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1、,1向量及其运算,数量：,只有大小，,单用实数就可以表示的量。,向量：,既有大小，,又有方向的量。,考虑 xy 平面上的向量，几何上该向量可表示为 xy 平面上一有向线段。,o,x,y,Q,R,Q：始点,R：终点,若将其平移，始点移至原点 O，而其终点对应于平面上一个点 P(x,y).,如此，平面上每一个向量都唯一确定了平面上的一个点P(x,y)；,反之，平面上任意一点 P(x,y)也唯一确定了平面上以 O 为始点，P 为终点的一个向量.,即,平面向量与平面上的点是一一对应的.,也即,二元有序数组(x,y)表,我们也称(x,y)为二维向量.,示了平面上一向量，,平面向量 平面上点 二元有序数组
2、,定义1,由n个数 a1,a2,an 所组成的有序数组,=(a1,a2,an),称为n维向量.,数 a1,a2,an 称为向量 的分量,(坐标)，,aj 称为向量 的第 j 个分量,(坐标).,一般地，我们用,表示向量，a,b,c 或 x,y,z 表示其分量.,其它表示法,u,v,平行四边形法则,一般可定义如下基本运算.,问题：,是否和数一样，可以对向量进行运算？,回忆合力的运算.,定义2,设=(a1,a2,an),=(b1,b2,bn),为 n 维向量，可定义和运算：,由此，可定义 n 维向量中两个典型向量：,零向量0:满足+0=.由加法定义知：,0=(0,0,0);,负向量：满足+()=0
3、.由加法定义知,=(a1,a2,an).,o,x,y,a1,a2,a2,b2,b1,b1,A,几何上,平行四边形法则,(a1+b1,a2+b2),o,x,y,+,上图可简化为：,三角形法则,设=(a1,a2,an)为 n 维向量，,定义3,为实数.,则,向量(a1,a2,an),称为向量 与数 的乘积.,记为=(a1,a2,an).,运算规律:,1.交换律,+=+;,+,+,2.结合律,(+)+=+(+);,+,+,+,3.+0=;,4.+()=0;,5.1=;,6.数乘结合律,=；,7.数乘对向量加法的分配律,+=+；,8.数乘对数加法的分配律,(+=+.,定义4.,向量的减法：,例1.已知
4、一平面向量,始点为 Q(x1,y1),终点为 R(x2,y2),求其对应之坐标,(分量).,解：,o,x,y,R(x2,y2),P(x,y),Q(x1,y1),由向量减法定义知.,(x2,y2)(x1,y1),(x2 x1,y2y1),=,=,一般有：设n维向量,始点为 Q(a1,an),终点为R(b1,bn),则其坐标为,(b1a1,bnan).,一、空间直角坐标系,对于二维空间,我们引入相应直角坐标系,的途径是通过平面一定点,作两条互相垂直的,数轴而成.,对于三维空间,我们可类似地建立,相应的空间直角坐标系,即过空间中一定点O,作三条互相垂直的数轴,它们以O为公共原点,且具有相同的单位长度
5、,这三条数轴分别称为,x 轴,y 轴,z 轴,都统称为数轴.,数轴正向不同,可建立不同的直角坐标系.如,为统一起见,我们用右手法则确定其正向.,主要名称与记号:,1.坐标平面:,三个坐标轴中任意两条坐标轴所确定的平面.,xy 平面,yz 平面,zx 平面.,2.卦限:,三个坐标平面将空间分为,八个部分,每一部分叫做一个卦限.,IV,VI,V,VII,0,x,y,VIII,II,III,I,z,点在各卦限中坐标的符号：,I,II,(,+,+),(+,+,+),III,(,+),IV,(+,+),V,(+,+,),VI,(,+,),VII,(,),VIII,(+,),3.空间点在空间直角坐标系中的
6、表示法.,R,Q,P,如此,记P,Q,R,在x 轴,y 轴,z 轴上的坐标,依次为x,y,z.,因此,点M,一一对应于,有序数组,(x,y,z).,4.点M 的坐标,点M,(x,y,z),记为M(x,y,z),x,y,z,称为M 的坐标.,横坐标,纵坐标,竖坐标,5.三维向量与空间点的一一对应关系.,点M,一一对应,(x,y,z),始点,终点,6.三维向量加法的几何意义,z,x,y,o,z,x,y,o,平行四边形法则,三角形法则,7.数乘的几何意义,(1),(1),(0 1),(1 0),二、空间两点间的距离,现求M1,M2两点间的距离.,由图知,为以M1QNP为底,M1R为高的长方体的一条对
7、角线的长度.,由勾股定理,下面利用向量运算推导上式.,=(x2,y2,z2)(x1,y1,z1),=(x2 x1,y2 y1,z2 z1),=.,由向量模的定义,知,=|,特例:空间任一点M(x,y,z)到原点的距离为,例1.求在 z 轴上与两点 A(4,1,7)和 B(3,5,2)等距的点.,三.向量的数量积、向量间的夹角,在前一节,我们介绍了向量内积以及向量的模(或长度).,R3,=(x1,y1,z1),=x1 x2 y1 y2 z1 z2，,=(x2,y2,z2),由Schwarz 不等式,知,因此可定义,定义1.,易知,如果,都不为0向量,且,不平行(即,线性无关),则在空间直角坐标系
8、中,由原点O和,的终点A 和B 可确定,所在平面上的一个三角形OAB.,A,B,O,由余弦定理,知,2|cos,=|2+|2|2,=2(x1 x2 y1 y2 z1 z2),=2,=2.,若/,则=或=.,若=,又若 0，则,=,=2,=,=2|2.,=,1 0,1 0.,=|2.,0,0,可定义：,例2.,解:,所做功 W=f1 s,例3.求空间任意点=(x,y,z)与三个坐标轴之间的夹角.,解:在坐标轴上分别取三个单位向量,i=(1,0,0),j=(0,1,0),k=(0,0,1),则,如果 是单位的,即|=1,则,如果 不是单位的,可进行单位化.,=,的方向余弦及方向角,与坐标轴夹角的余
9、弦,将其单位化,得单位化向量,向量在轴上的投影,M,P,u,点 P 为点 M 在轴上的投影.,M1,M2,u1,u2,u,M1,o,u1,u2,u,o,u1,u2,u,M2,M2,M1,性质：,2)设=(x,y,z),则 Proji=i=x，Projj=j=y,Projk=k=z;,3)Proju(+)=Proju+Proju.,解：,M,y,x,z,o,在前面介绍的向量加法与减法时我们知道，两向量之和或差仍然是一个向量，但在介绍向量的数量积时却发现，不再是一个向量而是一个数了，因此，我们仍希望引入向量的某种“积”运算，使之结果仍为一个向量，构造的准则之一:有实际应用.,四、向量的向量积.,(
10、1)|c|=|a|b|sin,(2)c 与a、b所在的平面垂直,(即 c a且c b).,c 的指向按右手规则从 a 转向 b 来确定.,则将向量c 称为 a 与 b 的向量积,记作:a b.,即:c=a b,注:向量积的模的几何意义.,1.定义1:,向量积的性质,(b+c)a=b a+c a,(a)b=a(b)=(a b),为实数,|c|=|a|b|sin,必要性:设a、b 平行,则=0或=.于是,|a b|=|a|b|sin=0,所以 a b=0,充分性:设 a b=0,则|a b|=|a|b|sin=0,由|a|0,|b|0,得,=0或=.所以 a 与 b 平行,证:,例如:,i i=j
11、 j=k k=0,i j=k,j i=k k j=i i k=j,k i=j,j k=i,2、向量积的坐标表示式,设 a=(ax,ay,az)b=(bx,by,bz)则,a b=(ax i+ay j+az k)(bx i+by j+bz k),=ax bx(i i)+ax by(i j)+ax bz(i k)+ay bx(j i)+ay by(j j)+ay bz(j k)+az bx(k i)+az by(k j)+azbz(k k),=ax by k+ax bz(j)+ay bx(k)+ay bz i+az bx j+az by(i),=(ay bz az by)i+(az bx ax b
12、z)j+(ax by ay bx)k,得公式:,a b=(aybz azby)i+(azbx axbz)j+(axby ay bx)k,求垂直于向量 a=(2,2,1)和b=(4,5,3)的向量c.,a b 同时垂直于a、b,=6i+4j+10k 8k 6j 5i,=i 2j+2k,取 c=a b=(1,2,2).,显然,对于任意 0R,c=(,2,2)也与a、b垂直.,例3:,解:,而,已知ABC的顶点分别是A(1,2,3),B(3,4,5),C(2,4,7),求ABC的面积.,由向量积的定义.,所以,=4i 6j+2k,于是,例4:,解:,三、两向量的混和积,1.定义2,称 与 的向量积
13、再与向量 的数量积为向量,的混合积，记作,设有三个向量,则有,设向量=(ax,ay,az),=(cx,cy,cz),=(bx,by,bz),2.混合积的坐标表示式,混合积性质：,事实上，若,在同一个平面上，则 垂直于它们所在的平面，故 垂直于,即,()=0,(2),共面=0,混合积()的绝对值等于以,为棱的平行六面体的体积 V 的数值。,平行六面体,所以，,=|()|,3、混合积()的几何意义,h,V=S h=,底面积,高 h 为 在 上的投影的绝对值,a b=|a|Prjab,例5:,已知空间内不在一个平面上的四点 A(x 1,y 1,z 1),B(x 2,y 2,z 2),C(x 3,y 3,z 3),D(x 4,y 4,z 4)求四面体 ABCD 的体积。,解：,即,所以，,V=,
