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1、第 3 章 刚体的定轴转动,刚体-形状与大小都不变的物体（理想模型）,刚体是一个特殊的质点系-质点之间的距离与相对位置都保持不变,3.1 刚体定轴转动的描述,1.平动,2.转动,定轴转动,定点转动（有瞬时轴）,这章学习方法:对比法（对比质点力学）,3.1.1 刚体的运动,3.1.2 刚体的角量描述,1.角坐标,OP与极轴之间的夹角称为角坐标（或角位置）,角坐标为标量，但可有正负。,刚体作定轴转动时,刚体上各质点都作圆周运动。,各质点运动的线量一般不同，但角量完全相同。,在定轴转动过程中，角坐标是时间的函数：=(t)，称为转动方程。,角坐标的增量,称为刚体的角位移,2.角位移,平均角速度,3.角
2、速度,角速度,角速度方向：满足右手定则，沿刚体转动方向右旋大拇指指向。,4.角加速度,平均角加速度,角加速度,角速度和角加速度都是矢量，但对于定轴转动的刚体，角速度和角加速度的方向只有两个，我们用正负表示角速度和角加速度的方向。,5.角量与线量的关系,路程与角位移的关系,线速度与角速度的关系,圆周运动时加速度与角量的关系,3.2 刚体定轴转动定律,3.2.1 刚体定轴转动定律,1.力对转轴的矩,力对固定点的矩,力对固定轴的矩,把力分解为平行于转轴的分量和垂直于转轴的分量。,平行转轴的力不产生转动效果，对轴的矩为零。,【例1】一匀质细杆，长为 l 质量为 m，在摩擦系数为 的水平桌面上转动，求摩
3、擦力的力矩 M阻。,【解】杆上各质元均受摩擦力作用，各质元所受的摩擦阻力矩不同。,细杆的质量密度,质元质量,质元受阻力矩,细杆受的阻力矩,2.刚体定轴转动定律,考虑刚体上某一质元，其受力如图所示。对质元应用牛顿第二定律：,法向分力的力矩为零，对切向力有,对所有质元求和，得到,左边第二项表示内力矩之和，等于零。,左边第一项表示合外力矩，记作M。,只与刚体的质量和质量相对转轴的分布有关，称为刚体对轴的转动惯量，记作J。,则上式可简写成,刚体定轴转动定律,3.2.2 定轴转动刚体的转动惯量,刚体的转动惯量与刚体的形状、大小、质量的分布以及转轴的位置有关。,对于质量连续分布的刚体,（面质量分布）,（线
4、质量分布）,【例2】半径为 R 质量为 M 的圆环，绕垂直于圆环平面的质心轴转动，求转动惯量J。,【解】分割质量元，环上各质元到轴的距离相等。,【例3】在无质轻杆的 b 处 3b 处各系质量为 2m 和 m 的质点，可绕 O轴转动，求质点系的转动惯量J。,【解】,【例4】一质量为m，半径为R的均匀圆盘，求对通过盘中心并与盘面垂直的轴的转动惯量。,【解】,【例5】长为 l、质量为 m 的匀质细杆，绕与杆垂直的质心轴转动，求转动惯量 J。,【解】建立坐标系，分割质量元,【例6】长为 l、质量为 m 的匀质细杆，绕细杆一端轴转动，求转动惯量 J。,【解】,计算转动惯量J 的三条有用的定理,（2）平行
5、轴定理:,所以 Jc 总是最小的。,（1）叠加定理:对同一转轴 J 有可叠加性,（3）垂直轴定理:（对薄平板刚体）,【例7】求对薄圆盘的一条直径的转动惯量,【例8】计算钟摆的转动惯量（已知：摆锤质量为m，半径为r，摆杆质量也为m，长度为2r）。,【解】,摆杆转动惯量：,摆锤转动惯量：,已知：两物体 m1、m2（m2 m1)滑轮 m、R,可看成质量均匀的圆盘,轴上的摩擦力矩为 Mf（设绳轻，且 不伸长,与滑轮无相对滑动）。,求:物体的加速度及绳中张力。,【例8】,3.2.3 刚体定轴转动定律的应用,【解】分别对m1,m2,m分析,因绳不伸长，有,a1=a2=a,因绳轻，有,对m1有,对 m2有,
6、m2g-T2=m2 a-（2）,T1-m1g-=m1 a-（1）,对滑轮 m 由转动方程,-（3）,再从运动学关系上有,联立四式解得：,-（4）,当不计滑轮质量和摩擦力矩时:,（与中学作过的一致！）,m=0,Mf=0，,有,讨论,【解】（1）建立坐标系，分割质量元。重力矩为：,【例9】质量为m,长为L的均质细棒,转轴在O点,今使棒从静止开始由水平位置绕O点转动,求:（1）下摆到角时，细棒所受的重力矩;（2）水平位置的角速度和角加速度;（2）垂直位置时的角速度和角加速度。,x,据质心定义,得,即,(2)在水平位置时,(3)任意角度时,由,积分,解得垂直位置时,得到,3.3 定轴转动刚体的功与能,
7、1.力矩的功,刚体在外力作用下绕轴转过微小角位移 d，外力作的微功为：,刚体从0位置转到 位置，外力作的功为：,注意：1)力矩功并不是新概念，只是力的功的另一种表达方式。2)内力矩对定轴转动刚体所作的功为零。,2.刚体的动能,z,刚体中第i个质元的动能：,整个刚体的转动动能：,3.定轴转动刚体的动能定理,设在外力矩 M 的作用下，刚体绕定轴发生角位移d,元功,由转动定律,有,刚体绕定轴转动的动能定理：合外力矩对刚体所做的功等于刚体转动动能的增量。,4.刚体的重力势能,刚体是个质点系，其功能原理为,-机械能守恒定律,A外+A内非=（Ek2+Ep2）-（Ek1+Ep1）,5.定轴转动刚体的功能定理
8、,若 A外=A内非=o，则 Ek+Ep=常量,【解】只有重力作功，机械能守恒。,解得,【例10】已知：均匀直杆质量为m，长为l，轴o光滑，初始静止在水平位置。求:杆下摆到角时角速度？,3.4 定轴转动刚体的角动量守恒定律,3.4.1 定轴转动刚体的角动量定理,质元 对轴的角动量为,定轴转动刚体上的所有质元都作圆周运动,刚体对轴的角动量为,得,由刚体定轴转动定律,作用在刚体上的冲量矩等于作用时间内角动量的增量,定轴转动刚体角动量定理微分形式,定轴转动刚体角动量定理积分形式,得到,3.4.2 定轴转动刚体的角动量守恒定律,当 M=0 时，则,定轴转动刚体的角动量定理,定轴转动刚体的角动量守恒定律：
9、当刚体所受的合外力矩为零时，刚体对转轴的角动量保持不变。,该定律不但适用于刚体，同样也适用于绕定轴转动的任意物体系统。,【例11】质量 m 长 l 的均匀细杆可绕过其中点处的水平光滑固定轴 0 转动，如果一质量为 m的小球以速度 竖直落到棒的一端，发生弹性碰撞（忽略轴处摩擦）求：碰后小球的速度及杆的角速度。,【解】杆的角速度肯定如图，假设小球碰后瞬时的速度 向上，如图所示。,系统：小球+杆条件：M=0 角动量守恒（轴力无力矩；小球的重力矩与碰撞的内力矩相比可以忽略）,因为弹性碰撞,动能守恒,解得,讨论,1.0 对,2.当 m 3m 时,v 0（向上）,当 m=3m 时,v=0（瞬时静止）,当
10、m 3m 时,v 0（向下）,【例12】质量为m、半径为R 的圆盘，以初角速度0在摩擦系数为 的水平面上绕质心轴转动，问：圆盘转动几圈后静止？,【解】分割圆盘为圆环,由动能定理,【例13】如图，光滑的水平桌面上有一小物体，一细绳的一端联结此物体，另一端穿过桌子上的小孔。物体原来以一定的角速度在桌面上以小孔为圆心作圆周运动，在小孔下方缓慢地往下拉绳的过程中，物体的动量、动能以及对小孔的角动量是否变化？为什么？,【解】物体的动能变化，物体在做离小孔的距离不断缩小的螺旋线运动，绳对物体的拉力方向与物体位移方向小于90o，拉力作正功。,物体的动量变化，绳子拉力的冲量在改变物体的动量。,物体对小孔的角动量不变，因为物体受绳子拉力的方向始终通过小孔，所以物体对小孔的力矩为0。,
