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1、在概率统计中的应用,MATLAB,一、统计量的数字特征,1平均值,MATLAB中mean(x)命令函数计算数据x的平均值,调用格式为,mean(x)或mean(x,dim),维数dim取值1,2,例如,x=1 7 1;2 8 0;3 9 0;4 1 0;5 2 0;6 3 0;,mean(x)ans=3.5000 5.0000 0.1667,mean(x,2)ans=3.0000 3.3333 4.0000 1.6667 2.3333 3.0000,2方差和标准差,随机变量x的方差为,标准差,样本方差为,MATLAB的方差函数为Var,调用格式为,var(x),对于向量x，得到x的方差值；对于
2、矩阵X，得到一行向量，它的每个值分别是矩阵X对应的列元素的方差值。,var(x,1),得到向量（或矩阵）x的简单方差，即前置因子为1/n的方差,var(x,w),得到向量（或矩阵）x以w为权的方差,例如,var(x)ans=3.5000 11.6000 0.1667,var(x,1)ans=2.9167 9.6667 0.1389,w=0.0667 0.1667 0.2333 0.3000 0.0333 0.2000var(x,w)ans=2.2225 11.3819 0.0623,样本标准差,MATLAB的标准差函数为std,调用格式,std(x),对向量x，得到x的样本标准差（前置因子为1
3、/n-1）；对于矩阵X，得到一行向量，它的每个值分别是矩阵X对应的列元素的标准差,std(x,1),得到向量（或矩阵）x的样本标准差（前置因子为1/n）,std(x,flag,dim),得到向量（或矩阵）中以dim为维数的标准差。其中flag=0时，前置因子为1/n-1，否则前置因子为1/n,例如,std(x)ans=1.8708 3.4059 0.4082,std(x,1)ans=1.7078 3.1091 0.3727,std(x,0,1)ans=1.8708 3.4059 0.4082,std(x,0,2)ans=3.4641 4.1633 4.5826 2.0817 2.5166 3.
4、0000,3协方差和相关系数,二维随机变量(X,Y)的协方差为,相关系数为,MATLAB中，协方差和相关系数函数cov和coffcoef实现,协方差,调用格式,cov(x),当x是向量时，返回此向量的协方差；当x是矩阵时，返回此矩阵的协方差矩阵，其中x的每一行是一个观测值，x的每一列是一个变量。由Cov(x)的对角元素为构成的向量是x的各列的方差所构成的向量，是标准差向量,cov(x，y),返回向量x、y的协方差矩阵,cov(x)或cov(x，0),返回向量x的样本协方差矩阵，前置因子为1/n-1,cov(x，1),返回向量x的样本协方差矩阵，前置因子为1/n,cov(x，y)，cov(x，y
5、，1)的区别同上,相关系数,corrcoef(x),返回矩阵相关系数矩阵，其中x的每一行是一个观测值，x的每一列是一个变量,corrcoef(x，y)返回向量x、y的相关系数,例如,X=1 2 3 4 5;11 12 3 5 7;2 4 6 9 0;3 6 9 7 9;10 9 7 5 4;,cov(X)ans=22.3000 17.9500-1.5500-3.5000 3.5000 17.9500 15.8000-0.4500-1.7500 4.7500-1.5500-0.4500 6.8000 2.7500 1.2500-3.5000-1.7500 2.7500 4.0000-3.0000
6、 3.5000 4.7500 1.2500-3.0000 11.5000,corrcoef(X)ans=1.0000 0.9563-0.1259-0.3706 0.2186 0.9563 1.0000-0.0434-0.2201 0.3524-0.1259-0.0434 1.0000 0.5273 0.1414-0.3706-0.2201 0.5273 1.0000-0.4423 0.2186 0.3524 0.1414-0.4423 1.0000,x=1,5,7,9,1,6;y=1,2,1,5,2,1;,cov(x,y,1)ans=8.8056 2.1667 2.1667 2.0000,co
7、rrcoef(x,y)ans=1.0000 0.5163 0.5163 1.0000,二、参数估计,当总体分布的数学形式已知，且可以用有限个参数表示时，我们可以利用样本对参数进行估计，这便是参数估计,参数估计一般可分为点估计和区间估计,参数估计的方法：矩估计、最小二乘法和极大似然估计,1二项分布的参数估计,MATLAB中由命令函数binofit来实现,调用格式,p,pci=Binofit(x,N,alpha),其中p为参数，pci为p的区间的端点，置信度为1-alpha,x=6,8,9,4,6,7,9,3,7,5p,pci=binofit(x,10),p=0.6000 0.8000 0.900
8、0 0.4000 0.6000 0.7000 0.9000 0.3000 0.7000 0.5000pci=0.2624 0.4439 0.5550 0.1216 0.2624 0.34750.5550 0.0667 0.3475 0.1871 0.8784 0.9748 0.9975 0.7376 0.8784 0.9333 0.9975 0.6525 0.9333 0.8129,2正态分布的参数估计,MATLAB中由命令函数normfit来实现,调用格式,m,s,mci,sci=normfit(x,alpha),例如,m,s,mci,sci=normfit(x)m=6.4000s=2.01
9、11mci=4.9614 7.8386sci=1.3833 3.6714,3指数分布的参数估计,MATLAB中由命令函数expfit来实现,调用格式,mu,mci=expfit(x,alpha),x=0.1586 4.5407 1.5484 2.2369 0.3567 0.8422 2.4311 12.3683 0.6099 2.5121 1.5048 0.7231 0.2524 0.9409 5.3809,mu,mci=expfit(x,0.01)mu=2.4271mci=1.1154 4.3423,例如,4泊松分布的参数估计,MATLAB中由命令函数poissfit来实现,调用格式,Lam
10、d,Lci=poissfit(x,alpha),三、假设检验,假设检验是统计推断的基本问题之一。在总体的分布函数完全未知或只知其形式但不只参数的情况下，为了推断总体的某些性质，提出某些关于总体的假设,假设检验首先提出假设H0，然后检验这组数据是否支持这个假设。根据这组数据计算检验统计量以及显著性概率（p值）。如果p值很小，则所提出的假设是非常可疑的，并提供否定这个假设的证据。伴随假设H0，总能写出备择假设H1，备择假设也称对立假设,1已知时的检验（z检验）,MATLAB中的z检验由命令函数ztest来实现,调用格式,H,p,ci,zval=ztest(x,m,s,a,t),说明,x是样本值，m
11、是平均值的评判标准，s是已知的标准差，alpha是显著水平，默认值为0.05，t为备择假设选项，只有三个值0，1和1，其中t=0表示“期望值不等于m”,t=1表示“期望值大于m”,t=1表示“期望值小于m”，t的默认值为0。,H=0 表示“在显著性水平a的情况下，不能拒绝原假设”。H=1 表示“在显著性水平a的情况下，可以拒绝原假设”。P为显著性概率；ci表示置信水平为1a的置信区间。zval是检验统计量。,例如 某糖厂用自动包装机将糖果装箱，已知规定每箱的标准重量为100公斤。设每箱重服从正态分布。由以往经验知重量的均方差为0.9公斤。某天开工后检验包装机是否正常，随机抽取该包装机所包装的9
12、箱，称得净重为（公斤）99.3，98.7，100.5，101.2，98.3，99.7，105.1，102.6，100.5。取a=0.05，问机器是否正常？,解 可设=0.9，xN（,0.92)，提出假设 H0=0=100 H1 100,x=99.3,98.7,100.5,101.2,98.3,99.7,105.1,102.6,100.5,h,p,ci,t=ztest(x,100,0.9,0.05,0),h=1p=0.0289ci=100.0676 101.2435t=2.1852,因此拒绝原假设H0，即自动包装机工作是不正常的,2 未知时的检验（t检验）,MATLAB中的t检验由命令函数tte
13、st来实现,调用格式,H,p,ci,tval=ttest(x,m,a,t),例如 某电子元件的寿命x（以小时计）服从正态分布，均未知。测得16只元件的寿命为159 280 101 212 224 379 179 264 222 362 168 250 149 260 485 170问是否有理由认为电子元件的平均寿命大于225（小时）？,解 H0 0=225 H1 225,x=159 280 101 212 224 379 179 264 222 362 168 250 149 260 485 170；,h,p,ci,t=ttest(x,225,0.05,1)h=0p=0.2570ci=198.
14、2321 Inft=tstat:0.6685 检验统计量 df:15 自由度（n-1）,因此不能拒绝原假设，即可以认为电子元件的平均寿命不大于225小时,3两个正态总体均值差的检验（t检验）,MATLAB中的由命令函数ttest2来实现,调用格式,H,p,ci,zval=ttest2(x,y,a,t),例如 在漂白工艺中要考察温度对针制品断裂强力的影响，在70与80下分别作了7次和9次测试，其测试数据如下（单位：公斤）,根据以往经验知两种温度下的断裂强力都服从正态分布，其方差相等且相互独立。试问两种温度下的平均断裂强力有无显著变化？,解 H0 1=2 H1 12,x=20.5 18.8 20.
15、9 21.5 19.5 21.6 21.8；,y=17.7 19.2 20.3 20 18.6 19 19.1 20 18.1；,h,p,ci,t=ttest2(x,y,0.05,0)h=1p=0.0085ci=0.4626 2.6294t=tstat:3.0606 df:14,四、回归分析,回归分析是研究变量之间关系的一种统计方法，即利用统计数据来寻求变量之间关系近似表达式（经验公式），并利用所得公式进行统计描述、分析和推断，以解决预测、优化和控制问题。,线性回归的变量之间的关系为,根据观测数据 确定回归系数,MATLAB中提供了多元线性回归函数regress,调用格式,b=regress(
16、y,x,a),b,bint,r,rint,stats=regress(y,x,a),y为观察得到的随机变量，x为自变量矩阵。若回归系数中包含常数，则x的第一列应全部为1，y与x的行数相等，x的列数等于回归系数的个数。a为输出各种置信区间用的显著性水平。,输出结果有5项：,b是参数的点估计；bint为参数的区间估计；r为残差的点估计；rint为残差的区间估计，当点估计落在区间估计之外时，拒绝无效假设；,stats中包含三个项:,R2是回归方程的相关系数R的平方;F是回归方程的F统计量，;P是拒绝无效假设的概率（显著性概率），当Pa时拒绝假设H0：，即接受y与x有线性关系。,例如 为了研究钢材消费
17、与国民收入之间的关系，在统计年鉴上查得一组历史数据如下表,试分析预测若1981到1985年我国国民收入以4.5%的速度递增，钢材消费量将达到什么样的水平？,令钢材消费量为y，国国民收入为x,x=1097 1284 1502 1394 1303 1555 1917 2051 2111 2286 2311 2003 2435 2625 2948 3155 3372,y=698 872 988 807 738 1025 1316 1539 1561 1765 1762 1960 1902 2013 2446 2736 2825,作出x，y的散点图，plot(x,y,o),从图中可看出，y随x增大有明
18、显的线性增长趋势,X=ones(size(x),x;b,bint,r,rint,stats=regress(y,X,0.05),b=-460.5282 0.9840bint=-691.8478-229.2085 0.8779 1.0900 r=略stats=0.9631 391.2713 0.0000,结果解释,回归系数：残差平方和：Q=r*r=2.7523e+005 回归方程：统计量：R2=0.9631,F=391.2713,P=0.0000,R2和F都明显大，表明直线对样本的拟合程度很高,F0.05(1,15)=4.54，满足F F0.05(1,15)，P远远小于a=0.05，说明回归方程的线性效果显著。,预测,首先计算1981到1985年我国国民收入。,x1=3372*(1,1,1,1,1*1.045).1,2,3,4,5)x1=3523.7 3682.3 3848.0 4021.2 4202.1,利用回归方程可以得到相应各年的钢材消费量的预测值,y1=-460.5282+0.9840*x1y1=3006.8 3162.9 3325.9 3496.3 3674.4,
