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1、,高一数学备课组,几何概型,数学是好“玩”的,长度,面积,情景2：一个路口的红绿灯，红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒，当你到达路口时，遇到红灯和绿灯的概率那个大？为什么？,提出问题,古典概型的两个基本特点:（1）所有的基本事件只有有限个;（2）每个基本事件发生都是等可能的。,思考：上述问题的概率是古典概型问题吗？为什么？,那么对于有无限多个试验结果（不可数）的情况相应的概率应如何求呢?,几何概型,自学后提问,1、几何概型是怎样定义的？,事件A理解为区域的某一子区域A，A的概率只与子区域A的几何度量（长度、面积、体积）成正比，而与A的位置和形状无关.满足以上条件的试
2、验称为几何概型.,2、在几何概型中，事件A的概率是怎么定义的？,3、几何概型与古典概型有什么区别和联系？并举例说明.,（2）每个基本事件出现 的可能性相等.,（1）试验中所有可能出 现的基本事件有有限个；,几何概型的特征,古典概型的特征,（1）试验中所有可能出 现的基本事件有无限个；,（2）每个基本事件出现 现的可能性相等.,两种概型、概率公式的联系,1.古典概型的概率公式:,2.几何概型的概率公式:,几何概型可以看作是古典概型的推广,求几何概型的概率时考虑试验的结果个数失去意义,辨一辨,先判断是何种概率模型,再求相应概率.(1)在集合A=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取一 个元素
3、a,则P(a3)=.(2)已知点0(0,0)、M(60,0),在线段OM上任取一点P,则P(|PM|10)=.,(2)几何概率模型,P(|PM|10)=1/6,(1)古典概率模型,P(a3)=7/10,(3)在1000mL的水中有一个草履虫，现从中任取出2mL水样放到显微镜下观察，发现草履虫的概率.,0.002,(2)在1万平方千米的海域中有40平方千米的大陆架储藏着石油,如果在海域中任意点钻探,钻到油层面的概率.,0.004,练一练,(1)在区间（0，10）内的所有实数中随机取一个实数a，则这个实数a7的概率为.,0.3,若满足2a5呢？,1.如右下图,假设在每个图形上随机撒一粒芝麻,分别计
4、算它落到阴影部分的概率.,口答,2.取一根长度为3米的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段长都不小于1米的概率有多大？,3.在腰长为2的等腰直角三角形内任取一点,求该点到此三角形的直角顶点的距离小于1的概率.,4：一海豚在水池中自由游弋，水池为长30m，宽为20m的长方形。求此海豚嘴尖离岸边不超过 2m 的概率.,规范解题步骤,规范解题步骤,20m,30m,A,解：设事件A=“海豚嘴尖 离岸边不超过2m”，如右图，则事件A可用 图中的阴影的面积表示，,请同学们归纳求几何概型概率的规范步骤，并与古典概型步骤作比较！,口答,典例分析,平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径ra的硬币任
5、意掷在这一平面上，求硬币不与任一条平行线相碰的概率.,则，只有当 时硬币不与平行相 碰，如图。,所以，硬币不与任一条平行线相碰的概率为。,思路一,解：设事件A=“硬币不与任一条平行线相碰”，,为了确定硬币的位置，由硬币中心O向靠得最近的平行线垂线OM，,解：设事件A=“硬币不与任一条平行线相碰”，为了求事件A的概率，只需研究硬币不与两条平行线中任何一条相碰即可，由于硬币的位置由硬币中心决定，如图，则事件A可用图中的阴影来表示，可用宽度来表示几何度量，,思路二,所以，硬币不与任一条平行线相碰的概率为。,这是一个几何概型问题。,由几何概型的定义知：,解：记“硬币不与任一条平行线相碰”为事件A。,为
6、了确定硬币的位置，过硬币中心O作两平行线间的垂线段，其长度2a即是几何概型定义中的几何度量。,当硬币不与平行线相碰时，硬币中心O可移动长度2a-2r即是子区域A的几何度量。,所以，硬币不与任一条平行线相碰的概率为。,思路三,如图，平面是由若干个边长为2a的小正方形组成.参加者把半径为 r（ra）的“金币”，任意抛掷在平面上，抛出的“金币”若恰好落在任何一个正方形之内（不与正方形的边相碰），便可获奖，求参加者获奖的概率.,分析：,不妨先考虑金币与一个小正方形的关系.,试验的基本事件是:,金币的中心投在由若干个小正方形组成的平面里.,设事件A为“金币不与小正方形边相碰”,如图，即为“金币的中心要投
7、在绿色正方形内”,参加者获奖的概率为:,解：,由几何概型的定义知：,变式引申,若ra,你愿意玩这个游戏吗？,例 某公共汽车站每隔15分钟有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求一个乘客到达车站后候车时间大于10 分钟的概率？,例 某公共汽车站每隔15分钟有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求一个乘客到达车站后候车时间大于10 分钟的概率？分析：把时刻抽象为点，时间抽象为线段，故可以用几何概型求解。,解：设上辆车于时刻T1到达，而下一辆车于时刻T2到达，线段T1T2的长度为15，设T是T1T2上的点，且T1T=5，T2T=10，如图所示:,答：侯车时间大于10 分钟的概率是1/3.
8、,记候车时间大于10分钟为事件A，则当乘客到达车站的时刻落在线段T1T上时，事件发生，区域D的测度为15，区域d的测度为5。所以,变式：1.假设题设条件不变，求候车时间不超过10分钟的概率.,分析：,2某公共汽车站每隔15分钟有一辆汽车到达，并且出发前在车站停靠3分钟。乘客到达车站的时刻是任意的，求一个乘客到达车站后候车时间大于10 分钟的概率？,分析：设上辆车于时刻T1到达，而下一辆车于时刻T0到达，T2时刻出发。线段T1T2的长度为15，设T是T1T2上的点，且T0T2=3，TT0=10，如图所示:记候车时间大于10分钟为事件A，则当乘客到达车站的时刻落在线段T1T上时，事件A发生，区域D
9、的测度为15，区域d的测度为15-3-10=2。所以,1.某人一觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台整点报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率.,解:设事件A=等待的时间不多于10分钟 事件A发生的区域为时间段50,60,巩固练习,2.教室后面墙壁上的时钟掉下来,面板摔坏了,刻度5至7的部分没了,如图:但指针运行正常,若指针都指向有刻度的地方视为能看到准确时间,求不能看到准确时间的概率.,1/6,巩固练习,3.在直角坐标系内,射线OT落在60o 角的终边上,任作一条射线OA,求射线OA落在XOT内的概率。,巩固练习,甲、乙二人约定在12点到5点之间在某地会面,先到者等一个小时后即离去设
10、二人在这段时间内的各时刻到达是等可能的,且二人互不影响.求二人能会面的概率.,想一想,解:以 X,Y 分别表示甲乙二人到达的时刻,于是,即点 M 落在图中的阴影部分.所有的点构成一个正方形,即有无穷多个结果.由于每人在任一时刻到达都是等可能的,所以落在正 方 形 内 各 点是等可能的.,0 1 2 3 4 5,二人会面的条件是：,0 1 2 3 4 5,y,x,54321,y-x=1,y-x=-1,我的收获,3.几何概型的概率计算公式,1.几何概型的特征,2.几何概型的定义,每个基本事件出现的可能性.,几何概型中所有可能出现的基本事件有 个；,如果某个事件发生的概率只与构成该事件区域的几何度量
11、(长度、面积或 体积)成正比例,则称这样的概率模型为几何概率模型。,无限,相等,4.解决几何概型的关键是构造随机事件对应的几何图形.,解题步骤,记事件,思考题：有只蚂蚁在如图的五角星区域内自由的爬行，且它停在任意一点的可能性相等，已知圆形区域的半径为2，蚂蚁停在圆形内的概率为0.1，求图中五角星的面积.(计算结果保留）,随堂练习，巩固提高,解：记“蚂蚁最后停在五角星内”为事件A,解:以x，y分别表示两人的到达时刻，则两人能会面的充要条件为,试一试:3.两人相约8点到9点在某地会面,先到者等候另一人20分钟,过时就可离去,试求这两人能会面的概率.,思考与讨论,假设小明家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30至7：30之间把报纸送到家，小明离开家去上学的时间在早上7：00至8：00之间，问小明在离开家之前能得到报纸（称为事件A）的概率是多少？,（提示：可借助直角坐标系）,课堂小结,1.几何概型的特点.2.几何概型的概率公式.3.公式的运用.,本节核心内容是几何概型特点及概率 求法，易错点是容易找错、求错几何度量。要求在做解答题时要有规范的步骤和必要的文字说明，在平时的学习中养成良好的学习习惯！,
