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1、专题七 曲线的性质和轨迹问题,【考点搜索】,【考点搜索】,1.掌握圆锥曲线的第一定义和第二定义反映的几何性质；2.求曲线的方程的常见方法：待定系数法，即先确定方程的形式，再确定方程的系数；定义法，即根据已知条件，建立坐标系、列出x和y的等量关系、化简关系;代入法;参数法.,【课前导引】,【课前导引】,1.已知F1、F2是双曲线 的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是(),解析 设的中点为P，依题意，,解析 设的中点为P，依题意，,答案 D,2.以下四个关于圆锥曲线的命题中：,设A、B为两个定点，k为非零常数，则动点P的轨迹为 双曲线；过
2、定圆C上一定点A作圆的动点弦AB，O为坐标原点，若 则动点P的轨迹为椭圆；,方程 的两根可分别作 为椭圆和双曲线的离心率；,双曲线 相同的焦点.,其中真命题的序号为_（写出所有真命题的序号）,解析 的轨迹可能是双曲线的一支，也可能是一条射线，也可能无轨迹；的轨迹是圆；计算知正确。,【链接高考】,【链接高考】,例1,(1)设椭圆的离心率为，证明(2)证明：(3)设 求椭圆的方程.,解析,(另：由ab=c2知：,(2)由(1)有,故所求椭圆的方程为,故所求椭圆的方程为,说明 本题采用了待定系数法求轨迹方程.,例2 在ABC中,已知B(-3,0),C(3,0),的垂心H分有向线段 所成的比为,(1)
3、分别求出点A和点H的轨迹方程;,解答 设H点的坐标为(x,y),对应的A的坐标为(x1,y1),则D的坐标为(x1,0),由H分有向线段,此即点H的轨迹方程.,(2)由(1)可知,P,Q分别为椭圆的左右焦点,设H(x,y),且数列,则,说明 本题采用了代入法求轨迹方程.,例3 如图，设抛物线的焦点为F，动点P在直线上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.(1)求APB的重心G的轨迹方程.(2)证明PFA=PFB.,解答(1)设切点A、B坐标分别为,所以APB的重心G的坐标为,由于P点在抛物线外，,AFP=PFB.,方法2：,所以d1=d2，即得AFP=PF
4、B.,所以P点到直线AF的距离为：,同理可得到P点到直线BF的距离,因此由d1=d2，可得到AFP=PFB.,同理可得到P点到直线BF的距离,因此由d1=d2，可得到AFP=PFB.,说明 本题采用了代入法求轨迹方程.,例4 如右图,已知A:(x+2)2+y2=,B:(x2)2+y2=,动圆P与A、B都相外切.,(1)动圆圆心P的轨迹方程；(2)若直线y=kx+1与(1)中的曲线有两个不同的交点P1、P2，求k的取值范围.,解答(1)依题意，PAPB=,故P的轨迹是双曲线的右支，a=1，c=2，其方程为：,(2)联立方程组,在1,+)有两不同的解，,例5 A、B是抛物线 y2=2px(p0)上
5、的两点，且OAOB，1.求A、B两点的横坐标之积和纵坐标之积；2.求证：直线AB过定点；3.求弦AB中点P的轨迹方程；4.求AOB面积的最小值；5.求O在AB上的射影M轨迹方程.,解答(1)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，中点P(x0,y0)，,OAOB kOAkOB=-1，x1x2+y1y2=0,y12=2px1，y22=2px2,y10,y20,y1y2=4p2 x1x2=4p2.,(2)y12=2px1，y22=2px2(y1y2)(y1+y2)=2p(x1x2),AB过定点(2p,0)，设M(2p,0).,(3)设OAy=kx，代入y2=2px 得:x=0，,同理，以代k得B(2
6、pk2,-2pk).,即 y02=px0-2p2，中点M轨迹方程 y2=px-2p2,(4),当且仅当|y1|=|y2|=2p时，等号成立.,(5)法一：设H(x3,y3),则,由(1)知，y1y2=-4p2，,整理得：x32+y32-2px3=0，点H轨迹方程为x2+y2-4x=0(去掉(0,0).,H在以OM为直径的圆上 点H轨迹方程为(x-p)2+y2=p2,去掉(0,0).评注：此类问题要充分利用(1)的结论.,法二：OHM=90,又由(2)知OM为定线段,专题七 曲线的性质和轨迹问题,第二课时,【考点搜索】,【考点搜索】,1.在求动点轨迹方程的过程中，一是寻找与动点坐标有关的方程（等
7、量关系），侧重于数的运算，一是寻找与动点有关的几何条件，侧重于形，重视图形几何性质的运用；2.注意向量与解析几何的密切联系.由于向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”，使向量与解析几何之间有着密切联系，大量的轨迹问题都是以向量作为背景编拟的；3.注意利用曲线系解题.,【课前导引】,1.已知反比例函数 的图像是等轴双曲线，则其焦点坐标是(),【课前导引】,A.B.C.D.,解答 双曲线的实轴为直线 x-y=0,故两个顶点坐标为,且,解答 双曲线的实轴为直线 x-y=0,故两个顶点坐标为,且,答案 A,2.已知圆x2+y2=1，点A(1，0)，ABC内接于此圆，BAC=60o，当BC在圆上运动时
8、，BC中点的轨迹方程是(),A.x2+y2=,B.x2+y2=,C.x2+y2=,D.x2+y2=,解析 记O为原点，依题意，且OB=OC=1,故原点到直线BC的距离为由图像可知，BC中点的横坐标小于故选D.,【链接高考】,【链接高考】,例1 若直线mx+y+2=0与线段AB有交点，其中A(-2,3)，B(3,2)，求实数m的取值范围.,解答 直线mx+y+2=0过一定点C(0,-2),直线mx+y+2=0实际上表示的是过定点(0,-2)的直线系，因为直线与线段AB有交点，则直线只能落在ABC的内部，设BC、CA这两条直线的斜率分别为k1、k2，则由斜率的定义可知，直线mx+y+2=0的斜率k
9、应满足kk1或kk2，A(-2,3)B(3,2),说明 此例是典型的运用数形结合的思想来解题的问题，这里要清楚直线mx+y+2=0的斜率m应为倾角的正切，而当倾角在(0,90)或(90,180)内，角的正切函数都是单调递增的，因此当直线在ACB内部变化时，k应大于或等于kBC，或者k小于或等于kAC，当A、B两点的坐标变化时，也要能求出m的范围.,例2 根据下列条件，求双曲线方程.,解答 方法一：,(1),解之得：,则,，解之得：,方法二：(1)设双曲线方程为,(3)设双曲线方程为,，解之得：k=4,双曲线方程为,比较上述两种解法可知，引入适当的参数可以提高解题质量，特别是充分利用含参数方程的
10、几何意义，可以更准确地理解解析几何的基本思想.,例3 已知直线l与椭圆有且仅有一个交点Q，且与x轴、y轴分别交于R、S，求以线段SR为对角线的矩形ORPS的一个顶点P的轨迹方程.,例3 已知直线l与椭圆有且仅有一个交点Q，且与x轴、y轴分别交于R、S，求以线段SR为对角线的矩形ORPS的一个顶点P的轨迹方程.,解答 由已知，直线l 不过椭圆的四个顶点，所以设直线l的方程为代入椭圆方程 得,化简后，得关于的一元二次方程,于是其判别式,由已知，得=0即,在直线方程y=kx+m中，分别令y=0，x=0，求得,令顶点P的坐标为(x，y)，由已知，得,代入式并整理，得,即为所求顶点P的轨迹方程.,说明 方程 形似椭圆的标准方程，但图像当然不是椭圆，你能知道它有什么几何性质？,例4,解,（1）,（2）,说明 向量数量积的坐标表示，构建起向量与解析几何的密切关系，使向量与解析几何融为一体.求此类问题的关键是：利用向量数量积的坐标表示，沟通向量与解析几何的联系.体现了向量的工具性.,
