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1、简单的线性规划问题,一、线性规划在实际中的应用：,线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用，一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务.下面我们就来看看线性规划在实际中的一些应用：,例5、营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白质，0.06kg的脂肪，1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg蛋白质，0.14kg脂肪，花费28元；而1食物B含有0.105kg碳水化合物，0.14kg蛋白质，0.07kg脂肪，花费21元
2、。为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物B多少kg？,分析：将已知数据列成表格,二、例题,解：设每天食用xkg食物A，ykg食物B，总成本为z那么,目标函数为：z28x21y,作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域,把目标函数z28x21y 变形为,x,y,o,5/7,5/7,6/7,3/7,3/7,6/7,它表示斜率为随z变化的一组平行直线系,是直线在y轴上的截距，当截距最小时，z的值最小.,M,如图可见，当直线z28x21y 经过可行域上的点M时，截距最小，即z最小.,M点是两条直线的交点，解方程组,得M点的坐标为：,所以zmin28x21y1
3、6,由此可知，每天食用食物A143g，食物B约571g，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成本为16元.,例6、某人准备投资1200万元兴办一所完全中学。对教育市场进行调查后，他得到了下面的数据表格（以班级为单位）,分别用数学关系式和图形表示上述限制条件。若根据有关部门的规定，初中每人每年可收学费1600元，高中每人每年可收学费2700元。那么开设初中班和高中班多少个？每年收费的学费总额最多？,把上面四个不等式合在一起，得到,y,x,20,30,40,20,30,o,另外，开设的班级不能为负，则x0，y0.,而由于资金限制，26x54y22x23y1200,解：设开设初中班x个，高中班y
4、个。因办学规模以2030个班为宜，所以，20 xy30,y,x,20,30,40,20,30,o,由图可以看出，当直线Z7.2x10.8y经过可行域上的点M时，截距最大，即Z最大.,设收取的学费总额为Z万元，则目标函数Z0.1645x0.2740y7.2x10.8y.,Z7.2x10.8y变形为它表示斜率为 的直线系，Z与这条直线的截距有关.,M,易求得M（20，10），则Zmax 7.2x10.8y 252,故开设20个初中班和10个高中班，收取的学费最多，为252万元.,例7、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t、硝酸盐18t；生产1车皮乙种肥料需要的
5、主要原料是磷酸盐1t、硝酸盐15t.现库存磷酸盐10t、硝酸盐66t，在此基础上生产这两种混合肥料.列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域。并计算生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？,解：设x、y分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，于是满足以下条件：,x,y,o,解：设生产甲种肥料x车皮、乙种肥料y车皮，能够产生利润Z万元。目标函数为Zx0.5y，可行域如图：,把Zx0.5y变形为y2x2z，它表示斜率为2，在y轴上的截距为2z的一组直线系.,x,y,o,由图可以看出，当直线经过可行域上的点M时，截距2z最大，即z最大.,故生产甲种、乙种肥料各2车皮，能够产生最
6、大利润，最大利润为3万元.,M,容易求得M点的坐标为（2，2），则Zmin3,三、练习题,某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3000元、2000元，甲、乙产品都需要在A、B两种设备上加工，在每台A、B上加工1件甲所需工时分别为1h、2h，A、B两种设备每月有效使用台数分别为400h和500h.如何安排生产可使收入最大？,设每月生产甲产品x件，生产乙产品y件，每月收入为z，目标函数为Z3x2y，满足的条件是,Z 3x2y 变形为它表示斜率为 的直线系，Z与这条直线的截距有关.,x,y,O,400,200,250,500,当直线经过点M时，截距最大，Z最大.,M,解方程组,可得M（200，100）,Z 的最大值Z 3x2y800,故生产甲产品200件，乙产品100件，收入最大，为80万元.,四.课时小结,线性规划的两类重要实际问题的解题思路：,1.应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数.,2.用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求得使目标函数取得最值的解.(一般最优解在直线或直线的交点上，要注意斜率的比较.）,3.要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际情况求得最优解.,
