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1、7.4 非参数假设检验,分布拟合优度检验,概率图纸法,2-拟合优度检验,柯尔莫洛夫-斯米尔诺夫检验,7-4-1 概率图纸法,1.正态概率图纸的构造原理,设总体有分布函数 F(x)，N(,2)表示正态颁布族，需要检验假设,（7-4-1）,在原假设 H0 为真时，通过中心化变换,即,而函数 u(x)是 x 的线性函数，,在(x,u(x)直角坐标平面上是一条直线，这条直线过点(,0)，且斜率为 1/,图 7-1,2.检验步骤,由格里汶科定理知道子样的经验分布函数Fn(x)依概率收敛于总体分布函数 F(x)。因此若,为真，则点(xi,Fn(xi),i=1,2,n 在正态概率图纸上也应该近似地在一条直线
2、附近。根据上述想法，用正态概率图纸检验假设 H0的具体步骤如下：,1）整理数据：把样本观察值按大小排列。假如 n 次观察值中有 m 个不同的值，则按大小次序列入下表。,由于(x(m),1)在正态概率图纸上无法标出，不少统计学家建议对 Fn 的值作如下两种修正：,这种修正对小样本是必要的；,2）描点：把点(x(k),Fn(x(k)描在正态概率图纸上；,（7-4-2）,3）目测这些点的位置，若这一列点挖地在一条直线附近，我们就可以接受原假设，否则就拒绝原假设。,3.未知参数与2的估计,若通过概率图纸检验已经知道总体服从正态分布，我们就凭目测在概率图纸上画出最靠近各点(x(i),Fn(x(i),i=
3、1,n 的一条直线 l。在概率图纸上画一条 F=0.5 的水平直线，这条直线与直线 l 的交点的横坐标 x 0.5 就可作为参数的估计。,其次，我们还可用 x 0.8413 x 0.5 来估计,例7-4-1 参见P336。,7-4-2 2 拟合检验法,设总体的分布函数为具有明确表达式的 F(x)，我们把随机变量的值域 R 分成 k 个互不相容的区间 A1=a0,a1),A2=a1,a2),Ak=a k-1,ak,这些区间不一定有相同的长度,设 是容量为 n 的样本观测值，ni 为样本观测值 中落入 Ai 的频数。则在 n 次试验中事件 Ai 出现的频率为,我们现在检验原假设 H0:F(x)=F
4、0(x).,设在原假设 H0 成立下，总体落入 Ai 的概率为 pi，即,此时，n 个观测值中，恰有 n1 个观测值落入 A1 由，n2 个观测值落入 A2 内，,nk 个观测值落入 Ak 内的概率应为,这是一个多项分布。,由大数定律，在 H0 为真时，频率 ni/n 与概率 pi 的差异不应太大。根据这个思想，Person 构造了一个统计量,（7-4-3）,（7-4-4）,定理 7-4-1：当 H0 为真时，即,为总体的真实概率时，由（8-3-4）式所定义的统计量的渐近分布是自由度为 k-1 的2-分布，即其密度函数为,（7-4-5）,如果原假设 H0 只确定总体分布的类型，而分布中还含有未
5、知参数，,m,则下面的 Fisher 定理解决了含未知参数情形的分布检验问题。,(7-4-6),则有下面的统计量,（7-4-7）,例7-4-2 参见P343。,Person 2拟合优度检验的步骤：,1）把总体的值域划分为 k 个互不相交的区间 ai,a i+1),i=1,k,其中 a1,ak+1 可以分别取-,+;(每个划分的区间必须包含不少于5个个体，若个体数少于5个时，则可指导这种区间并入其相邻的区间，或者把几个频数都小于5，但不一定相邻的区间并成一个区间）。,2）在H0成立下，用极大似然估计法估计分布所含的未知参数；,3）在H0成立下，计算理论概率,并且算出理论频数 npi;,4）按照样本观察值 落在区间 ai,ai+1)中的个数，即实际频数 ni,i=1,k,计算,5）按照所给出的显著性水平，查自由度为k-m-1 的2-分布表得,6）若，则拒绝原假设H0，否则认为原假设成立。,这里 m 是未知参数的个数；,
