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1、1,第二章 静电场中的导体和电介质,(Conductor and Dielectric in Electrostatic Field),2,4.2,4.3,4.4,4.5 5.2,5.16,5.24,5.29,3,导体 conductor:内部存在大量可自由移动电荷。两类：金属自由电子；电解质正负离子,电介质 Dielectric:就是电的绝缘体，它与导体构成一对矛盾体。在应用中作用正相反，但又常常并用。,问题是在外静电场作用下，导体中电荷重新分布，介质也会被极化产生束缚电荷，他们都会产生电场从而影响总的电场。,4,2.1 静电场中的导体2.2 有导体存在时静电场场量的计算2.3 空腔导体壳与
2、静电屏蔽2.4 电介质的极化2.5 有介质时静电场的规律2.6 电容器及其电容2.7 静电场的能量2.8 铁电体、压电效应2.9*静电场的唯一性定理,5,2.1 静电场中的导体一.导体的静电平衡条件1.静电平衡 electrostatic equilibrium 导体内部和表面无电荷的定向移动 2.导体静电平衡的条件,二.静电平衡时导体的性质 1.导体上各点电势相等，即导体是等势体，表面是等势面。,E为总场强！,6,是静电平衡条件的另一种表述。,2.导体上电荷的分布,导体体内处处不带电，电荷只带在导体表面,证明：由高斯定理可证（第一章已证）,3.导体表面的电场强度,导体表面场强处处与表面垂直(
3、平衡条件），,是 的必然结果,7,：外法线方向,场强大小与该处表面电荷密度关系：,证明：,包围该面元作扁盒状闭合面，有,命题得证,或,8,4.孤立带电导体表面电荷分布 在表面凸出的尖锐部分(曲率为正且较大)电荷面密度较大；在比较平坦部分(曲率较小)电荷面密度较小；在表面凹进部分(曲率为负)带电面密度最小。,一般：分布复杂，满足平衡条件。,危害与应用：避雷针。,9,1.将一带正电的导体A移近一原不带电的绝缘导体B时，导体B的电势是升高还是降低？为什么？2.空间有N个带电导体，试证其中至少存在一个导体，其表面上各点电荷密度不异号(可先证N=2情形)。,思考,10,原则：1.静电平衡的条件 2.静电
4、场的基本方程 3.电荷守恒定律,2.2 有导体存在时静电场场量的计算 理论上：Q分布确定，E、U分布亦确定。但导体上的电荷分布不是人为规定的，如何处理有导体存在时的静电场问题？,11,例1,1,2,求：导体板两表面的面电荷密度。,解:,设导体电荷密度为 1、2，,电荷守恒：,导体内场强为零：,(2),（1）、（2）解得：,平行放置一无限大的不带电导体平板。,面电荷密度为0 的均匀带电无限大平板旁，,已知：,1+2=0(1),E0+E1E2=0,（不计边缘效应）,12,下面结果哪个正确?,若上面例题中导体板接地，,13,例2 两平行放置的无限大带电金属平板求：两金属板两侧面电荷密度之间的关系,解
5、:,导体体内任一点P场强为零,（不计边缘效应）,不计边缘效应，电荷在各表面均匀分布，设面密度,分别为,两板间场强垂直平板,作如图高斯面，有,14,在一个金属板内任取一点P,有,又由前,故,即：无论两板各自带电量如何，要满足导体静电平衡条件，其相对内侧面带电必等量异号，外侧面带电必等量同号.,15,例3 金属球A与金属球壳B同心放置,已知：球A半径为R0,带电为q.,金属壳B内外半径分别为R1,R2；带电为Q.,解：1)导体带电在表面。*由于A,B同心放置,等势面为同心球面，呈中心对称。电荷在表面均匀分布.,16,面S的电通量：,*壳B上的电荷的分布：在B的内部作高斯面S，,球A表面均匀分布着电
6、荷,相当于一个均匀带电的球面,相当于三个同心均匀带电球面。,17,等效:在真空中三个均匀带电的同心球面,利用叠加原理,又：此问可先求出各区E的分布，再由定义求U,课下完成,18,若将B接地，各表面电荷分布,易得：B内表面电荷为-q；外表面电荷为零。,若将B的地线拆掉后，再将A接地，此时各表面电荷分布,A接地后,电荷不再为q,设为q(待求)则B内表面为-q,外表面为-q+q 由电势叠加有,可得 q(q)(略),19,例4 接地导体球附近有一点电荷,如图所示。求:导体上感应电荷的电量,解:,接地 即,感应电荷分布在表面，电量设为:Q（分布不均匀！）,由导体等势，则内部任一点的电势为0,选择特殊点：
7、球心o计算电势，有：,20,2.3 空腔导体壳与静电屏蔽 electrostatic shielding,讨论的问题：1)腔的内、外表面电荷分布特征；2)腔内、腔外空间电场特征。,空腔导体壳：,两个表面：内表面、外表面空间分割为腔内、腔外,21,证明:,与导体等势矛盾,?,一.腔内无带电体时,特征：内表面处处无电荷 腔内无电场,即,1）在导体壳内紧贴内表面作高斯面S,2）可否内表面一部分带正电，另一部分带等 量负电？不能！,如是，则会从正电荷向负电荷发电场线,证明了上述两个结论,22,1)导体壳是否带电?2)腔外是否有带电体?,注意：证明过程 并未涉及：,物理内涵,在腔内,二.腔内有带电体时,
8、带电量：,（用高斯定理易证）,23,*腔内电量q；,仍与,即仍有:,*腔内带电体及腔内壁的 几何因素、介质。,（可证）,无关,保护腔内区不受外界场的影响,腔内的电场：,不为零。,由空腔内状况决定，取决于：,在腔内,24,汽车是个静电屏蔽室：闪电击中汽车。车内安然无恙！,25,三.静电屏蔽的装置-接地导体壳,实现双向静电屏蔽：,+,腔内、腔外的场 互不影响！,26,腔内场,决定于内部电荷和内部几何因素及介质,腔外场,决定于外部电荷和外部几何条件及介质,与外部电荷无关！,即,与内部电荷无关！,即,对接地导体壳而言：,27,*说明：若导体壳不接地,腔内场：特性不变；,腔外场：,的结论不变,只与qin
9、 的大小有关，而与其位置无关。,原因：因感应，qin值将影响腔的外表面上的 电荷量,从而影响腔外电场的强弱（但 不改变外场的相对分布）。,28,一.电场中置入电介质时的影响,平行金属板带电，与静电计相连。显示电势差。,保持Q不变：其间插入电介质，,电势差减小；取出介质，复原。,2.4 电介质的极化,29,书P133表5.1列出了某些电介质的r，,极板电量不变时，在极间充满各向同性均匀电介质前后的场强关系为：,r 介质的相对介电常数(相对电容率)(relative permittivity）,r与介质种类和状态有关。,其中：空气r=1，,水(0,1atm)r=80，,钛酸钡r=103104。,3
10、0,介质在电场中出现附加电荷称极化(polarization),二.电介质分子可分为有极和无极两类,1.有极分子(polar molecule):,有电偶极矩，,如:水,HCl，NH3,2.无极分子(nonpolar molecule)：,电偶极矩。,无固有,具有固,。,如：He，Ne，CH4,31,三.极化机制,1.位移极化（displacement polarization）,对无极分子,2.取向极化（orientation polarization）,对有极分子,32,几点说明：,由于热运动，不是都平行于；,有极分子也有位移极化，但在静电场中主 要是取向极化；,有极分子在高频场中，位移极
11、化反而是主 要的。,四.极化强度（electric polarization）,定义极化强度矢量：,V是宏观小、微观大的体积。,33,E不太强时，在各向同性介质内有：,e 称电极化率(polarizability)。,五.极化电荷（polarizatcon charge）,1.极化面电荷,以位移极化为例，设在电场力作用下正电荷向电场方向移动。,34,设,单位体积分子数为 n，,则,35,2.极化体电荷：,称为 的“散度”(divergence)。,在直角坐标中,36,例 已知一介质球被均匀极化，极化强度为,求：极化电荷分布,解：,均匀极化,有,均匀极化，电荷 并不均匀分布！,37,2.5 有介
12、质时静电场的规律,一.的高斯定理,38,令,称为电位移（electric displacement）或电感（应）强度,的高斯定理,对各向同性介质,于是有,39,例1证明各向同性均匀介质内0=0处必有=0。,证：,40,例2 一无限大各向同性均匀介质平板厚度为,解：,面对称：平板,取坐标系如图,处,以 处的面为对称,过场点作正柱形高斯面,底面积设为S0,由高斯定理：,求：介质板内、外的,（中分面）,41,42,例3 已知：导体球R1、qo，,求：的分布。,解：,导体球内：,导体球外：,介质和电场球对称，,选高斯面 S，令其半径r R1，,(高),介质外：,介质内：,均匀介质球壳R2、r。,43,
13、下面求极化电荷q 的分布：,介质内部：,介质内表面：,44,介质外表面：,45,二.静电场的界面关系,1.界面的法向,（高）,2.界面的切向,扁柱体面,扁矩形边,（环）,0,46,3.对各向同性介质交界面,若,则,若,则,47,举例：均匀电场中置入均匀各向同性 介质板，E0，已知。求：板内外场强（不计边缘效应）。,分析：介质均匀极化，板外 E=0,由,大小、方向可求。,48,2.6 电容器及电容 capacitor，capacity,一.孤立导体的电容,C只与导体几何因素和介质有关,单位（SI）:法拉,给定孤立导体，有,定义,固有的容电本领,例 求真空中孤立导体球的电容,设球带电为,解：,导体
14、球电势,49,导体球 电容,数量级,欲得到 1F 的电容,孤立导体球的半径 R=?,由孤立导体球电容公式知,50,二.电容器的电容,电容器：特殊导体组 导体壳+壳内的另一导体。,定义,两极板间电势差,特点：其间电场由电量和 几何因素及介质决定。,等量异号,给定电容器：,51,典型的电容器,设,电容的计算方法：,52,例,求柱形电容器单位长度（柱高）的电容,设单位长度（柱高）带电量为,解：,不计边缘效应,53,有介质时电容器的电容,真空电容器,介质充满极板之间,填充介质的作用 增大电容,有电介质时还需考虑介质的击穿问题.,Q0:极板电荷（自由电荷）,54,思考：如图示的平板电容器被一金属盒子包围
15、（并与之绝缘），问：从a、b端看进去的电容量是否等于平板电容器的电容量？(分析理由)。,55,本节全部自学。,下面提出几个可供深入思考、调研的问题：,1.什么是分布电容（杂散电容、寄生电容）？,它在实际问题中有何影响？,如何减少影响？,2.当电容器两极板带电量不是等量异号时，如何由定义C=Q/V来计算电容量？(Q取何值？),3.举出电容器应用二、三例，说明应用原理。,4.电容器的边缘效应。,56,2.9 静电场的能量,一.电容器的能量,总电能,57,二.静电场的能量,电场是物质，它也具有能量，此能量就储存在电场中。,以平板电容器为例来分析：,电场能量密度：,58,可以证明 对所有线性极化的介质
16、（包括各向异性的线性极化介质）都成立。,在空间任意体积V内的电场能：,对各向同性介质：,此式和 是一致的。,59,例如，均匀带电球壳的电场能W：,球面电势,一致,60,电能是储存于有电场的空间中，还是储存于电荷所在之处，这在静电场中很难分辩。,在变化电磁场中，可以证明，电能储存于有电场的空间中的结论是正确的。,*2.10 铁电体(ferroelectrics)和 压电效应(piezoelectric effect),（教材P138141）,61,2.11*静电场的唯一性定理,区域求解问题：,如何通过边界条件反映未,知的域外电荷对域内场的影响呢？,问题的提出,由,知，,若要求 得,知道全空间的电
17、荷分布。,但是有时我们只知道,某个域内的电荷分布,域内的电场情况。,对域外情况并不清楚。,和域边界上的某些情况，,必须,而且我们也仅仅关心,这就是,静电场的唯一性定理所要解决的问题。,62,*一.唯一性定理（uniqueness theorem）,域内的解就是唯一的。,（1）给定各边界上的电势分布；,边界面的电通量,（3）一部分边界按条件（1）给出，,设在给定域内电荷分布确定，,则给定下列边界,条件之一，,这些条件是：,（2）已知各边界面均为等势面，,并给定了各闭合,按条件（2）给出,其余边界,（即混合边界条件）。,（通常是给出导体的电量）。,63,证明：,则对域内任意闭合曲面 S有：,令,则
18、对,域,V,S,S1,S2,Si,用反证法。,设域内有两个满足给定条件的,解,即对应于,域内无电荷分布,（S 可任选）,这说明：,或,情况（A）；,或,而,线发自一边界，止于另一边界,情况（B）,64,下面证明只可能是情况（A），即,若按条件（1）给定：,即 U1si=U2si，,则,说明各边界面电势为0,所以，场强、电势皆唯一。,情况（B）不成立，,故只有情况（A）成立，,即：,65,若按条件（2）给定，,电势可不同），,且边界上不存在U的极大值,和极小值,只可能,则只可能情况（A）成立，,亦即场强唯一，电势可差一常量(没给定)。,即,即各边界的电势相同。,则：,说明对 而言，,边界都是等势
19、面,（各面,再考虑到，,66,（自己证明）,二.静电屏蔽（electrostatic shielding）,壳内域：,若q内 给定，,（2）类边界条件。,而U内则可差一常量。,证明域内 和 U 都唯一确定。,若按条件（3）给定，,则可仿照前面的讨论，,S内,（无限靠近内壁）,这符合唯一性定理的第,则,67,不管q外如何，上述定解条件均不变，,封闭导体壳屏蔽了壳外电荷对壳内的影响。,壳外域：,若q外给定，,则,只要q内的大小不变（可在壳内移动），,就唯一确定。,68,当导体壳接地时，,内域：,内域,外域,q内分布给定，,US内。,与q外无关，,外域：,q外分布给定，,与 q内无关。,接地导体壳可
20、屏蔽壳内外电荷间的相互影响。,结论：,69,由唯一性定理和静电屏蔽的结论可还推知（自行证明），在图示情形中，应有：,在 rR 处，,思考,70,*三.电（镜）像法（method of images）,已知：点电荷q处于（0，0，a）点，,求：z 0区域的=？导体面上=？,解：,定解条件：,域内q已知，位置确定，,符合第（1）类边界条件，,z 0的区域内解唯一。,求解域,例1,z=0的平面为无限大导体平面，,Uz=0。,71,去掉无限大导体平面，,此时边界条件为：,由唯一性定理知，q 和 q 在域内的合场强 即为 z 0 域内该命题的解。,符合原定解条件。,解为：,试探在（0，0，-a）处，,放
21、个点电荷q=-q，,以此来代替导体面上感应,电荷对 z 0 区域内的影响。,72,题中的点电荷q，,导体平面上的感应电荷面密度为：,即为q对导体面的“电镜像”,（简称“电像”）。,73,有一点电荷q，,求：球外电势U。,解：,域内(球外)电荷给定，,q,l,边界条件,满足第（1）类边界条件，解唯一。,则球外电势,此解自动满足无限远的边界条件U=0。,例2,已知：,在半径为a的接地导体球外的A点,A点到球心的距离为l。,74,为了满足球面上的边界条件，,由此可导出：,应有：,75,对电像法的几点说明：,3.放置电像的原则：不能破坏域内给定的电荷分布（电像必须放在域外）；,1.电像法的理论依据是唯一性定理；,2.电像法的本质是，,来等效边界上的未知电荷对域内的影响；,要使像电荷和给定电荷的总电场满足原,4.电像可以不止一个；5.不是任何情况都能找到电像。,边界条件；,用域外配置的像电荷，,76,找出电像，或指出是否 存在电像。,77,
