《自动控制原理》第3章时域分析法.ppt

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1、第3章 时域分析法,本章的主要内容 3.1 典型控制过程及性能指标 3.2 一阶系统分析 3.3二阶系统分析 3.4 稳定性与代数判据 3.5稳态误差分析及误差系数,3.1 典型控制过程及性能指标,3.1.1 典型输入信号及输出波形 3.1.2 控制系统的性能指标,什么是时域分析?指控制系统在一定的输入下，根据输出量的时域表达式，分析系统的稳定性、瞬态和稳态性能。,3.1.1 典型输入信号及输出波形,1）阶跃函数（信号）,单位阶跃函数及拉氏变换,单位阶跃函数波形图,（2）斜坡函数（信号）,单位斜坡函数及拉氏变换,单位阶跃函数波形图,3）抛物线信号（加速度信号）,单位抛物线信号及拉氏变换,单位阶

2、跃函数波形图,4）脉冲函数（信号）,单位脉冲函数及拉氏变换,单位脉冲函数波形图,和,5）正弦函数（信号）,单位正弦函数及拉氏变换,单位正弦函数波形图,单位脉冲函数响应：,单位阶跃函数响应：,单位斜坡函数响应：,单位抛物线函数响应：,典型响应：,3.1.2控制系统的性能指标,在典型信号作用下，控制系统的时间响应是由动态过程和稳态过程两部分组成。所以控制系统的性能指标，通常由动态性能和稳态性能两部分组成。,1.动态过程和动态性能,动态过程（过渡过程、暂态过程）：在典型输入信号作用下，系统从初态到终态的响应过程。动态响应过程有三种情况：衰减型、发散型、等幅振荡型,动态性能：当系统的时间响应c(t)中

3、的瞬态分量较大而不能忽略时，称系统处于动态或过渡过程中，这时系统的特性。,阶跃响应的性能指标：在测定或计算系统的动态性能指标时，由于阶跃函数可以表征系统受到的最严峻的工作状态，动态性能指标，一般由阶跃响应的性能指标来描述。,（1）延迟时间：,输出响应第一次达到稳态值的50%所需的时间。,（4）最大超调量（简称超调量）：,（2）上升时间：,输出响应第一次达到稳态值y()所需的时间。或指由稳态值的10%上升到稳态值的90%所需的时间。,输出响应超过稳态值达到第一个峰值ymax所需要的时间。,（3）峰值时间：,（5）调节时间或过渡过程时间：,当 和 之间的误差达到规定的范围之内比如 或，且以后不再超

4、出此范围的最小时间。,在上述几种性能指标中，表示瞬态过程进行的快慢，是快速性指标；而 反映瞬态过程的振荡程度，是振荡性指标。其中 和 是两种最常用的性能指标。,2.稳态过程和稳态性能,稳态过程是指当时间t趋近于无穷大时，系统输出状态的表现形式。它表征系统输出量最终复现输入量的程度，提供系统有关稳态误差的信息，用稳态性能来描述。,通常讨论在阶跃、斜坡、加速度函数作用下的系统稳态误差；稳态误差用来衡量系统的控制精度或抗扰动性能。,ess=c期望-c（）,3.2 一阶系统分析,3.2.1 一阶系统的数学模型 3.2.2 一阶系统的单位阶跃系统 3.2.3 一阶系统的单位斜坡系统 3.2.4 一阶系统

5、的单位脉冲系统 3.2.5 三种响应之间的关系,3.2.1一阶系统的数学模型,以一阶微分方程作为数学模型的控制系统，称为一阶系统。如图所示的一阶系统，其传递函数为,其闭环传递函数为：,式中，,称为时间常数。,3.2 2 一阶系统的单位阶跃响应,单位阶跃响应函数：,其单位阶跃响应曲线如图3-4所示。输出响应从零开始按指数规律上升，最后趋于1。,可见，调整时间只与时间常数T有关。T越小，系统响应速度越快。,3.2.3一阶系统的单位斜坡响应,设系统的输入信号为单位斜坡函数，即。则可求得输出的拉氏变换为,c(t),T,0,T,t,一阶系统单位斜坡响应曲线如图,输出量和输入量之间的位置误差随时间而增大，

6、最后趋于常值T，惯性越小，跟踪的准确度越高。,3.2 4 一阶系统的单位脉冲响应,当输入信号为理想单位脉冲函数时，由于R(s)=1所以系统输入量的拉氏变换与系统的传递函数相同，即,这时系统的输出称为脉冲响应，其表达式为,可见，单位脉冲响应中只包含瞬态分量。,3.2 5 三种响应之间的关系,从输入信号看，单位斜坡信号的导数为单位阶跃信号，而单位阶跃信号的导数为单位脉冲信号。,从输出信号来看，单位斜坡响应的导数为单位阶跃响应，而单位阶跃响应的导数为单位脉冲响应。,线性定常系统的一个重要性质：某输入信号导数的输出响应，就等于该输入信号输出响应的导数；同理，某输入信号积分的输出响应，就等于该输入信号输

7、出响应的积分，积分常数由零输出初始条件确定。,3.3 二阶系统分析,3.3.1 二阶系统的数学模型 3.3.2二阶系统的单位阶跃响应 3.3.3高阶系统的时域分析,3.3.1 二阶系统的数学模型,二阶系统：以二阶微分方程作为运动方程的控制系统.这是最常见的一种系统，很多高阶系统也可简化为二阶系统。系统典型 结构和传递函数为：,称为典型二阶系统的传递函数，称为阻尼系数，称为无阻尼振荡圆频率或自然频率。,特征方程为：,当时，特征方程有一对共轭的虚根，称为零(无)阻尼系统，系统的阶跃响应为持续的等幅振荡。,当时，特征方程有一对实部为负的共轭复根，称为欠阻尼系统，系统的阶跃响应为衰减的振荡过程。,当

8、时，特征方程有一对相等的实根，称为临界阻尼系统，系统的阶跃响应为非振荡过程。,当 时，特征方程有一对不等的实根，称为过阻尼系统，系统的阶跃响应为非振荡过程。,3.3.2 二阶系统的单位阶跃响应,当输入为单位阶跃函数时，有：,分析：,1.欠阻尼情况,极点的负实部 决定了指数衰减的快慢，虚部 是振荡频率。称 为阻尼振荡圆频率。其周期为:,2.无阻尼情况,极点为：,此时输出将以频率 做等幅振荡，所以，称为无阻尼振荡圆频率。,3.临界阻尼情况,极点为：,阶跃响应函数为：,4.过阻尼情况,极点为：,其中，A1、A2、A3为待定系数。据此，可求得输出响应的拉氏反变换,此时，系统输出时间t单调上升，无振荡和

9、超调。由于输出响应含负指数项，因而随着时间的推移，对应的分量逐渐趋于零，输出响应最终趋于稳态值1。,上述四种情况分别称为二阶无阻尼、欠阻尼、临界阻尼和过阻尼系统。其阻尼系数、特征根、极点分布和单位阶跃响应如下表所示：,典型两阶系统的瞬态响应,典型两阶系统的瞬态响应,可以看出：随着 的增加，c(t)将从无衰减的周期运动变为有衰减的正弦运动，当 时c(t)呈现单调上升运动(无振荡)。可见 反映实际系统的阻尼情况，故称为阻尼系数。,5.欠阻尼二阶系统的性能指标,(1)上升时间：根据定义，当 时，。,(2)峰值时间：当 时，,(3)超调量:,上式表明超调量%的大小只决定于阻尼比值，而与 的大小无关。工

10、程中，有时把阻尼比和%之间的关系，按计算结果，直接整理成曲线如图所示，应用时由直接查该图即可得%。,(4)调节时间：,例3-1有一位置随动系统，其结构图如图所示，其中求该系统（）自然振荡角频率；（）系统阻尼比（）超调量和调节时间（）如要求 怎样改变系统 值。,解 该系统传递函数为,对照下式可得,（1）自然振荡角频率：（2）阻尼比：由 得,（3）超调量：,（4）调节时间：,（5）要求 即,例3-2 设二阶控制系统的单位阶跃响应曲线如图所示。试确定系统的传递函数。,解 首先明显看出，在单位阶跃作用下响应的稳态值为3，故此系统的增益不是1，而是3。系统模型为：,然后由响应的、及相应公式，即可换算出、

11、。,（s）,由公式得,换算求解得：,3.2 3高阶系统的时域分析,高阶系统的传递函数为：,写成零极点形式：,单位阶跃响应为：,对上式进行部分分式展开,对上式拉氏变换得：,高阶系统有如下结论：（1）高阶系统瞬态响应各分量的衰减快慢由指数衰减系数 和 决定。如果某极点远离虚轴，那么其相应的瞬态分量比较小，且持续时间较短。,（2）高阶系统各瞬态分量的系数 和 不仅与复平面中极点的位置有关，而与零点的位置有关。,（3）在系统中，如果距虚轴最近的极点，其实部的绝对值为其他极点实部绝对值的1/5甚至更小，并且在其附近没有零点存在，则系统的瞬态响应将主要由此极点左右。,3.4 稳定性与代数判据,3.4.1稳

12、定的概念,3.4.2稳定的数学条件及定义,3.4.3古尔维次稳定判据,3.4.4劳斯稳定判据,3.2 3高阶系统的时域分析,高阶系统的传递函数为：,写成零极点形式：,单位阶跃响应为：,2.5.1 动态结构图的概念,1.定义:把组成系统的各个环节用方块图表示，在方块图内标出各环节的传递函数，并将各环节的输入量、输出量改用拉氏变换来表示。这种图形称为动态结构图，简称结构图。,2.结构图由四种基本图形符号所组成，称为结构图的四要素。各图形符号代表的意义如下：,（1）信号线：信号线是带有箭头的直线，箭头表示信号的流向，在直线旁标记信号的时间函数或象函数，见图（a）；,（2）引出点：表示信号引出或测量的

13、位置。从同一位置引出的信号在数值和性质方面完全相同，见图（b）；,（3）综合点（比较点或相加点）：对两个或两个以上性质相同的信号进行取代数和的运算。参与相加运算的信号应标明“+”号，相减运算的信号应标出“”号。有时“+”号可省略，但“”号必须标明，如图（c）；,（4）函数方块：表示元件或环节输入、输出变量之间的函数关系。方块内要填写元件或环节的传递函数，如图（d）。,(a)(b)(c)(d),2.5.2动态结构图的建立,绘制动态结构图的一般步骤为：,（1）明确系统的输入量和输出量；确定各元件或环节的传递函数。,（2）绘出各环节的方块图，在其中标出传递函数，并将信号的拉氏变换标在信号线附近。,（

14、3）按照系统中信号的传递顺序，依次将各环节的方块图连接起来，便构成系统的结构图。,例2-5 已知RC阻容网络如图2-5所示，其中 为输入量，为输出量，试画出该网络的动态结构图。,解 该网络系统的输入量为ur，输出量为uc。其遵循的电路原理为：,对以上的标准微分方程组进行拉氏变换，得如下的标准变换方程组：,从输入端开始，依次画出各个子变换方程输入量、输出量关系的传递函数方块图。并连结系统中的各同名信号线。如图2-6所示。,2-5 2-6,2.5.3动态结构图的等效变换,1、串联环节的等效变换 几个环节的结构图首尾连接，前一个结构图的输出是后一个结构图的输入，称这种结构为串联环节。如图2-7（a）

15、是两个环节串联的结构，有：,由上两式得,因而可等效成图2-7（b）所示的结构。由此可得出，串联环节的等效传递函数等于各相串联环节传递函数的乘积，即有,2-7(a)2-7(b),2.并联环节的等效变换两个及两个以上环节具有同一个输入信号，而以各自环节输出信号的代数和作为总的输出信号的结构称为并联环节。如图为两个环节的并联结构图。由图得：,由上三式得,其等效结构图如图所示。由此可见，并联环节的等效传递函数等于各并联环节的传递函数的代数和，即有,3.反馈连接的等效变换若传递函数分别为G（s）和H（s）的两个方块图如图2-9（a）形式连接，则称为反馈连接。“+”号为正反馈，表示输入信号与反馈信号相加；

16、“-”号为负反馈，表示输入信号与反馈信号相减。由（a）图有,由上三式得,称为闭环传递函数，是反馈连接的等效传递函数，式中负号对应正反馈连接，正号对应负反馈连接。反馈连接的等效变换如图所示。,4.综合点和引出点的移动在结构图的变换中经常要求改变综合点和引出点的位置。一般包括综合点前移、综合点后移、引出点前移、引出点后移、相邻综合点和相邻引出点之间的移动。,1）综合点前移图2-10（a）和图2-10（b）分别表示综合点前移变换前后的系统结构图。,可以看出两图具有如下相同的输入、输出关系：,2）综合点后移图2-11（a）和图2-11（b）分别表示综合点后移变换前后的系统结构图可以看出两图具有如下相同

17、的输入、输出关系：,3）引出点前移图2-12（a）和图2-12（b）分别表示引出点前移变换前后的系统结构图。,可以看出两图具有如下相同的输入、输出关系：,4）引出点后移图2-13（a）和图2-13（b）分别表示引出点后移变换前后的系统结构图。,可以看出两图具有如下相同的输入、输出关系：,5）相邻综合点之间的移动和合并图2-14（a）和图2-14（b）表示相邻综合点之间可以互换位置或进行合并，不会改变该结构输入和输出信号之间的关系。,6）相邻引出点之间的移动从一个信号流线上无论引出多少条信号线，它们都代表同一个信号，所以在一条信号线上的各引出点之间的位置可以随意改变，效果都是等效的。如图2-15

18、（a）和图2-15（b）所示。,例2-8 化简图2-16所示的系统结构图，并求传递函数。,解（1）将综合点a后移，得等效图如图,（2）再与b点交换，得到图,（3）因 与 并联，与 是负反馈环，可得图,（4）再将上图的两个串联环节进行合并，得最后化简的结果如图,2.6 信号流图,2.6.1信号流图的术语及绘制2.6.2梅逊公式,2.6.1信号流图的术语及绘制,1.信号流图中的术语,源节点（输入节点）只有输出支路而无输入支路的节点。如图中的x1。阱节点（输出节点）只有输入支路而无输出支路的节点。如图中的x6。混合节点 既有输入支路又有输出支路的节点。如图中的x2，x3，x4，x5。通路 沿着支路箭

19、头的方向顺序穿过各相连支路的路径。,前向通路 从源节点开始并且终止于阱节点，与任一节点相交不多于一次的通路。如图中的x1x2x3x4x5，x1x2x4x5，x1x2x5前向通道增益 前向通道上各支路增益的乘积。回路 通路的起点和终点是同一节点，并且与其它任何节点相交不多于一次的闭合路径称为回路。回路增益 回路中各支路增益的乘积，称为回路的增益。不接触回路 回路之间没有公共节点时，这种回路叫做不接触回路。在信号流图中，可以有两个或两个以上的不接触回路。如图中的：x2x3x2和x4x4；x2x5x3x2和x4x4。,2.信号流图的绘制 信号流图可以根据微分方程绘制，也可以从系统的结构图按照对应关系

20、得到。,1）由系统微分方程绘制信号流图一般应先通过拉氏变换将微分方程变换为s的代数方程式后再化信号流图。绘制信号流图时，首先对系统的每个变量指定一个节点，并按照系统中变量的因果关系，从左向右顺序排列；然后，用标明支路增益的支路，根据代数方程式将各节点变量正确连接，便可得系统的信号流图。,（2）由系统结构图绘制信号流图结构图中，由于传递的信号标记在信号线上，方框则是对变量进行变换或运算的算子。因此，从系统结构图绘制信号流图时，只需在结构图的信号线上用小圆圈标志出传递信号，便得到节点；用标有传递函数的线段代替结构图的方框，便得到支路，结构图也就变换为相应的信号流图了。,2.6.2梅逊公式,计算任意

21、输入节点和输出节点之间传递函数的梅逊增益公式为,式中，特征式，其计算公式为,n从输入节点到输出节点间前向通道的条数；Pk从输入节点到输出节点间第K条前向通道的总增益；La所有不同回路增益之和；LbLc所有两两互不接触回路的回路增益的乘积之和；LdLeLf所有不接触回路中，每次取其中三个回路增益的乘积之和；K第K条前向通路的余子式，即把与该通路相接触的回路的回路增益置为0后，特征式所余下的部分。,例2-10 用梅逊公式求如图2-19所示系统的传递函数。,解：单独回路4个，即,两个互不接触的回路有4组，即,三个互不接触的回路有1组，即,于是，得特征式为,从源点R到阱节点C的前向通路共有4条，其前向通路总增益以及余因子式分别为:,因此，传递函数为,