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1、向量代数与空间解析几何,第一章,1 向量的概念及向量的表示,一、向量的基本概念,1.向量:既有大小,又有方向的量,称为向量.(或矢量),2.向量的几何表示法:用一条有方向的线段来表示向量.,以线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.,(一)向量的概念,3.自由向量,大小相等且方向相同,特别:模为1的向量称为单位向量.,模为0的向量称为零向量.它的方向可以看作是任意的.,1.向量加法.,(1)平行四边形法则,设有(若起点不重合,可平移至重合).作以 为邻边的平行四边形,对角线向量,称为 的和,记作,(2)三角形法则,将 之一平行移动,使 的起点与 的终点重合,则由 的起点到 的终
2、点所引的向量为,(二)向量的加减法,2.向量加法的运算规律.,(1)交换律:,(2)结合律:,例如:,3.向量减法.,(2)向量减法.,规定:,平行四边形法则.,将 之一平移,使起点重合,作以 为邻边的平行四边形,对角线向量,为,三角形法则.,将 之一平移,使起点重合,由 的终点向 的终点作一向量,即为,1.定义,实数与向量 的 为一个向量.,其中:,当 0时,当 0时,当=0时,2.数与向量的乘积的运算规律:,(1)结合律:,(2)分配律:,(三)数与向量的乘法,结论:设 表示与非零向量 同向的单位向量.,则,或,(方向相同或相反),例1:在平行四边形ABCD中,设AB=,AD=,试用 表示
3、向量MA,MB,MC 和MD.,其中,M是平行四边形对角线的交点.,1.点在轴上投影,设有空间一点A及轴u,过A作u轴的垂直平面,平面与u轴的交点A叫做点A在轴u上的投影.,(四)向量在轴上的投影,2.向量在轴上的投影.,定义,如果向量e为与轴u的正方向的单位向量，,显然,3.两向量的夹角,规定：,4.向量的投影性质.,定理3 两个向量的和在轴u上的投影等于两个向量在该轴上的投影的和。,推论:,即,即,定理4:实数与向量 的乘积在轴u上的投影，等于乘以向量 在该轴上的投影。,二.空间直角坐标系与空间向量的坐标表示,1.空间直角坐标系的建立,o,z,x,y,x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴
4、)组成了一个空间直角坐标系,又称笛卡尔(Descarstes)坐标系，点O叫做坐标原点.,(一)空间直角坐标系,2.坐标面.,由三条坐标轴的任意两条确定的平面,称为坐标面,分别叫x y面.y z面、z x面,它们将空间分成八个卦限.,1.点在空间直角坐标系中的坐标表示.,R,Q,P,记:点M为M(x,y,z),(二)空间向量的表示,(1)若点M在yz面上,则 x=0;在zx面上,则 y=0;在xy面上,则 z=0.,(2)若点M在 x 轴上,则 y=z=0,在 y 轴上,则 x=z=0,在 z 轴上,则 x=y=0,特别:,2.空间向量的坐标表示,设点 M(x,y,z),以 i,j,k 分别表
5、示沿 x,y,z轴正向的单位向量,称为基本单位向量.,=xi+yj+zk,由于：,从而：,(2).起点不在原点O的任一向量 a=M1M2,设点 M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2),=(x2 i+y2 j+z2 k)(x1 i+y1 j+z1 k),=(x2 x1)i+(y2 y1)j+(z2 z1)k,即 a=(x2 x1,y2 y1,z2 z1)为向量a的坐标表示式,记 ax=x2 x1,ay=y2 y1,az=z2 z1,分别为向量 a 在三个坐标轴上的投影,称为a的坐标.,a=M1M2=(x2 x1,y2 y1,z2 z1),两点间距离公式：,由此得,(2),(3),(3
6、).运算性质,设 a=(ax,ay,az),b=(bx,by,bz),且为常数,a b=(ax bx,ay by,az bz),a=(ax,ay,az),证明:a+b=(ax i+ay j+az k)+(bxi+by j+bz k),=(ax i+bxi)+(ay j+by j)+(az k+bz k),=(ax+bx)i+(ay+by)j+(az+bz)k,a+b=(ax+bx,ay+by,az+bz),(4)两向量平行的充要条件.,设非零向量 a=(ax,ay,az),b=(bx,by,bz),即ax=bx,ay=by,az=bz,于是,例如：(4,0,6)/(2,0,3),1.方向角:非
7、零向量a 与x,y,z 轴正向夹角,称为a 的方向角.,2.方向余弦:方向角的余弦 cos,cos,cos 称为方向余弦.,3.向量的模与方向余弦的坐标表达式,设a=(ax,ay,az,),(三)向量的模与方向余弦的坐标表示式,又：,(4),(5),由(5)式可得,cos2+cos2+cos2=1,(6),设ao是与a同向的单位向量,ao,=(cos,cos,cos),(7),例2.已知两点M1(2,2,)和M2(1,3,0).计算向量M1 M2的模,方向余弦和方向角.,例3:在z轴上求与两点 A(4,1,7)和B(3,5,2)等距离的点.,解:设该点为M(0,0,z),由题设|MA|=|MB
8、|.,即:,解得:,所求点为 M(0,0,),例4 证明以M1(4,3,1),M2(7,1,2),M3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.,解:,由|M2 M3|=|M3 M1|,所以 M1 M2 M3 是等腰三角形.,2 向量的数量积.向量积及混合积,一、向量的数量积,例如:设力F 作用于某物体上,物体有一段位移S,求功的表示式.,解:由物理知,与位移平行的分力作功,与位移垂直的分力不作功.于是,W=|F|cos|S|=|F|S|cos,设有两个向量 a、b,它们的夹角为,即:a b=|a|b|cos,1.定义1:,注1:当 a 0时,|b|cos=Prjab,当 b 0时,|
9、a|cos=Prjba,于是 a b=|a|Prjab=|b|Prjba,注2:a a=|a|2,例如:i i=j j=k k=1,a b=|a|b|cos,(1)交换律 a b=b a,(2)分配律(a+b)c=a c+b c,(3)数量积满足如下结合律:(a)b=a(b)=(a b),为实数,2.数量积的性质,a b=|a|b|cos,a b=|a|Prjab=|b|Prjba,证:必要性:设a b,充分性:设a b=|a|b|cos=0;,由a 0,b 0,得:cos=0,即 a b,例如:i、j、k 互相垂直,所以,i j=j k=i k=0,如图,利用数量积证明三角形的余弦定理,|c
10、|2=|a|2+|b|2 2|a|b|cos,证:,|c|2=|a b|2=(a b)(a b),=a a+b b 2 a b,=|a|2+|b|2 2|a|b|cos,|c|2=|a|2+|b|2 2|a|b|cos,故:,a,b,c,例1.,由于c=a b,于是,3.数量积的坐标表示式,设 a=(ax,ay,az),b=(bx,by,bz),则,a b=(ax i+ay j+az k)(bx i+by j+bz k),=ax i(bx i+by j+bz k)+ay j(bx i+by j+bz k)+az k(bx i+by j+bz k),=ax bx i i+ax by i j+ax
11、 bz i k+ay bx j i+ay by j j+ay bz j k+az bx k i+az by k j+azbz k k,=ax bx+ay by+az bz,得公式:,a b=ax bx+ay by+az bz,(1),推论:两个非零向量,a=(ax,ay,az),b=(bx,by,bz)垂直,ax bx+ay by+az bz=0,4.数量积在几何中的应用,设 a=(ax,ay,az),b=(bx,by,bz),(1)求 a 在 b 上的投影.,Prjba=|a|,由|a|b|=a b,得,(2),已知:,(2)求两向量 a,b 的夹角,由|a|b|cos=a b,知,(3),
12、已知三点 M(1,1,1),A(2,2,1)和B(2,1,2),求AMB.,得:,所以,例2,解:,由力学规定:力F 对支点O的力矩是一个向量M.,其中:,二、两向量的向量积,(1)|c|=|a|b|sin,(2)c 与a、b所在的平面垂直,(即 c a且c b).,c 的指向按右手规则从 a 转向 b 来确定.,则将向量c 称为 a 与 b 的向量积,记作:a b.,即:c=a b,注:向量积的模的几何意义.,1.定义1:,向量积的性质,(b+c)a=b a+c a,(a)b=a(b)=(a b),为实数,|c|=|a|b|sin,必要性:设a、b 平行,则=0或=.于是,|a b|=|a|
13、b|sin=0,所以 a b=0,充分性:设 a b=0,则|a b|=|a|b|sin=0,由|a|0,|b|0,得,=0或=.所以 a 与 b 平行,证:,例如:,i i=j j=k k=0,i j=k,j i=k k j=i i k=j,k i=j,j k=i,2、向量积的坐标表示式,设 a=(ax,ay,az)b=(bx,by,bz)则,a b=(ax i+ay j+az k)(bx i+by j+bz k),=ax i(bx i+by j+bz k)+ay j(bx i+by j+bz k)+az k(bx i+by j+bz k),=ax bx(i i)+ax by(i j)+ax
14、 bz(i k)+ay bx(j i)+ay by(j j)+ay bz(j k)+az bx(k i)+az by(k j)+azbz(k k),=ax by k+ax bz(j)+ay bx(k)+ay bz i+az bx j+az by(i),=(ay bz az by)i+(az bx ax bz)j+(ax by ay bx)k,得公式:,a b=(aybz azby)i+(azbx axbz)j+(axby ay bx)k,求垂直于向量 a=(2,2,1)和b=(4,5,3)的向量c.,a b 同时垂直于a、b,=6i+4j+10k 8k 6j 5i,=i 2j+2k,取 c=a
15、 b=(1,2,2).,显然,对于任意 0R,c=(,2,2)也与a、b垂直.,例3:,解:,而,已知ABC的顶点分别是A(1,2,3),B(3,4,5),C(2,4,7),求ABC的面积.,由向量积的定义.,所以,=4i 6j+2k,于是,例4:,解:,三、两向量的混和积,1.定义2,称 与 的向量积 再与向量 的数量积为向量,的混合积，记作,设有三个向量,则有,2.混合积的坐标表示式,混合积性质：,事实上，若,在同一个平面上，则 垂直于它们所在的平面，故 垂直于,即,()=0,(2),共面=0,混合积()的绝对值等于以,为棱的平行六面体的体积 V 的数值。,平行六面体,所以，,=|()|,3、混合积()的几何意义,h,V=S h=,底面积,高 h 为 在 上的投影的绝对值,a b=|a|Prjab,例5:,已知空间内不在一个平面上的四点 A(x 1,y 1,z 1),B(x 2,y 2,z 2),C(x 3,y 3,z 3),D(x 4,y 4,z 4)求四面体 ABCD 的体积。,解：,即,所以，,V=,其中行列式前的符号必须与行列式的符号一致。,
