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1、1,微分方程,第七章,积分问题,微分方程问题,推广,2,微分方程的基本概念,第一节,微分方程的基本概念,引例,几何问题,物理问题,第七章,3,引例1.,一曲线通过点(1,2),在该曲线上任意点处的,解:设所求曲线方程为 y=y(x),则有如下关系式:,(C为任意常数),由 得 C=1,因此所求曲线方程为,由 得,切线斜率为 2x,求该曲线的方程.,4,引例2.列车在平直路上以,的速度行驶,制动时,获得加速度,求制动后列车的运动规律.,解:设列车在制动后 t 秒行驶了s 米,已知,由前一式两次积分,可得,利用后两式可得,因此所求运动规律为,说明:利用这一规律可求出制动后多少时间列车才,能停住,以
2、及制动后行驶了多少路程.,即求 s=s(t).,5,常微分方程,偏微分方程,含未知函数的导数或微分的方程叫做微分方程.,方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程,(本章内容),(n 阶显式微分方程),微分方程的基本概念,一般地,n 阶常微分方程的形式是,的阶.,分类,或,6,使方程成为恒等式的函数.,通解,解中所含独立的任意常数的个数与方程,确定通解中任意常数的条件.,n 阶方程的初始条件(或初值条件):,的阶数相同.,特解,通解:,特解:,微分方程的解,不含任意常数的解,定解条件,其图形称为积分曲线.,7,例1.验证函数,是微分方程,的解,的特解.,解:,这说明,是方程的解.,是两个独立
3、的任意常数,利用初始条件易得:,故所求特解为,故它是方程的通解.,并求满足初始条件,8,求所满足的微分方程.,例2.已知曲线上点 P(x,y)处的法线与 x 轴交点为 Q，,解:如图所示,令 Y=0,得 Q 点的横坐标,即,点 P(x,y)处的法线方程为,且线段 PQ 被 y 轴平分,P263(习题12-1),1;2(3),(4);3(2);4(2),(3);6,思考与练习,9,例3.已知函数,是微分方程,的解,则,解:,，故,将 代入微分方程，得,的表达式为（）,(A);(B);(C);(D).,从而,10,转化,可分离变量微分方程,第二节,解分离变量方程,可分离变量方程,第七章,11,分离
4、变量方程的解法:,设 y(x)是方程的解,两边积分,得,则有恒等式,说明由确定的隐函数 y(x)是的解.,则有,称为方程的隐式通解,或通积分.,=f(x)0 时,上述过程可逆,由确定的隐函数 x(y)也是的解.,当G(y)与F(x)可微且(y)g(y)0 时,同样,当(x),12,例1.求微分方程,的通解.,解:分离变量得,两边积分,得,即,(C 为任意常数),或,说明:在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、,减解.,(此式含分离变量时丢失的解 y=0),13,例2.解初值问题,解:分离变量得,两边积分得,即,由初始条件得 C=1,(C 为任意常数),故所求特解为,，且其上任一点,处
5、切线斜率为，则,14,例3.求下述微分方程的通解:,解:令,则,故有,即,解得,(C 为任意常数),所求通解:,15,练习:,解法 1 分离变量,即,(C 0),解法 2,故有,积分,(C 为任意常数),所求通解:,16,若连续函数 满足关系式,练习1：,2.已知函数 在任意点 处的增量为,，且当 时，,是 的高阶,无穷小，则,17,例4.,子的含量 M 成正比,求在,衰变过程中铀含量 M(t)随时间 t 的变化规律.,解:根据题意,有,(初始条件),对方程分离变量,即,利用初始条件,得,故所求铀的变化规律为,然后积分:,已知 t=0 时铀的含量为,已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原,1
6、8,例5.,成正比,求,解:根据牛顿第二定律列方程,初始条件为,对方程分离变量,然后积分:,得,利用初始条件,得,代入上式后化简,得特解,并设降落伞离开跳伞塔时(t=0)速度为0,设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度,降落伞下落速度与时间的函数关系.,t 足够大时,19,例6.有高 1m 的半球形容器,水从它的底部小孔流出,开始时容器内盛满了水,从小孔流出过程中,容器里水面的高度 h 随时间 t 的变,解:由水力学知,水从孔口流出的流量为,即,求水,小孔横截面积,化规律.,设在,内水面高度由 h 降到,20,对应下降体积,因此得微分方程定解问题:,将方程分离变量:,21,两端积分,得,利用
7、初始条件,得,因此容器内水面高度 h 与时间 t 有下列关系:,22,内容小结,1.微分方程的概念,微分方程;,定解条件;,2.可分离变量方程的求解方法:,说明:通解不一定是方程的全部解.,有解,后者是通解,但不包含前一个解.,例如,方程,分离变量后积分;,根据定解条件定常数.,解;,阶;,通解;,特解,y=x 及 y=C,23,找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程.,常用的方法:,1)根据几何关系列方程(如:P263,5(2),2)根据物理规律列方程(如:例4,例 5),3)根据微量分析平衡关系列方程(如:例6),(2)利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件.,(3)求通解,并根据定解
8、条件确定特解.,3.解微分方程应用题的方法和步骤,24,思考与练习,求下列方程的通解:,提示:,(1)分离变量,(2)方程变形为,25,备用题 已知曲线积分,与路径无关,其中,求由,确定的隐函数,解:,因积分与路径无关,故有,即,因此有,26,齐次方程,第三节,一、齐次方程,*二、可化为齐次方程,第七章,27,一、齐次方程,形如,的方程叫做齐次方程.,令,代入原方程得,两边积分,得,积分后再用,代替 u,便得原方程的通解.,解法:,分离变量:,28,例1.解微分方程,解:,代入原方程得,分离变量,两边积分,得,故原方程的通解为,(当 C=0 时,y=0 也是方程的解),(C 为任意常数),29
9、,例2.解微分方程,解:,则有,分离变量,积分得,代回原变量得通解,即,说明:显然 x=0,y=0,y=x 也是原方程的解,但在,(C 为任意常数),求解过程中丢失了.,30,可得 OMA=OAM=,例3.在制造探照灯反射镜面时,解:设光源在坐标原点,则反射镜面由曲线,绕 x 轴旋转而成.,过曲线上任意点 M(x,y)作切线 M T,由光的反射定律:,入射角=反射角,取x 轴平行于光线反射方向,从而 AO=OM,要求点光源的光线反,射出去有良好的方向性,试求反射镜面的形状.,而 AO,于是得微分方程:,31,利用曲线的对称性,不妨设 y 0,积分得,故有,得,(抛物线),故反射镜面为旋转抛物面
10、.,于是方程化为,(齐次方程),32,顶到底的距离为 h,说明:,则将,这时旋转曲面方程为,若已知反射镜面的底面直径为 d,代入通解表达式得,33,(h,k 为待,*二、可化为齐次方程的方程,作变换,原方程化为,令,解出 h,k,(齐次方程),定常数),34,求出其解后,即得原方,程的解.,原方程可化为,令,(可分离变量方程),注:上述方法可适用于下述更一般的方程,35,例4.求解,解:,令,得,再令 YX u,得,令,积分得,代回原变量,得原方程的通解:,36,得 C=1,故所求特解为,思考:若方程改为,如何求解?,提示:,37,练习,1.求微分方程,的通解。,2.求微分方程,的特解。,满足条件,3.求初值问题,的特解。,3.求初值问题,的特解。,(93,),(96,),(91,),(99,),38,(2003,),其上任一点 处的法线与 轴的交点为，,且线段 被 轴评分。,(1)求曲线 的方程；,(2)求曲线 在 上的弧长为，试用,表示曲线 的弧长。,39,(2001,),到坐标原点的距离，恒等于该点的切线在 轴的截距，,且 经过点。,(1)求曲线 的方程；,(2)求 位于第一象限的一条切线，使该切线与,及两坐标轴所围图形的面积最小。,设 是一条平面曲线，其上任一点,40,练 习 题,41,练习题答案,
