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1、1.3.3函数的最大值与最小值,一、复习引入,如果在x0附近的左侧 f/（x）0,右侧f/(x)0,那么,f(x0)是极小值.,2.导数为零的点是该点为极值点的必要条件,而不是充 分条件.极值只能在函数的导数为零且在其附近左右两侧的导数异号时取到.,3.在某些问题中,往往关心的是函数在一个定义区间上,哪个值最大,哪个值最小,而不是极值.,1.当函数f(x)在x0处连续时,判别f(x0)是极大(小)值的方法是:,二、函数的最值,观察右边一个定义在区间a,b上的函数y=f(x)的图象.,发现图中_是极小值，_是极大值，在区间上的函数的最大值是_，最小值是_。,f(x1)、f(x3),f(x2),f
2、(b),f(x3),问题在于如果在没有给出函数图象的情况下，怎样才能判断出f(x3)是最小值，而f(b)是最大值呢？,导数的应用-求函数最值.,(2)将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)(端点处)比较,其中最大的一个为最大值，最小的 一个最小值.,求f(x)在闭区间a,b上的最值的步骤,(1)求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值),所有极值连同端点函数值进行比较，最大的为最大值，最小的为最小值,典型例题,1、求出所有导数为0的点；,2、计算；,3、比较确定最值。,动手试试,求下列函数在给定区间上的最大值与最小值：,(本题满分12分）已知a为实数，（）求导数；（）若，求 在-2
3、，2上的最大值和最小值；（）若 在（-，-2和2，+）上都是递增的，求a的取值范围。,例2,典型例题,小结,求在a,b上连续,(a,b)上可导的函数f(x)在a,b上的最值的步骤:(1)求f(x)在(a,b)内的极值;(2)将f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.,思考,反思：本题属于逆向探究题型；其基本方法最终落脚到比较极值与端点函数值大小上，从而解决问题，往往伴随有分类讨论。,2、求最大（最小）值应用题的一般方法:,(1)分析实际问题中各量之间的关系，把实际问题化为数学问题，建立函数关系式，这是关键一步;,(2)确定函数定义域，并求出极值点;
4、,(3)比较各极值与定义域端点函数的大小，结合实际，确定最值或最值点.,1、实际应用问题的表现形式，常常不是以纯数学模式反映出来:,首先，通过审题，认识问题的背景，抽象出问题的实质;其次，建立相应的数学模型,将应用问题转化为数学问题,再解.,应用,解:设箱底边长为x,则箱高h=(60-x)/2.箱子容积 V(x)=x2h=(60 x2-x3)/2(0 x60).,令,解得x=0(舍去),x=40.且V(40)=16000.,由题意可知,当x过小(接近0)或过大(接近60)时,箱子的容积很小,因此,16000是最大值.,答:当x=40cm时,箱子容积最大,最大容积是16000cm3.,解:设B(x,0)(0 x2),则 A(x,4x-x2).,从而|AB|=4x-x2,|BC|=2(2-x).故矩形ABCD的面积为:S(x)=|AB|BC|=2x3-12x2+16x(0 x2).,令,得,所以当 时,因此当点B为 时,矩形的最大面积是,拓展提高,我们知道，如果在闭区间【a，b】上函数y=f（x）的图像是一条连续不断的曲线，那么它必定有最大值和最小值；那么把闭区间【a，b】换成开区间（a,b）是否一定有最值呢？,函数f(x)有一个极值点时，极值点必定是最值点。,有两个极值点时，函数有无最值情况不定。,如果函数f(x)在开区间（a,b）上只有一个极值点，那么这个极值点必定是最值点。,
