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1、1,第三章 静定梁与静定刚架,截面内力计算内力图的形状特征叠加法绘制弯矩图多跨静定梁静定刚架内力图,2,1、平面杆件的截面内力分量及正负规定,轴力N 截面上应力沿轴线切向的合力 以拉力为正。,N,N,剪力Q,截面上应力沿轴线法向的合力 以绕隔离体顺时针转为正。,Q,Q,弯矩M 截面上应力对截面中性轴的力矩。不规定正负，但弯矩图画在拉侧。,M,M,图示均为正的轴力和剪力,2、截面内力计算方法：内力的直接算式：,轴力=截面一边的所有外力沿轴切向投影代数和。,剪力=,截面一边的所有外力沿轴法向投影代数和，如外力绕截面形心顺时针转动，投影取正否则取负。,弯矩=,截面一边的所有外力对截面形心的外力矩之和
2、。弯矩及外力矩产生相同的受拉边。,3.1 截面内力计算,3,例：求截面1、截面2的内力,N2=50,N1=1410.707=100kN,Q1=,M1=125,(下拉）,=50kN,141cos45o,=812.5kNm,+1410.70710,505,5/25,Q2=141sin45100kN,M2,5m,5m,5m,5m,2,1,5kN/m,50kN,141kN,125kN.m,M2375kN.m（左拉）,45,505,125,1410.7075,375kN.m,+55,1410.707,=25kN,50,4,dN/dx=qxdQ/dx=qy qy向下为正dM/dx=Q微分关系给出了内力图的
3、形状特征,增量关系说明了内力图的突变特征,3）、积分关系：,由微分关系可得,QB=QAqydx,MBMA+Qdx,右端剪力等于左端剪力减去该段qy,的合力；,右端弯矩等于左端弯矩加上该段,剪力图的面积,3.2荷载与内力之间的关系,5,内力图形状特征,无何载区段,均布荷载区段,集中力作用处,平行轴线,斜直线,Q=0区段M图 平行于轴线,Q图,M图,备注,二次抛物线凸向即q指向,Q=0处，M达到极值,发生突变,P,出现尖点尖点指向即P的指向,集中力作用截面剪力无定义,集中力偶作用处,无变化,发生突变,两直线平行,m,集中力偶作用面弯矩无定义,在自由端、铰支座、铰结点处，无集中力偶作用，截面弯矩等于
4、零，有集中力偶作用，截面弯矩等于集中力偶的值。,6,1m,2m,1m,A,B,D,C,q=20kN/m,P=20kN,RA=70kN,RB=10kN,20,50,10,40,30,10,M图(kN.m),Q图(kN),（c）,（b）,（a）,m=40kN.m,=5020210kN,=10+(50+10)22=50kN.m,10,50,7,1）、简支梁情况,弯矩图叠加，是指竖标相加，而不是指图形的拼合,M(x)=M(x)+M(x),竖标M，如同M、M一样垂直杆轴AB，而不是垂直虚线AB。！,3.3 叠加法作弯矩图,8,2)、直杆情况,(b),因此，结构中的任意直杆段都可以采用叠加法作弯矩图，作法
5、如下：,首先求出两杆端弯矩，连一虚线，然后以该虚线为基线，叠加上简支梁在跨间荷载作用下的弯矩图。,9,4kNm,4kNm,4kNm,2kNm,4kNm,4kNm,6kNm,4kNm,2kNm,（1）集中荷载作用下,（2）集中力偶作用下,（3）叠加得弯矩图,（1）悬臂段分布荷载作用下,（2）跨中集中力偶作用下,（3）叠加得弯矩图,10,qL,qL,qL/8,qL,qL,M图,Q图,ql2/4,11,M 图(kN.m),55,5,12,D,F,16kN.m,Q图（kN）,7,36.1,H,x,CE段中点D的弯矩MD=28+8=36kN.m，并不是梁中最大弯矩，梁中最大弯矩在H点。Mmax=MH。,
6、均布荷载区段的中点弯矩与该段内的最大弯矩,一般相差不大,故常用中点弯矩作为最大弯矩！,M图（kN.m）,由 QH=QCqx=0 可得：xQC/q9/42.25(m)MHMC+(CH段Q图的面积）26+92.25236.1（kN.m),13,(由基本部分及附属部分组成),将各段梁之间的约束解除仍能平衡其上外力的称为基本部分,不能独立平衡,其上外力的称为附属部分，,附属部分是支承在基本部分的，其层次图为！,ABC，DEFG是基本部分，CD，GH是附属部分。,3.4多跨静定梁,14,多跨静定梁是主从结构，其受力特点是：力作用在基本部分时附属部分不受力，力作用在附属部分时附属部分和基本部分都受力。,多
7、跨静定梁可由平衡条件求出全部反力和内力，但为了避免解联立方程，应先算附属部分，再算基本部分。,15,qa,q,qa,qa,qa,qa,qa/4,7qa/4,qa/2,qa/2,qa/2,qa2,qa2,qa2/2,qa2/2,Q图（kN）,M图（kN.m）,16,50,M(kNm),17,例：确定图示三跨连续梁C、D铰的位置，使边跨的跨中弯矩 与支座处的弯矩的绝对值相等,MG可按叠加法求得：,解得：,代入上式：,解得：,18,由于多跨静定梁设置了带伸臂的基本部分，这不仅使中间支座处产生了负弯矩，它将降低跨中正弯矩;另外减少了附属部分的跨度。因此多跨静定梁较相应的多个简支梁弯矩分布均匀，节省材料
8、，但其构造要复杂一些！,19,斜梁：,由整体平衡：,由分离体平衡可得：,斜梁与相应的水平梁相比反力相同，对应截面弯矩相同，斜梁的轴力和剪力是水平梁的剪力的两个投影。,20,MB,MA,ql2/8,斜梁的弯矩图也可用叠加法绘制，但叠加的是相应水平简支梁的弯矩图，竖标要垂直轴线。,21,1、刚架的内部空间大，便于使用。2、刚结点将梁柱联成一整体，增大了结构的刚度，变形小。3、刚架中的弯矩分布较为均匀，节省材料。,一、刚架的特点,几何可变体系,桁架,刚架,3-5 静定平面刚架,22,常见的静定刚架类型：1、悬臂刚架,2、简支刚架,3、三铰刚架,4、主从刚架,23,二、刚架的反力计算（要注意刚架的几何
9、组成）1、悬臂刚架、简支刚架的反力由整体的三个平衡条件便可求出。2、三铰刚架的反力计算,整体平衡,左半边平衡,整体平衡,=3kN,反力校核,C,24,25,3、主从刚架求反力：需要分析其几何组成顺序，确定基本部分和附属部分。,由附属部分ACD,由整体,校核：,26,三、计算刚架的杆端力时应注意的几点：注意内力正负规定。正确地选取分离体。结点处有不同的杆端截面。各截面上的内力用该杆两端字母作为下标来表示，并把该端字母列在前面。,QDC=6kN NDC=0MDC=24kN.m（下拉）,QDB=8kNNDB=6kNMDB=16kN.m（右拉）,QDA=8kNNDA=0MDC=8kN.m（左拉）,注意
10、结点的平衡条件！,27,QDC=6kN NDC=0MDC=24kN.m（下拉）,QDB=8kNNDB=6kNMDB=16kN.m（右拉）,QDA=8kNNDA=0MDC=8kN.m（左拉）,X=88=0,Y=6（6）=0,M=248 16=0！,28,四、刚架内力图分段：根据荷载不连续点、结点分段。定形：根据每段内的荷载情况，定出内力图的形状。求值：由截面法或内力算式，求出各控制截面的内力值。画图：画M图时，将两端弯矩竖标画在受拉侧，连以直线，再叠加上横向荷载产生的简支梁的弯矩图。Q，N图要标，号；竖标大致成比例。,1、整体平衡求反力如图,2、定形：3、求值：,NCA=qa/2，QCA=qaq
11、a=0，MCA=qa2/2（里拉）,NCB=0，QCB=qa/2，MCB=qa2/2（下拉）,29,qa2/2,qa2/2,qa2/8,qa/2,qa,qa/2,M图,N图,Q图,校核：,满足：X0Y0M0,在刚结点上,各杆端弯矩和结点集中力偶应满足结点的力矩平衡。尤其是两杆相交的刚结点，无结点集中力偶作用时，两杆端弯矩应等值，同侧受拉。,30,31,作刚架Q、N图的另一种方法：首先作出M图；然后取杆件为分离体，建立矩平衡方程，由杆端弯矩求杆端剪力；最后取结点为分离体，利用投影平衡由杆端剪力求杆端轴力。,MCqa2/2+QBCa=0 QBC=QCB=qa/2,MCqa2/2+qa2/2 QAC
12、a=0 QAC=（qa2/2+qa2/2）/a=qaMA0 Q CA=（qa2/2 qa2/2）/a=0,X0，NCB 0Y0，NCAqa/2,32,N图（kN）,M图（kN.m）,Q图（kN）,MD=6QCD3.350QCD=1.79(kN)=QDC,MC=6+3 41.5+3.35QEC0QEC=7.16kNME=6 3 4 1.5+3.35QCE0QCE=3.58kN,3.13,5.82,33,求图示联合刚架的弯矩图。,解：1、求反力,2、求内部约束力,取ABC,取BC,解得：,取ABC,同理可得右半部分的约束内力：,8Pa,8Pa,2Pa,2Pa,16Pa,4Pa,34,一、悬臂刚架
13、可以不求反力，由自由端开始作内力图。,ql,ql,2q,2q,6q,弯矩图的绘制 如静定刚架仅绘制其弯矩图，往往并不需要求出全部反力，只需求出与杆轴线垂直的反力。,35,二、简支型刚架弯矩图,简支型刚架绘制弯矩图往往只须求出一个于杆件垂直的反力,然后由支座作起,ql2/2,qa2/2,qa2/2,注意:BC杆CD杆的剪力等于零,弯矩图于轴线平行,ql2/2,36,三、三铰刚架弯矩图,1 反力计算 1 整体 MA=qa2+2qa22aYB=0(1)2 右半边 MB=0.5qa2+2aXB aYB=0(2)解方程(1).(2)可得 XB=0.5qa YB=1.5qa 3 在由整体平衡 X=0 解得
14、 XA=0.5qa Y=0 解得 YA=0.5qa,2 绘制弯矩图,qa2,注:三铰刚架绘制弯矩图往往只须求一水平反力,然后由 支座作起！,1/2qa2,0,q,qa,XA,YA,YB,XB,A,C,B,37,M/2,M,M/2,画三铰刚架弯矩图,注:1：三铰刚架仅半边有荷载，另半边为二力体，其反力沿两铰连线，对o点取矩可求出B点水平反力，由B支座开始作弯矩图。2：集中力偶作用处，弯矩图发生突变，突变前后两条线平行。3：三铰刚架绘制弯矩图时，关键是求出一水平反力！,Mo=m2aXB=0,得 XB=M/2a,38,qL2/4,qL2/4,=3/4ql,A,O,整体对O点建立平衡方程得 MO=ql
15、1.5l 2lXA=0 得 XA=3ql/4,39,qa2,qa2,qa2/2,qa2/2,M图（kN.m）,四、主从结构绘制弯矩图时，可以利用弯矩图与荷载、支承及连结之间的对应关系，不求或只求部分约束力。,40,80kN,20kN,120,90,120,60,180,62.5,M图kM.m,仅绘M图,并不需要求出全部反力.,然后先由A.B支座开始作弯矩图.,先由AD Y=0 得 YA=80kN,再由整体 X=0 得 XB=20kN,MEA=806-206=120,41,4.5qa2,M图,Ph,Ph,Ph,2Ph,右半边Y=0 YB=0YA=0整体：MA03qaa/2XBa0XB=1.5qa
16、,42,五、对称性的利用：对称结构在对称荷载作用下，反力和内力都呈对称分布；对称结构在反对称荷载作用下，反力和内力都呈反对称分布。,ql2/8,43,24kN.m,X,绘制图示结构的弯矩图,o,12,6,6,12,对称结构在反对称荷载作用下，弯矩图呈反对称分布。,12,44,利用上述内力图与荷载、支承和联结之间的对应关系，可在绘制内力图时减少错误，,另外，根据这些关系，常可不经计算直观检查,M图的轮廓是否正确。,M图与荷载情况是否相符。,M图与结点性质、约束情况是否相符。,作用在结点上的各杆端弯矩及结点集中力偶是否满足平 衡条件。,提高效率。,45,46,47,（1）（）,（2）（）,48,（9）（）,49,课间休息,趣味思考,1、已知悬臂梁的剪力图如图a示。若梁上无外力偶作用，下列论述正确的是_A 梁上荷载情况如图b所示B YA=10kN,MA=20kN.m(上拉)C M图在AB段为斜直线,BC段为二次曲线D 梁上各截面弯矩均为上侧受拉E MB=0,ABCE,50,课间休息,趣味思考,51,听段音乐休息一下,温故知新,
