即从第101项其，以后的一切项均能满足这个要求；如果要|xn0|1000，即从第1001项起，以后的一切项均能满足这个要求；一般地，如果要|xn0|10k，即从第10k+1项起，以后的一切项均能满足这个要求。这就是“当n无限增大时，无限接近于常数0”的含义。,比如,对于刚才的数列1.有,若 0,正整数N,使得当nN 时,都有|xna|,例1.若xn=c(常数),则,若 0,正整数N,使得当nN 时,都有|xna|,证:,0.由于|xn1|=|c c|=0,取N=1,当nN时,有|xnc|=0,故,即常数的极限就是常数本身.,例2.已知,证明数列
6、,的极限为1.,证:,欲使,即,只要,因此,取,则当,时,就有,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3.已知,证明,证:,欲使,只要,即,取,则当,时,就有,故,故也可取,也可由,N 与 有关,但不唯一.,不一定取最小的 N.,说明:,取,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证:,反设xn收敛,但极限不唯一,设ba,取,即,xna,且xn b,(n),ab.,第二节数列极限的性质及收敛准则,一、数列极限性质,定理1.若数列收敛,则其极限唯一.,由极限定义,1,当nN1时,N2,当nN2时,取N=maxN1,N2,则当nN时,上两式同时成立.,从而当 nN时,有,矛盾,故极限唯一.,若 0
7、,正整数N,使得当nN 时,都有|xna|,几何意义:,数列的有界性.,定义:设有数列xn=f(n),若M0,使得|xn|M,n=1,2,.则称数列xn有界,否则,称xn无界.,由于|xn|MMxnM xnM,M.,故,所谓xn有界,就是xn要全部落在某个对称区间M,M内.,看图,例1.xn=(1)n有界,而xn=n2无界.,x,1,1,x,0,1,9,4,x1,x2,x3,0,x2n,x2n-1,设xna(n),则对n=1,2,有|xn|M,证:,由定义,对=1,存在自然数N,当nN时,有|xna|1,故|xn|xna|+|a|1+|a|.取M=max|x1|,|x2|,|xN|,1+|a|
8、,M,若 0,正整数N,使得当nN 时,都有|xna|,定理2.若xn收敛,则xn有界.,定理2的逆命题不成立,即：有界数列未必收敛。如xn=(1)n有界,但由定义和几何意义知(1)n是发散的.,看图,定理3.,推论2.,推论3:设有数列xn,若正整数N,当nN时,夹逼准则.,xn yn zn,证:,0,N1,当n N1时,有|xn a|.,(1),即 a xn a+(2),.设数列xn,yn,zn满足正整数N,当 n N 时,有,N2,当n N2时,有 a zn a+(3),取 N*=maxN,N1,N2,则当n N*时,(1),(2),(3)同时成立.,有,a xn yn zn a+,即|
9、yn a|.,特别,若在夹逼定理中,xn 和 zn 中有一个为常数列,并满足定理条件.定理当然成立.,即,若 a yn zn,夹逼定理的意义有:(1)给出判断数列 yn 存在极限的方法;,(2)给出了求 yn 的极限的方法.,这一方法能解决很多较为困难的求极限问题.,例2.求,解：用夹逼定理求解，,记,适当放大和缩小，形成定理要求的连不等式,考虑将 xn,由于,所以,若数列xn满足 x1x2xn,则称xn为单调递增数列.,若x1x2xn,则称xn为单调递减数列.,单调递增和单调递减数列统称为单调数列.,收敛准则,例3.x n=n2是单调递增数列,但x n是发散的.,xn=(1)n是有界数列,但
10、xn=(1)n也是发散的.,定理4.单调递增且有上界的数列必有极限;,单调递减且有下界的数列必有极限.,即,单调有界数列必有极限.,例4.数列,是单调递增且有上界的数列.,证:首先注意到,当ab0时,有,移项,有,即,(1)取,有,即,(2)取,有,即,(e=2.71828,为一无理数),定义1.,或,0,N 0,当 n N 时,有|xn|.则称 为无穷小量(无穷小数列).,第三节 数列极限运算,一、无穷小量,(1)无穷小量是指该数列以0为极限,任何一个量若其极限不为0,则不是无穷小量.,所以,除0外的任何常量(常数列)都不是无穷小量.,(3)常数列 xn=0 是无穷小量.,注:,定理1.(极
11、限与无穷小的关系定理),证:,0,N 0,当 n N 时,有|xna|.,即|n|.,故 xn=a+n,其中n 0(n+时).,则 0,N 0,当 n N 时,有|n|.,即|xna|.,若 xn=a+n,其中n 0(n+时).,故,性质1.有限多个无穷小量的代数和为无穷小量.,性质2.有限多个无穷小量的乘积仍是无穷小量.,则 xn yn 是无穷小量.即 有界量乘无穷小量仍为无穷小量.,推论.常量乘无穷小量仍为无穷小量.,性质3.若 xn 是无穷小量,|yn|M(当 n N 时),性质4.若 xn 是无穷小量,yn a(0),则,1.两个无穷小量的商不一定是无穷小量.,2.性质1,2中的条件有
12、限多个不能丢.,注:,例1.,解:,例2.,解:,故 原式=0.,看数列 xn=n2,即，1,22,32,n2,.,当 n 越来越大时,数列 xn 的值也越来越大,要多么大就有多么大,可以大于预先给定的任意大的数G.称为无穷大数列(无穷大量).,二、无穷大量,定义2.若 G 0(无论多么大),N 0,当 n N,时,有|xn|G,则称 xn 为无穷大量,记作,(1),(2)任何常数列(常量)都不是无穷大量.,注:,即,当n N 时,xn 都落在区间 G,G外面.,在 G,G内,只有 xn 的有限多个项.,例3.设|q|1.,证:G 0,(要证N 0,当 n N 时,有|qn|G),要使|qn|
13、=|q|n G.,只须,则当 n N 时,有|qn|G,故,例4.数列 xn=(1+(1)n)n 是否为无穷大量?,解:数列 xn 为,0,22,0,24,0,26,.,如图,所以 xn 不是无穷大量.,定义3.,从几何上看,xn.,xn+.,证:设 xn 为无穷大量,要证 为无穷小量.,0,因 xn 为无穷大量.,从而,定理2.若 xn 是为无穷大量,则 为无穷小量.,若 xn 是为无穷小量(xn 0),则 为无穷大量.,(1)两个无穷大量的和,差,两个无穷大量的商都不一定是无穷大量.,比如,当n+时,n2,n2,但,n2+(n2)=0,都不是无穷大量.,但,+(+)=+,+()=.,注:,
14、(2)有界量乘无穷大量不一定是无穷大量.,无穷小量乘无穷大量不一定是无穷大量(无穷小量),特别,比如,当xn=n2,yn=0,则 xnyn=0 不是无穷大量.,(3)若数列 xn,则 xn 无界,但反之不对.,如,当xn=(2+(1)n)n.无界,但不是无穷大量.,(4)=,(有界量)=.,无穷大量,无穷小量,定理3.设数列 xn和 yn 的极限都存在.且,则,(1),(2),(3)设 C 为常数，有,(4)当 b0 时，有,三、数列极限的运算法则,证：只证(1).,因,由极限与无穷小关系，,有，,xn=a+n,yn=b+n，其中n,n0(n+).,从而 xn yn=(a b)+(n n),由
15、无穷小量性质知n n0(n+),再由极限与无穷小的关系定理，知,定理4.若,证：由于,注意到不等式|A|B|A B|,从而|xn|a|xn a|,故,反之不对.,比如,设 xn=(1)n.,例5.求,解:,一般,称形为 f(x)=a0 xk+a1xk1+ak1x+ak 为 x 的一个 k 次多项式.其中k为非负整数，ai为常数,a00.两个多项式的商称为有理式(有理函数).,对这种以n为自变量的有理函数的极限问题(n时),可将分子，分母同除以分母的最高次幂n2.,由于分母的极限等于5(0),分子的极限等于3，,=0，,=.,故,一般，若 a0,b0 都非0，则,，,0，,k L,k L,例6.
16、求,解：有理化.,=50.,例7.求,解：注意到求和公式,=2.,例8.求,解：注意到,从而,所以，原式=,例9.求,解：注意到,从而，,故,内容小结,1.数列极限的“N”定义及应用,2.收敛数列的性质:,唯一性;有界性;保号性;,任一子数列收敛于同一极限,3.极限存在准则:,夹逼准则;单调有界准则;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(1)无穷小量是指该数列以0为极限,任何一个量若其极限不为0,则不是无穷小量.,所以,除0外的任何常量(常数列)都不是无穷小量.,(3)常数列 xn=0 是无穷小量.,无穷小量定义与性质：,(2)有界量乘无穷大量不一定是无穷大量.,无穷小量乘无穷大量不一定是无
17、穷大量(无穷小量),特别,(3)若数列 xn,则 xn 无界,但反之不对.,(4)=,(有界量)=.,(1)两个无穷大量的和,差,两个无穷大量的商都不一定是无穷大量.,无穷大量的定义与性质：,极限与无穷小的关系定理：,若 xn 是为无穷大量,则 为无穷小量.,若 xn 是为无穷小量(xn 0),则 为无穷大量.,无穷小量与无穷小量的关系：,设数列 xn和 yn 的极限都存在.且,则,(1),(2),(3)设 C 为常数，有,(4)当 b0 时，有,数列极限的运算法则,思考与练习,2、用“N”语言证明下列数列的极限：,3、利用夹逼定理求,1、观察下列数列的变化趋势，判断哪些数列有极限，如果有极限，写出它们的极限：,5、求下列数列的极限：,4、利用无穷小的性质求下列极限：,
