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1、二、连续与间断,一、函数,三、极限,习题课,函数与极限,一、函数,1.函数的概念,定义:,定义域,值域,图形:,(一般为曲线),设,函数为特殊的映射:,其中,2.函数的特性,有界性,单调性,奇偶性,周期性,3.反函数,设函数,为单射,反函数为其逆映射,4.复合函数,给定函数链,则复合函数为,5.初等函数,有限个常数及基本初等函数,经有限次四则运算与复,复合而成的一个表达式的函数.,例1.设函数,求,解:,二、连续与间断,1.函数连续的等价形式,有,2.函数间断点,第一类间断点,第二类间断点,可去间断点,跳跃间断点,无穷间断点,振荡间断点,有界定理;,最值定理;,零点定理;,介值定理.,3.闭区
2、间上连续函数的性质,例2.设函数,在 x=0 连续,则 a=,b=.,提示:,有无穷间断点,及可去间断点,解:,为无穷间断点,所以,为可去间断点,极限存在,例3.设函数,试确定常数 a 及 b.,例4.设 f(x)定义在区间,上,若 f(x)在,连续,提示:,阅读与练习,且对任意实数,证明 f(x)对一切 x 都连续.,证:,P73 题5.证明:若,令,则对,当,时,有,又,根据有界性定理,使,取,则,在,内连续,存在,则,必在,内有界.,三、极限,1.极限定义的等价形式,(以 为例),(即 为无穷小),有,2.极限存在准则及极限运算法则,3.无穷小,无穷小的性质;,无穷小的比较;,4.两个重要极限,6.判断极限不存在的方法,5.求极限的基本方法,例5.求下列极限：,提示:,令,例6.确定常数 a,b,使,解:,原式,故,于是,而,例7.当,时,是,的几阶无穷小?,解:设其为,的,阶无穷小,则,因,故,阅读与练习,1.求,的间断点,并判别其类型.,解:,x=1 为第一类可去间断点,x=1 为第二类无穷间断点,x=0 为第一类跳跃间断点,2.求,解:,原式=1,(2000考研),3.求,解:令,则,利用夹逼准则可知,
