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1、2023年11月6日星期一,1,第六节 空间直线及其方程,第六章,(Space Straight Line and Its Equation),四、直线与平面的夹角,一、空间直线方程的一般方程,二、空间直线方程的对称式方程和参数方程,三、两直线的夹角,五、平面束,六、小结与思考练习,2023年11月6日星期一,2,因此其一般式方程,(General Equation of a Space Straight Line),直线可视为两平面交线，,(不唯一),一、空间直线方程的一般方程,2023年11月6日星期一,3,(Symmetric Expression),1.对称式方程（点向式方程),故有,
2、说明:某些分母为零时,其分子也理解为零.,设直线上的动点为,则,此式称为直线的对称式方程(也称为点向式方程),直线方程为,已知直线上一点,例如,当,和它的方向向量,二、空间直线方程的对称式方程和参数方程,2023年11月6日星期一,4,设,得参数式方程:,3.参数式方程,(Parametric Form),2023年11月6日星期一,5,解:先在直线上找一点.,再求直线的方向向量,令 x=1,解方程组,得,交已知直线的两平面的法向量为,是直线上一点.,例1 用对称式及参数式表示直线,（补充题）,2023年11月6日星期一,6,故所给直线的对称式方程为,参数式方程为,解题思路:,先找直线上一点;
3、,再找直线的方向向量.,(自学课本 例1),2023年11月6日星期一,7,例 2 求与两平面x4y=3 和2xy5z=1 的交线平行且过点(3,2,5)的直线的方程.,解：因为所求在直线与两平面的交线平行，也就是直线的方向向量s 一定同时与两平面的法线向量n1、n2垂直，所以可以取,因此所求直线的方程为,2023年11月6日星期一,8,例3 求直线,与平面2xyz6=0的交点.,解：所给直线的参数方程为,x=2+t,y=3+t,z=4+2t,代入平面方程中，得,2(2+t)+(3+t)+(4+2t)6=0.,解上列方程，得t=1.把求得的t值代入直线的参数方程中，即得所求交点的坐标为,x=1
4、,y=2,z=2.,（由课本例3改编）,2023年11月6日星期一,9,则两直线夹角 满足,设直线,两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角),的方向向量分别为,（The Angle between Two Straight Lines）,三、两直线的夹角,2023年11月6日星期一,10,特别地有:,2023年11月6日星期一,11,解:直线,直线,二直线夹角 的余弦为,从而,的方向向量为,的方向向量为,例4（由课本例4改编）求以下两直线的夹角,2023年11月6日星期一,12,（The Angle between a Straight Lines and a Plane）,当直线与平面
5、垂直时,规定其夹角,线所夹锐角 称为直线与平面间的夹角;,当直线与平面不垂直时,设直线 L 的方向向量为,平面 的法向量为,则直线与平面夹角 满足,直线和它在平面上的投影直,四、直线与平面的夹角,2023年11月6日星期一,13,特别有:,例5 求过点(1,2,4)且与平面,解:取已知平面的法向量,则直线的对称式方程为,直的直线方程.,为所求直线的方向向量.,垂,2023年11月6日星期一,14,五、平面束,有时用平面束的方程解题比较方便，现在我们来介绍它的方程.,设直线L由方程组,所确定，其中系数A1、B1、C1与A2、B2、C2不成比例.,我们建立三元一次方程：,(III),(II),(I
6、),（Pencil of Planes）,2023年11月6日星期一,15,比例，所以对于任何一个,值，方程(III)的系数：,不全为零，从而方程(III)表示,一个平面，若一点在直线L上，则点的坐标必同时满足方程(I)和(II)，因而也满足方程(III)，故方程(III)表示通过直线L的平面，且对于于不同的,值，方程(III)表示通过,直线L的不同的平面.,反之，通过直线L 的任何平面(除平面(II)外)都包含在方程(III)所表示的一族平面内.通过定直线的所有平面的全体称为平面束，而方程(III)就作为通过直线L的平面束的方程(事实上，方程(III)表示缺少平面(II)的平面束).,202
7、3年11月6日星期一,16,例6 求直线,在平面x+y+z=0上的投影直线的,方程.,解：过直线,的平面束的方程为,(1+)x+(1-)y+(-1+)z+(-1+)=0,即,(*),其中,为待定常数.这平面与平面x+y+z=0垂直的条件是,即,由此得,=-1,代入(*)式，得投影平面的方程为,2y-2z-2=0 即 y-z-1=0,所以投影直线的方程为,2023年11月6日星期一,17,解：,2023年11月6日星期一,18,解：,2023年11月6日星期一,19,1.空间直线方程,一般式,对称式,参数式,内容小结,2023年11月6日星期一,20,直线,直线,夹角公式:,2.线与线的关系,2
8、023年11月6日星期一,21,平面:,L,L/,夹角公式：,直线 L:,3.面与线间的关系,4.平面束,2023年11月6日星期一,22,课外练习,习题66 1（偶数题）；3；4（2）（4）；6（2）；7（偶数题）；10；12,思考与练习,D,2023年11月6日星期一,23,C,C,A,2023年11月6日星期一,24,B,B,2023年11月6日星期一,25,解：,相交,求此直线方程.,的方向向量为,过 A 点及,面的法向量为,则所求直线的方向向量,方法1 利用叉积.,所以,且垂直于直线,又和直线,2.一直线过点,2023年11月6日星期一,26,设所求直线与,的交点为,待求直线的方向向量,方法2 利用所求直线与L2 的交点.,即,故所求直线方程为,则有,2023年11月6日星期一,27,代入上式,得,由点法式得所求直线方程,而,
