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1、1,数理方程第四讲,演讲者：昆明理工大学理学院郑瑾环,2,数理方程第四讲,本讲将简单介绍由分离变量法导出的二阶常微分方程固有值问题，即Sturm-Liouville型方程固有值问题,并简单讲一讲第十章的习题。,3,10.6 二阶常微分方程的固有值问题,分离变量法的一个重要特征：,有界区域上能用分离变量法求解的双曲型方程的一般形式：,其中，,4,10.6 二阶常微分方程的固有值问题,用分离变量法，可求得关于X的方程：,消去 一项，方法：方程两同乘一个待定函数:,令,5,10.6 二阶常微分方程的固有值问题,关于X的微分方程可化为,这种形式的微分方程称为自共轭形式方程。,对于任意的二阶齐次线性常微
2、分方程,等价于,6,10.6.1 S-L型方程,如下形式的含有参数的二阶齐次线性常微分方程称为S-L(Sturm-Liouville)型方程：,其中的为参数，为已知函数。,取不同的函数可得不同的方程：如,7,10.6.2 自然边界条件与周期性条件,设 是如下方程的一个已知的特解：,设另一个与 线性无关的解为,令,8,10.6.2 自然边界条件和周期性条件,9,自然边界条件与周期性条件,对边界点x=b，可得同样结论。,为了排除无界解必须附加如下自然边界条件：,若 满足，一般需附加周期性条件：,10,10.6.3 S-L型方程的固有值问题,含参数的S-L型方程与齐次边界条件构成固有值问题。,可附加
3、的齐次边界条件有：,第一、二、三类边界条件,11,10.6.3 S-L型方程的固有值问题,自然边界条件,周期性条件：,求解S-L型固有值问题就是求固有值及其相应的固有函数(非零解)。,12,10.6.4 Sturm-Liouville理论,Sturm-Liouville理论主要研究S-L型固有值问题的固有值存在性及相应的固有函数的性质,在S-L理论中，若对S-L方程 的系数提出如下要求：,(1),(2),(3),13,10.6.4 Sturm-Liouville理论,S-L型固有值理论的四个基本定理：,定理1 存在可数个固有值,及其相应固有函数,定理2 所有的固有值,证明：设 对应的固有函数为
4、,则,14,10.6.4 Sturm-Liouville理论,15,10.6.4 Sturm-Liouville理论,对于第一、二类边界条件和周期性条件以及自然边界条件，显然有,对于第三类边界条件：,16,10.6.4 Sturm-Liouville理论,所以，不论对于何种齐次边界条件，都有：,从而有,定理3 设 和 是两个不同的固有值(),则它们相应的固有函数 和 在区间a,b上关于权函数 相互正交：,17,10.6.4 Sturm-Liouville理论,证明：因为,18,10.6.4 Sturm-Liouville理论,显然，对于第一、二类边界条件，周期性边界条件和自然边界条件，有,19
5、,10.6.4 Sturm-Liouville理论,对于第三类边界条件：,也就是,所以，定理3的结论成立，证完！,20,10.6.4 Sturm-Liouville理论,定理4 若 在 上满足Dirichlet 条件，则在连续点x处，可按固有函数系 展开成广义Fourier级数,此定理证明从略！,21,第十章习题课,1 求解如下混合问题：,解：用分离变量法：设混合问题的偏微分方程有如下分离变量形式的非零解：,代入混合问题的微分方程后化简可得：,22,第十章习题课,由此可见：是如下边值问题的解函数：,若0，则此定解问题的微分方程的通解为,代入边值条件后可得不符合要求！,23,第十章习题课,若=0
6、，则此定解问题的微分方程的通解为,代入边值条件后仍可得仍然不符合要求！,若0，则此定解问题的微分方程的通解为,代入边界条件后可得,24,第十章习题课,取,由 所满足的方程可得,所以，原混合问题的微分方程的满足边界条件的分离变量形式解为,设原混合问题的解函数为,25,第十章习题课,则由初始条件可得：,26,第十章习题课,3 求解下列阻尼波动问题的解：,其中，h为正常数，且,解：使用分离变量法，设原定解问题的微分方程有如下分离变量形式非零解函数满足边界条件：,27,第十章习题课,容易求得：,代入方程后化简可得,28,第十章习题课,由 非零性可得，此时,将 代入 所满足的方程可得,29,第十章习题课
7、,从而有,其中,设原混合问题的解函数为：,30,第十章习题课,由边界条件得,因为,所以,31,第十章习题课,所以，原混合问题的解是,其中,32,第十章习题课,4 求解如下混合问题：,其中 L、G、R、C为常数，且LG=RC。(提示：作函数变换),33,设，则有，,第十章习题课,解 记，混合问题微分方程两边同除LC，方程可化为,而且,所以,34,第十章习题课,所以，若 是原定解问题的解函数，则是如下定解问题的解函数：,用分离变量法求解此混合问题，设方程的分离变量解形式的满足边界条件的非零解为,35,第十章习题课,则,由齐次边界条件可得，为如下边值问题的解函数：,36,第十章习题课,37,第十章习
8、题课,38,第十章习题课,39,第十章习题课,40,第十章习题课,41,第十章习题课,42,第十章习题课,8求解混合问题,其中 为常数。,解：作函数变换,则,43,第十章习题课,所以，是 原混合问题的解的充要条件是 是如下混合问题的解：,用分离变量法求解此定解问题。,44,第十章习题课,由分离变量法的标准步骤可得：,代入初始条件可得：,45,第十章习题课,所以,46,第十章习题课,9.求解,解：用分离变量法：设给定的定解问题中的微分方程有如下满足齐次边界条件的分离变量形式非零解：,则,47,第十章习题课,所以，为如下边值问题的非零解函数：,从而有,又由另一个边界条件可得：,48,第十章习题课,设原定解问题的解函数是,则,所以,49,第十章习题课,18 求解,解：设,作函数变换,50,第十章习题课,所以，是如下定解问题的解函数：,51,第十章习题课,用分离变量法可求得：,其中,所以,
