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1、第十章 曲线积分与曲面积分,（习题课）,一、曲线积分的计算法,曲线积分计算的关键是必须明确被积函数f(x,y)为定义在积分曲线L上的连续函数，x、y之间符合L的方程，故可化为定积分计算，切不可与二重积分混淆。并第一型曲线积分与L的方向无关，第二型曲线积分与L的方向有关。,10.1 第一型曲线积分的计算,10.2 第二型曲线积分的计算,1.直接计算法,2.利用格林公式化为二重积分计算,格林公式：P(x,y)、Q(x,y)在D上具有一阶连续偏导数，L+则,3.利用积分与路径无关的条件，选择便于积分的路径,D：单连域，P、Q在D 上具有一阶连续偏导数,且,例3 计算积分,B（2，0）,解1 选x为参
2、数,解2 选y为参数,类似解法1，计算仍然麻繁.,0,A（1，1）,y,1,x,（补线段B0,和0AB构成闭合路径，方向取顺时针）,比较以上几种解法，方法5最简便，方法6次之.,其中L为曲线y=sinx 按x增大方向.,解 应用格林公式,补线段0A，使之成为和L-所围成区域D的边界曲线正向.,0A:y=0 dy=0.dx 所以,例 5 计算曲线积分 其中L是由y2=2(x+2)及x=2所围成的区域D的边界，L的方向为逆时针方向.,解 当x=y=0时，,无意义；且 在原点不成立，该点又在题设圆内，所以不能直接利用格林公式计算，但以,原点为中心，可作一半径为的小圆包含该奇点，即挖去此不连,续点，在
3、形成的复连通区域上再应用格林公式计算.,如图，在L包围的区域D内作顺时针方向的小圆周L1：,在L与L1包围的区域上，由 和格林公式，,L为从点A（2,0)沿曲线 到点o(0,0)的的弧.,解 添加从点o(0,0)沿y=0到点A（2,0)的有向直线段L1，,由格林公式，前一积分,例 6 计算曲线积分,利用被积函数及积分路径的对称性,例 7 计算曲线积分,其中L是从原点到A（2，2）再到B（4，0）的折线.,解1 补线段0B,使0B和积分路径L围成区域,D，且0B+L-成为D的边界曲线的正向，由格林公式,例 8 计算 其中ABCDA是逆时针正方形闭回路|x|+|y|=1,A点在x轴正方向上.,解
4、想图易知，此正方形的四个顶点坐标分别为：A（1，0），B（0，1），C（-1，0），D（0，-1）.四边的方程分别为：,AB：x+y=1;BC:-x+y=1;CD:-x-y=1;DA:x-y=1 即 y=1-x;y=1+x;y=-1-x;y=x-1.,例 9 试确定a、b之值，使 是某函数 u(x,y)的全微分，并求出这样的一个原函数.,解 由题设之式是du,有Py=Qx,即,这里原点(0,0)是P、Q的不连续点（奇异点），求u(x,y)时须选取(x0,y0)(0,0),不妨取为(0,1),并选择折线作为积分路径，代入a、b之值，算得,二、曲面积分的计算法,曲面积分计算的关键是要明确被积函数f
5、(x,y,z)为定义在积分曲面上的连续函数，x,y,z之间符合的方程，故可化为二重积分计算，切不可与三重积分混淆。且第一型曲面积分与的方向无关，第二型曲面积分与的方向有关。,10.2 第一型曲面积分的计算,例11 计算曲面积分,其中曲面s是球面x2+y2+z2=a2的下半部，法线朝上，是曲面s的法线正向与0z轴正向的夹角.,解：根据第一，第二型曲面积分之间的关系,直接计算法,（前正后负）,（上正下负）,（右正左负）,2.利用高斯公式化为三重积分,若P（x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在空间域及边界曲面上有连续偏导数，取外侧，则,3.利用斯托斯公式化为线积分,（在第九章习题课中已计算过 此三重积分）,注意：切不可如下计算,解 利用两类面积分的关系计算,平面的法向量n=1,-1,1,单位法向量,其中平面与三条坐标轴的截距为1,所成三角形的边长均为，高线长,此题用高斯公式计算较方便.,例 18 设线积分 与路径无关，其中（x)具有连续的导数，且（0)=0，计算:,解 此题的P=xy2,Q=y（x),由题设积分与路径无关，有Py=Qx,即,再由题设积分与路径无关，选取从点(0,0)到(1,1)的直线段y=x,作为积分路径（选取折线段也可以），算得,
