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1、三、两向量的混和积,1.定义2,称 与 的向量积 再与向量 的数量积为向量,的混合积，记作,设有三个向量,则有,设向量=(ax,ay,az),=(cx,cy,cz),=(bx,by,bz),2.混合积的坐标表示式,混合积性质：,整理发布,事实上，若,在同一个平面上，则 垂直于它们所在的平面，故 垂直于,即,()=0,(2),共面=0,混合积()的绝对值等于以,为棱的平行六面体的体积 V 的数值。,平行六面体,所以，,=|()|,3、混合积()的几何意义,h,V=S h=,底面积,高 h 为 在 上的投影的绝对值,a b=|a|Prjab,例5:,已知空间内不在一个平面上的四点 A(x 1,y
2、1,z 1),B(x 2,y 2,z 2),C(x 3,y 3,z 3),D(x 4,y 4,z 4)求四面体 ABCD 的体积。,解：,即,所以，,V=,其中行列式前的符号必须与行列式的符号一致。,3平面及其方程,(一)平面的点法式方程,1.法向量:,若一非零向量n垂直于一平面.则称向量n为平面 的法向量.,注:1 对平面,法向量n不唯一;,2 平面 的法向量n与 上任一向量垂直.,一、平面方程,2.平面的点法式方程,设平面 过定点 M0(x0,y0,z0),且有法向量n=(A,B,C).,得:,A(x x0)+B(y y0)+C(z z0)=0,称方程(1)为平面的点法式方程.,(1),例
3、1:求过点(2,3,0)且以 n=(1,2,3)为法向量的平面的方程.,解:根据平面的点法式方程(1),可得平面方程为:,1(x 2)2(y+3)+3(z 0)=0,即:x 2y+3z 8=0,解:先找出该平面的法向量n.,=14i+9j k,例2:求过三点M1(2,1,4),M2(1,3,2)和M3(0,2,3)的平面的方程.,所以,所求平面的方程为:,14(x 2)+9(y+1)(z 4)=0,即:14x+9y z 15=0,即,(二)平面的三点式方程,设平面与x,y,z 轴的交点依次为P(a,0,0),Q(0,b,0),R(0,0,c)三点,(三)平面的截距式方程,则,有,得,(3),(
4、四)平面的一般方程,1、定理1:任何x,y,z的一次方程.Ax+By+Cz+D=0都表示平面,且此平面的一个法向量是:,n=(A,B,C),证:A,B,C不能全为0,不妨设A 0,则方程可以化为,它表示过定点,且 法向量为 n=(A,B,C)的平面.,注：一次方程:Ax+By+Cz+D=0(4),称为平面的一般方程.,例3:已知平面过点M0(1,2,3),且平行于平面2x 3y+4z 1=0,求其方程.,解:所求平面与已知平面有相同的法向量n=(2 3,4),2(x+1)3(y 2)+4(z 3)=0,即:2x 3y+4z 4=0,2.平面方程的几种特殊情形,(1)过原点的平面方程,由于O(0
5、,0,0)满足方程,所以D=0.于是,过原点的平面方程为:,A x+B y+C z=0,Ax+By+Cz+D=0,(2)平行于坐标轴的平面方程,考虑平行于x轴的平面Ax+By+Cz+D=0,它的法向量n=(A,B,C)与x 轴上的单位向量 i=(1,0,0)垂直,所以,n i=A 1+B 0+C 0=A=0,于是:,平行于x 轴的平面方程是 By+Cz+D=0;,平行于y 轴的平面方程是 Ax+Cz+D=0;,平行于z 轴的平面方程是 Ax+By+D=0.,特别:D=0时,平面过坐标轴.,(3)平行于坐标面的平面方程,平行于xOy 面的平面方程是 Cz+D=0;,平行于xOz 面的平面方程是
6、By+D=0;,平行于yOz 面的平面方程是 Ax+D=0.,(即z=k),(即y=k),(即x=k),例4:求通过x 轴和点(4,3,1)的平面方程.,解:由于平面过x 轴,所以 A=D=0.,设所求平面的方程是 By+Cz=0,又点(4,3,1)在平面上,所以,3B C=0,C=3B,所求平面方程为 By 3Bz=0,即:y 3z=0,若已知两平面方程是:,1:A1x+B1y+C1z+D1=0,法向量 n1=(A1,B1,C1),2:A2x+B2y+C2z+D2=0,法向量 n2=(A2,B2,C2),1.定义1,两平面的法向量的夹角(通常指锐角)称为两平面的夹角.,二、两平面的夹角,所以
7、,平面1与2 相互平行,规定:若比例式中某个分母为0,则相应的分子也为0.,平面1与2 相互垂直A1A2+B1B2+C1C2=0,特别:,例5:一平面通过两点M1(1,1,1)和M2(0,1,1),且垂直于平面 x+y+z=0,求它的方程.,解:设所求平面的一个法向量 n=(A,B,C),已知平面 x+y+z=0的法向量 n1=(1,1,1),于是:,A(1)+B 0+C(2)=0 A 1+B 1+C 1=0,解得:,B=CA=2C,取C=1,得平面的一个法向量,n=(2,1,1),所以,所求平面方程是,2(x 1)+1(y 1)+1(z 1)=0,即:2x y z=0,M1(1,1,1),M
8、2(0,1,1),设 P0(x0,y0,z0)是平面 Ax+By+Cz+D=0外一点,求 P0到这平面的距离d.,在平面上任取一点P1(x1,y1,z1),过P0点作一法向量 n=(A,B,C),于是:,三、点到平面的距离,又A(x0 x1)+B(y0y1)+C(z0z1),=Ax0+By0+Cz0+D(Ax1+By1+Cz1+D),=Ax0+By0+Cz0+D,所以,得点P0到平面Ax+By+Cz+D=0的距离:,(5),例6:求点A(1,2,1)到平面:x+2y+2z 10=0的距离,(一)空间直线的一般方程,已知平面1:A1x+B1y+C1z+D1=0,2:A2x+B2y+C2z+D2=
9、0,那末,交线L上的任何点的坐标满足:,A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0,不在交线L上的点不满足方程组(1),(1),称方程组(1)空间直线的一般方程.,4空间直线及其方程,一.空间直线的方程,空间直线可看成是两个不平行平面与的交线,1,2,(二)空间直线的对称式方程,而s 的坐标 m,n,p 称为直线L的一组方向数.,s,L,1.定义1,与空间直线L平行的向量 s=(m,n,p),称为该直线的方向向量.,2.直线的对称式方程,已知直线L过M0(x0,y0,z0)点,方向向量 s=(m,n,p),所以得比例式,(2),称为空间直线的对称式方程或点向式方程.,得:
10、,x=x0+m ty=y0+n tz=z0+p t,称为空间直线的参数方程.,(3),(三)空间直线的参数式方程,例1:写出直线,x+y+z+1=02x y+3z+4=0,的对称式方程.,解:(1)先找出直线上的一点 M0(x0,y0,z0),令 z0=0,代入方程组,得,x+y+1=02x y+4=0,解得:,所以,点在直线上.,(2)再找直线的方向向量 s.,由于平面1:x+y+z+1=0的法线向量 n1=(1,1,1),平面2:2x y+3z+4=0的法线向量 n2=(2,1,3),所以,可取,=4i j 3k,于是,得直线的对称式方程:,例2:求通过点 A(2,3,4)与 B(4,1,
11、3)的直线方程.,所以,直线的对称式方程为,解:直线的方向向量可取 AB=(2,2,1),已知直线L1,L2的方程,s1=(m1,n1,p1),s2=(m2,n2,p2),定义2,两直线的方向向量间的夹角称为两直线的夹角,常指锐角.,二.两直线的夹角,1.L1与 L2的夹角 的余弦为:,3.L1平行于L2,解:直线L1,L2的方向向量 s1=(1,4,1)s2=(2,2,1),有:,所以:,例3:,当直线与平面垂直时,规定夹角,已知:直线的方向向量 s=(m,n,p),平面的法向量 n=(A,B,C),那末,称为L与平面 的夹角.,定义3,直线L与它在平面,上投影直线L的夹角,三.直线与平面的
12、夹角,(1)L与 的夹角 的正弦为:,sin,即:Am+Bn+Cp=0,(2)L与 垂直s/n,(3)L与 平行s与n垂直,例4.判定下列各组直线与平面的关系.,解:L的方向向量 s=(2,7,3),的法向量 n=(4,2,2),s n=(2)4+(7)(2)+3(2)=0,又M0(3,4,0)在直线 L上,但不满足平面方程,所以L与 平行,但不重合.,解:L的方向向量 s=(3,2,7),的法向量 n=(6,4,14),L 与 垂直.,解:L的方向向量 s=(3,1,4),的法向量 n=(1,1,1),s n=3 1+1 1+(4)1=0,又L上的点 M0(2,2,3)满足平面方程,所以,L
13、 与 重合.,1.点到直线的距离,例5.求点p0(1,2,1)到直线,的距离d.,关键：求出 p1 的坐标,方法：过点p0作平面与l垂直，设l与平面的交点为p1，则线段 p0 p1 与 l 垂直。p1即为垂足。,四.点到直线的距离及平面束方程,解:(1)直线 l 的方向向量 s=(2,1,1),过 p0(1,2,1),以s为法向量作平面,:2(x1)+(y2)+(z1)=0,即:2x+y+z 5=0,(2)求 l 与 的交点,将直线 l 方程写出参数方程形式：,即 6t+6=0,t=1,交点 p1(0,2,3),2.平面束方程,建立三元一次方程:,:(A1x+B1y+C1z+D1)+(A2x+
14、B2y+C2z+D2)=0(3),考查直线 l 与平面 的关系：,(1)直线 l 上的任何点p(x,y,z)满足方程(1)、(2)，也满足方程(3)。,故：方程(3)表示通过直线 l 的平面，且对于不同的 值，方程(3)表示通过直线 l 的不同平面。,(2)通过直线 l 的任何平面(除2以外)都包含在方程(3)的一族平面内。,这是因为：对于直线 l 外任意一点p0(x0,y0,z0),令：,p0(x0,y0,z0),过直线 l 与点 p0 的平面为:,故：对于直线l,方程(3)包含了(除2外的)过直线l的全体平面。,:(A1x+B1y+C1z+D1)+(A2x+B2y+C2z+D2)=0(3),定义：对于直线 l,通过 l 的平面的全体称为平面束。,解：过直线 l 的平面束方程为,(x+y z)+(x y+z 1)=0,点p0(1,1,1)在平面上，代入方程，得,3 2=0,所求平面为：,(x+y z)+(x y+z 1)=0,即：5x y+z 3=0,例7.求直线 l:,x+y 1=0,y+z+1=0.,在平面:2x+y+2z=0,上的投影直线方程.,解：设投影直线为l，则由l与l决定的平面与平面垂直。,过l 的平面束方程为,即,与平面:2x+y+2z=0垂直的平面满足：,代入平面束方程，得,：,故:投影直线l:,xz 2=0,2x+y+2z=0,即,:2x+y+2z=0,
