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1、,函数项级数的一致收敛性,*第六节,一、函数项级数的一致收敛性,及一致收敛级数的基本性质,二、一致收敛级数的基本性质,第十二章,一、函数项级数的一致收敛性,幂级数在收敛区间上的性质类似于多项式,但一般函,数项级数则不一定有这么好的特点.,例如,级数,每项在 0,1 上都连续,其前 n 项之和为,和函数,该和函数在 x1 间断.,因为对任意 x 都有:,所以它的收敛域为(,),但逐项求导后的级数,其一般项不趋于0,所以对任意 x 都发散.,又如,函数项级数,问题:对什么样的函数项级数才有:,逐项连续,和函数连续;,逐项求导=和函数求导;,逐项积分=和函数积分,定义.,设 S(x)为,若对,都有一
2、个只依赖于 的自然数 N,使,当n N 时,对区间 I 上的一切 x 都有,则称该级数在区间 I 上一致收敛于和函数S(x).,在区间 I 上的和函数,任意给定的 0,显然,在区间 I 上,一致收敛于和函数S(x),部分和序列,一致收敛于S(x),余项,一致收敛于 0,几何解释:(如图),当n N 时,曲线,总位于曲线,之间.,例1.,研究级数,在区间 0,+)上的收敛性.,解:,余项的绝对值:,因此,任给 0,取自然数,则当n N 时有,这说明级数在 0,+)上一致收敛于,例2.,证明级数,在 0,1 上不一致收敛.,证:,取正数,对无论多么大的正数 N,因此级数在 0,1 上不,一致收敛.
3、,说明:,对任意正数 r 1,级数在 0,r 上一致收敛.,事实上,因为在 0,r 上,任给 0,欲使,只要,因此取,只要,即级数在 0,r 上一致收敛.,维尔斯特拉斯(Weierstrass)判别法,用一致收敛定义判别级数的一致收敛性时,需求出,这往往比较困难.,下面介绍一个较方便的,判别法.,若函数项级数,在区间 I 上满足:,则函数项级数,在区间 I 上一致收敛.,简介,证:,由条件2),根据柯西审敛原理,当,n N 时,对任意正整数 p,都有,由条件1),对 x I,有,故函数项级数,在区间 I 上一致收敛.,证毕,推论.,若幂级数,的收敛半径 R 0,则此级,数在(R,R)内任一闭区
4、间 a,b 上一致收敛.,证:,则对 a,b 上的一切 x,都有,由阿贝尔定理(第三节定理1)级数,绝对收敛,由维尔斯特拉斯判别法即知推论成立.,说明:若幂级数在收敛区间的端点收敛,则一致收敛,区间可包含此端点.,证毕,例3.,证明级数,在(,)上 一致收敛.,证:,而级数,收敛,由维尔斯特拉斯判别法知所给级数,在(,)上 一致收敛.,说明:,维尔斯特拉斯判别法不仅能判别级数的一致收,敛性,而且能判别其绝对收敛性.,当不易观察到不等式,可利用导数求,例如,级数,用求导法可得,已知,收敛,因此原级数在 0,)上一致收敛.,二、一致收敛级数的基本性质,定理1.,若级数,证:,只需证明,由于,因为级
5、数,一致收敛于S(x),使当 n N 时,有,对这样选定的 n,从而必存在 0,从而得,证毕,说明:,(1)定理1 表明,对一致收敛的级数,极限运算与无限,求和运算可交换,即有,(2)若函数项级数不一致收敛时,定理结论不一定成立.,例如,级数,在区间 0,1 上处处收敛,而其和函数,在 x=1 处不连续.,定理2.,若级数,则该级数在 a,b 上可逐项积分,且上式右端级数在 a,b 上也一致收敛.,证:因为,所以只需证明对任意,一致有,根据级数的一致收敛性,使当,n N 时,有,于是,当 n N 时,对一切,有,因此定理结论正确.,证毕,说明:,若级数不一致收敛时,定理结论不一定成立.,例如,
6、级数,它的部分和,因此级数在 0,1 上,收敛于 S(x)=0,所以,但是,对级数定理结论不成立的原因:,级数的余项,可见级数在 0,1 上不一致收敛,此即定理2 结论,对级数不成立的原因.,定理3.,若级数,且可逐项求导,即,证:,先证可逐项求导.,根据,定理2,上式两边对 x 求导,得,再证,根据,而,定理2,所以,级数一致收敛并不保证可以逐项求导.,例如,例3中的级数,说明:,在任意区间上都一致收敛,但求导后的级数,其一般项不趋于 0,所以对任意 x 都发散.,证毕,例4.,证明函数,对任意 x 有连续导数.,解:,显然所给级数对任意 x 都收敛,且每项都有连续,导数,而逐项求导后的级数
7、,故级数在(,),上一致收敛,故由定理3可知,再由定理1可知,定理1,定理3,定理4.若幂级数,的收敛半径,则其和函,在收敛域上连续,且在收敛区间内可逐项求导与,逐项求积分,运算前后收敛半径相同,即,证:由维尔斯特拉斯判别法的推论及定理 1,2 可知,和函数连续、级数逐项可积；,级数逐项可导分两步证：,内收敛.,则,由比值审敛法知,因此存在 M 0,使得,由比较审敛法可知,从而在(R,R)内任一闭区间,上一致收敛,故原级数,上满足定理3 条件,定理3,从而可逐项求导,再由a,b 的任意性,即知,再证,的收敛半径 R=R.,前面已证,定理3,逐项积分,得,证毕,因逐项积分所得级数的收敛半径不会缩小,综上所述,幂级数,(R,R)内有任意阶导数,且有,其收敛半径都为 R.,推论:,的和函数 S(x)在收敛区间,作业P299 1;3(2);4(2),(4),(5),第七节,维尔斯特拉斯(1815 1897),德国数学家.,他的主要贡献是在函数,论及分析学方面.,1854年,他解决了椭圆,以后还建立了椭圆函,数的新结构.,他在分析学中建立了实数,理论,引进了极限的 定义,定义及性质,还构造了一个处处不可微的连续函数:,积分的逆转问题,给出了连续函数的严格,为分析学的算术化作出了重要贡献.,
