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1、1.4 直线与平面及两平面的相对位置,1.4.1 平行1.4.2 相交1.4.3 垂直,基本要求,（一）平行问题 1熟悉线、面平行，面、面平行的几何条件；2熟练掌握线、面平行，面、面平行的投影特性及作图方法。（二）相交问题 1熟练掌握特殊位置线、面相交（其中直线或平面的投影具有积聚性）交点的求法和作两个面的交线（其中一平面的投影具有积聚性）。2熟练掌握一般位置线、面相交求交点的方法；掌握一般位置面、面相交求交线的作图方法。3掌握利用重影点判别投影可见性的方法。（三）垂直问题 掌握线面垂直、面面垂直的投影特性及作图方法。（四）点、线、面综合题 1熟练掌握点、线、面的基本作图方法；2能对一般画法几
2、何综合题进行空间分析，了解综合题的一般解题步骤和方法。,直线与平面平行,两平面平行,1.4.1 平行,直线与平面平行,D,B,C,A,P,若：ABCD则：ABP,若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与该平面平行。这是解决直线与平面平行作图问题的依据。,几何条件：,有关线、面平行的作图问题有：判别已知线面是否平行；作直线与已知平面平行；包含已知直线作平面与另一已知直线平行。,结论：直线AB不平行于定平面,例1 试判断直线AB是否平行于定平面,a,c,b,m,a,b,c,m,n,例2 过M点作直线MN平行于平面ABC。,有无数解,d,d,X,正平线,例3 过M点作直线MN平行于V面和
3、 平面 ABC。,唯一解,c,b,a,m,a,b,c,m,n,d,d,X,例4 试过点K作水平线AB平行于CDE平面,直线与特殊位置平面平行,当平面为投影面的垂直面时，只要平面有积聚性的投影和直线的同面投影平行，或直线也为该投影面的垂线，则直线与平面必定平行。,两平面平行,若一个平面内的相交二直线与另一个平面内的相交二直线对应平行，则此两平面平行。这是两平面平行的作图依据。判别两已知平面是否相互平行；过一点作一平面与已知平面平行；已知两平面平行，完成其中一平面的所缺投影。,几何条件：,两平面平行的作图问题有：,两平面平行,若一平面上的两相交直线分别平行于另一平面上的两相交直线，则这两平面相互平
4、行。,AB；AC；则：PQ,若两投影面垂直面相互平行，则它们具有积聚性的那组投影必相互平行。,两特殊位置平面平行,两特殊位置平面平行,两一般位置平面平行,a,c,e,b,b,a,d,d,f,c,f,e,k,h,k,h,O,X,m,m,由于ek不平行于ac,故两平面不平行。,例1 判断平面ABDC与平面EFHM是否平行，已知ABCDEFMH,例2 试判断两平面是否平行,结论：两平面平行,例3 已知定平面由平行两直线AB和CD给定。试过 点K作一平面平行于已知平面。,例4 试判断两平面是否平行。,结论：因为PH平行SH，所以两平面平行,直线与平面相交,两平面相交,1.4.2 相交问题,直线与平面相
5、交，其交点是直线与平面的共有点。,1.直线与平面相交,要讨论的问题：,(1)求直线与平面的交点。,(2)判别两者之间的相互遮 挡关系，即判别可见性。,我们将分别讨论一般位置的直线与平面或至少有一个处于特殊位置的情况。,2.两平面相交,两平面相交其交线为直线，交线是两平面的共有线，同时交线上的点都是两平面的共有点。,要讨论的问题：,求两平面的交线,方法：,确定两平面的两个共有点。,确定一个共有点及交线的方向。,判别两平面之间的相互遮挡关系，即：判别可见性。,1 直线与特殊位置平面相交,直线与特殊位置平面相交判断直线的可见性特殊位置直线与一般位置平面相交,1.直线与特殊位置平面相交,由于特殊位置平
6、面的某个投影有积聚性，交点可直接求出。,2.判断直线的可见性,特殊位置线面相交，根据平面的积聚性投影，能直接判别直线的可见性。,例1 求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性。,空间及投影分析:,平面ABC是一铅垂面，其水平投影积聚成一条直线，该直线与mn的交点即为K点的水平投影。,求交点,判别可见性,由水平投影可知，KN段在平面前，故正面投影上kn为可见。,还可通过重影点判别可见性。,1(2),X,k,m(n),b,m,n,c,b,a,a,c,直线为特殊位置,空间及投影分析:,直线MN为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，故交点K的水平投影也积聚在该点上。,求交点,判别可见性,点位于平面上，在
7、前，点位于MN上，在后，故k1为不可见。,X,(),k,例2 求铅垂线EF与一般位置平面ABC的交点并判别 其可见性。,2.一般位置平面与特殊位置平面相交,求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问题，由于特殊位置平面的某个投影有积聚性，交线可直接求出。1.求交线 2.判断平面的可见性,求交线,判断平面的可见性,2.判断平面的可见性,a,b,c,d,e,f,c,f,d,b,e,a,m(n),例3 求两平面的交线 MN并判别可见性。,空间及投影分析：,求交线,判别可见性,从正面投影上可看出，在交线左侧，平面ABC在上，其水平投影可见。,平面ABC与DEF都为 正垂面，它们的交线为一条正垂线，两
8、平面正面投影的交点即为交线的正面投影，交线的水平投影垂直于OX轴。,还可通过重影点判别可见性,a,a,b,d(e),e,b,d,h(f),c,f,c,h,空间及投影分析：,平面DEFH是一铅垂面，它的水平投影有积聚性，其与ac、bc的交点m、n 即为两个共有点的水平投影，故mn即为交线MN的水平投影。,求交线,判别可见性,点在MC上，点在FH上，点在前，点在后，故mc 可见。,作图,X,2,1,1(2),b,投影分析,N点的水平投影n位于def 的外面，说明点N位于DEF所确定的平面内，但不位于DEF这个图形内。所以ABC和DEF的交线应为MK。,n,求交线,判别可见性,作图,DEF的正面投影
9、积聚,3.直线与一般位置平面相交,以正垂面为辅助平面求线面交点 示意图以铅垂面为辅助平面求线面交点 示意图判别可见性 示意图,过EF作正垂面Q,E,以正垂面为辅助平面求线面交点 示意图,1,2,QV,步骤：1过EF作正垂平面Q。,2求Q平面与ABC的交线。,3求交线与EF的交点K。,示意图,以正垂面为辅助平面求直线EF与ABC平面的交点,过EF作铅垂面P,以铅垂面为辅助平面求线面交点 示意图,F,2,PH,步骤：1过EF作铅垂平面P。,2求P平面与ABC的交线。,3求交线与EF的交点K。,示意图,以铅垂面为辅助平面求直线EF与ABC平面的交点,1,利用重影点判别可见性,直线EF与平面 ABC相
10、交，判别可见性。,示意图,f,e,e,直线EF与平面 ABC相交，判别可见性。,利用重影点判别可见性,1,2,4,3,（）,示意图,(),3,4.两一般位置平面相交,求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问题,因而可利用求一般位置线面交点的方法找出交线上的两个点，将其连线即为两平面的交线。两一般位置平面相交求交线判别可见性,两一般位置平面相交求交线的方法 示意图,利用求一般位置线面交点的方法找出交线上的两个点，将其连线即为两平面的交线。,两一般位置平面相交，求交线步骤：1用求直线与平面交点的方法，作出两平面的两个共有点K、E。,2连接两个共有点，画出交线KE。,示意图,例4,求两平面的交线
11、,利用重影点判别可见性,两平面相交，判别可见性,(),(),综合性问题解法,试过K点作一直线平行于已知平面ABC，并与直线EF相交。,综合性问题解法,综合性问题解法,综合性问题解法,例5,过已知点K作平面P平行于 ABC；直线EF与平面P交于H；连接KH，KH即为所求。,分析,PV,1,2,1过点K作平面KMN/ABC平面。,2求直线EF与平面KMN的交点H。,3连接KH，KH即为所求。,作图,直线与平面垂直,两平面互相垂直,1.4.3 垂直问题,1 直线与平面垂直,几何条件：若一直线垂直于一平面，则必垂直于属于该平面 的一切直线。,定理1：若一直线垂直于一平面、则直线的水平投影必垂直于属 于
12、该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直 于属于该平面的正平线的正面投影。,定理2：若一直线的水平投影垂直于属于平面的水平线的水平投影；直线 的正面投影垂直于属于平面的正平线的正面投影、则直线必垂直于该平面。,a,例6 平面由 BDF给定，试过定点M作平面的垂线。,h,例7 试过定点K作特殊位置平面的法线。,X,O,例8 平面由两平行线AB、CD给定，试判断直线MN 是否垂直于定平面。,几何条件：若一直线垂直于一定平面，则包含这条直线的所 有平面都垂直于该平面。,2.两平面相互垂直,反之，两平面相互垂直，则由属于第一个平面的任意一点向第二个平面作的垂线必属于第一个平面。,两平面垂直,两平
13、面不垂直,X,O,例10 平面由 BDF给定，试过定点K作已知平面的垂面,结论：两平面不平行,X,O,例11 试判断 ABC与相交两直线KG和KH所给定的平面 是否垂直。,1.5.1 距离与角度的度量,1.5.2 求解点、直线、平面综合题,1.5 点、直线、平面的图解制图,求解综合问题主要包括：,平行、相交、及垂直等问题侧重于探求每一个单个问题的投影特性、作图原理与方法。而实际问题是综合性的，涉及多项内容，需要多种作图方法才能解决。,综合问题解题的一般步骤：1.分析题意 2.明确所求结果，找出解题方法 3.拟定解题步骤,空间几何元素的定位问题（交点、交线）,空间几何元素的度量问题（如距离、角度
14、）。,例12 已知三条直线CD、EF和GH，求作一直线AB与 CD平行，并且与EF、GH均相交。,1.5.1 距离与角度的度量,分析,所求得直线AB一定在平行于CD的平面上，并且与交叉直线EF、GH相交。,作图过程,k,k,1,1,2,2,a,a,b,b,例13 试过定点A作直线与已知直线EF正交。,分析,过已知点A作平面垂直于已知直线EF，并交于点K，连接AK，AK即为所求。,作图,空间几何元素度量问题,度量问题是解决距离和角度的度量问题，主要基础是根据 直角投影定理作平面的垂线或直线的垂面，并求 其实长或实形。,1.距离的度量,点到点之间的距离.求二点之间线段的实长（直角三 角形法）。,点
15、到直线之间的距离.过点作平面垂直于直线，求出垂 足，再求出点与垂足之间的线段 实长。,点到平面之间的距离.过点作平面的垂线，求出垂足，.再求出点与垂足之间的线段实长。,直线与直线平行之间的距离,直线与交叉直线之间的距离,直线与平面平行之间的距离,平面与平面平行之间的距离,过一直线上任一点作另一直线的垂线，余下方法同点到直线的距离。,包含一直线作一平面平行于另一直线，在另一直线上任取一点，过点作平面的垂线，求出垂足，再求出点与垂足之间的线段实长。,过直线上任一点作平面的垂线。方法同点到平面的距离。,过一平面上任一点作另一平面的垂线。余下方法同点到平面的距离。,例14 求点C到直线AB的距离。,分
16、析,过C点作直线AB的垂线CK一定在过C点并且与AB垂直的平面P内，过C点作一平面与直线AB垂直，求出该平面与AB的交点K，最后求出垂线CK的实长即为所求。,作图过程,1,2,1,2,所求距离,PV,例15 求两平行直线AB 和CD的距离。,1,2,1,2,所求距离,PV,d,d,例16 求点到ABC平面的距离。,作出垂线后，用辅助平面法求出垂线与平面的交点（即垂足），再用直角三角形法求出线段的实长即可。,所求距离 MK实长,m,c,c,a,b,a,b,X,O,d,d,例17 求交叉两直线AB和CD的公垂线。,分析,P,过一条直线CD作平面P平行于另一条直线AB，在过点A作平面P的垂线AH，求
17、出垂足点E；在平面P上过点E作直线EFAB与直线CD交于点K；过点K作直线KL AH交AB于L点，KL即为所求的公垂线。,作图过程,3,4,e,e,k,k,PH,2.角度的度量,两相交直线间的夹角,直线与平面的夹角,两平面间的夹角,任作一直线分别与两相交直线相交，构成三角形，求三角形的实形（分别求出三边的实长），夹角即可求得。,两相交直线间的夹角,直线和它在平面上的投影所夹的锐角，称为直线与面的夹角。过直线上任一点角度作平面的垂线，求出直线与垂线的夹角（方法同两相交直线的夹角）的余角，余角即为所求。此法又称余角法。,直线与平面的夹角,两平面间的夹角,两平面间的夹角就是两平面二面角的平面角。在空间任取一点，分别作二平面的垂线，求出二垂线间的夹角(方法同两相交直线间的夹角)的补角，补角即为所求。此法又称补角法。,例18 求直线与平面的夹角,作的余角，即为所求直线与平面的夹角。,本 章 结 束,
