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1、学案3 推理与证明,1.推理在高考中虽然很少刻意去考查，但实际上对推理的考查无处不在.从近几年的高考题来看，大部分题目主要考查命题转换、逻辑分析和推理能力，证明题是高考中常考的题型之一.2.综合法、分析法是证明不等式常用的方法,不等式的证明近年来高考虽然淡化了单纯的证明题，但是以能力立意的、与证明有关的综合题却频繁出现，常常与函数、数列、三角等综合，考查逻辑推理能力，是高考考查的一项重要内容.3.反证法在高考中虽很少单独命题，但是有时运用反证法的证题思路判断、分析命题有独到之处.4.数学归纳法作为一种重要的数学思想方法，在高考中有可能单独命题，更可能的是通过不同的形式来考查“归纳猜想证明”这一
2、基本思想方法.,1.由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳）.简言之，归纳推理是、.,由部分到整体,由个别到一般的推理,2.由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）.简言之，类比推理是.3.和 都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理.4.从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理.简言之，演绎推理 是.5.“三段论”是演绎推
3、理的一般模式，包括：,由特殊到特殊的推理,归纳推理,类比推理,由一般到特殊的推理,（1）已知的一般原理；（2）所研究的特殊情况；（3）根据一般原理，对特殊情况做出的判断.6.一般地,利用已知条件和某些数学、等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法.7.一般地,从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为 为止,这种证明方法叫做分析法.,大前提,小前提,结论,定义,公理,定理,判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）,8.反证法是间接证明的一种基本方法.一般地，假设 不成立(即在原命题的条件下,结论不成立)，经
4、过正确的推理，最后得出，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.,原命题,矛盾,【分析】根据已知条件和递推关系，先求出数列的前几项，然后总结归纳其中的规律，写出其通项,考点1 归纳推理,在数列an中，a1=1,an+1=(nN+),猜想这个数列的通项公式.,【解析】an中，a1=1,a2=a3=a4=,所以猜想an的通项公式an=.证明如下：因为a1=1,an+1=,所以 即 所以数列 是以=1为首项,公差为 的等差数列.所以.所以通项公式an=.,【评析】通过归纳推理得出的结论可能正确，也可能不正确，它的正确性需通过严格的证明，猜想所得结论即可用演绎推理给出证明.虽
5、然由归纳推理所得出的结论未必是正确的，但它所具有的由特殊到一般、由具体到抽象的认识过程，对于数学的发现、科学的发明是十分有用的.通过观察实验，对有限的资料作归纳整理，提出带有规律性的猜想，也是数学研究的基本方法之一，归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）.,在ABC中，ABAC于A,ADBC于D，求证:，那么在四面体ABCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由.,【分析】首先利用综合法证明结论正确，然后依据直角三角形与四面体之间形状的对比猜想结论，并予以证明.,考点2 类比推理,【证明】如图所示，由
6、射影定理得AD2=BDDC,AB2=BDBC,AC2=BCDC.又BC2=AB2+AC2,猜想：类比ABAC,ADBC猜想四面体ABCD中，AB,AC,AD两两垂直,AE平面BCD.则如图，连结BE交CD于F，连结AF.ABAC，ABAD,AB平面ACD，而AF面ACD,ABAF.而RtABF中，AEBF,在RtACD中，AFCD,故猜想正确.,【评析】根据两类不同事物之间具有的某些类似（或一致）性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似（或相同）的性质，这样的推理叫类比推理（简称类比）.类比推理是由特殊到特殊的一种推理形式，类比的结论可能是真的，也可能是假的，所以类比推理属于合情推理.虽然类比
7、推理的结论可能为真，也可能为假，但是它由特殊到特殊的认识功能，对于发现新的规律和事实却十分有用.类比推理应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行对比、归纳、提出猜想.平面图形中的面积与空间图形中的体积常常是类比的两类对象.类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性;（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）.,在锐角三角形ABC中，ADBC，BEAC，D,E是垂足.求证：AB的中点M到D,E的距离相等.,考点3 演绎推理,【分析】解答本题需要利用直角三角形斜边上的中 线性质作为大前提.,【证明】（1）因为有一个内角是直角的三角形是直角 三角形
8、大前提在ABD中，ADBC，即ADB=90 小前提所以ABD是直角三角形 结论（2）因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 大前提 而M是RtABD斜边AB的中点，DM是斜边上的中线 小前提所以DM=AB.同理EM=AB.所以DM=EM.,【评析】演绎推理的主要形式就是由大前提、小前提推出结论的三段论推理.三段论推理的依据用集合论的观点来讲就是：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性质P.三段论的公式中包含三个判断：第一个判断称为大前提，它提供了一个一般的原理；第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况;这两个判断联合起来，揭示了一般原理和特殊情况的内在联系,从
9、而产生了第三个判断结论.演绎推理是一种必然性推理,演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系.因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但错误的前提可能导致错误的结论.,证明:根据题意,0,0,0+,又tan=,tan=,tan(+)=0+,+=.,如图是三个拼在一起的正方形，求证：+=.,【证明】要证 只要证 a0,故只要证,考点4 分析综合法证明,已知a0,求证:,【分析】所给条件简单,所证结论复杂,一般采用分析法.,从而只要证只要证 即,而上述不等式显然成立,故原不等式成立.,即,【评析】分析法是数学中常用到的一种直接证明方法,就证明程序来讲,它是一种从未知到已知(从结论
10、到题设)的逻辑推理方法.具体地说,即先假设所要证明的结论是正确的,由此逐步推出保证此结论成立的充分条件,而当这些判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等）或要证命题的已知条件时命题得证.,已知a,b,c0.求证：a3+b3+c3(a2+b2+c2)(a+b+c).,【证明】a2+b22ab,a0,b0,(a2+b2)(a+b)2ab(a+b).a3+b3+a2b+ab22ab(a+b)=2a2b+2ab2.a3+b3a2b+ab2.同理:b3+c3b2c+bc2,a3+c3a2c+ac2.将三式相加得:2(a3+b3+c3)a2b+ab2+bc2+b2c+a2c+ac2,3(a3
11、+b3+c3)(a3+a2b+a2c)+(b3+b2a+b2c)+(c3+c2a+c2b)=(a+b+c)(a2+b2+c2).a3+b3+c3(a2+b2+c2)(a+b+c).,【分析】本题结论以“至少”形式出现，从正面思考有多种形式，不易入手，故可用反证法加以证明.,考点5 反证法,若x,y都是正实数，且x+y2,求证：或 中至少有一个成立.,【证明】假设,都不成立,则有 和 同时成立.因为x0且y0，所以1+x2y,且1+y2x.两式相加，得2+x+y2x+2y.所以x+y2.这与已知条件x+y2矛盾.因此,中至少有一个成立.,【评析】（1）当一个命题的结论是以“至多”“至少”“唯一”
12、或以否定形式出现时，宜用反证法来证.反证法关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等方面.反证法常常是解决某些“疑难”问题的有力工具，是数学证明中的一件有力武器.（2）利用反证法证明问题时，要注意与之矛盾的定理不能是用本题的结论证明的定理;否则，将出现循环论证的错误.,1.(1)合情推理主要包括归纳推理和类比推理.数学研究中,在得到一个新结论前,合情推理能帮助猜测和发现结论,在证明一个数学结论之前,合情推理常常能为证明提供思路与方向.(2)合情推理的过程概括为:从具体问题出发 观察、分析、比较、联想 归纳、类比 提出猜想(3)演绎推
13、理是从一般的原理出发，推出某个特殊情况的结论的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段论.数学问题的证明主要通过演绎推理来进行.(4)合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定真.但合情推理常常帮助我们猜测和发现新的规律,为我们提供证明的思路和方法.而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下).,(5)在数学中,证明命题的正确性都是使用演绎推理,而合情推理不能用作证明.2.(1)分析法的特点是:从未知看需知,逐步靠拢已知.(2)综合法的特点是:从已知看可知,逐步推出未知.(3)分析法和综合法各有优缺点.分析法思考起来比较自然,容易寻找到解题的思路和方法,缺点
14、是思路逆行,叙述较繁;综合法从条件推出结论,较简捷地解决问题,但不便于思考.实际证题时常常两法兼用,先用分析法探索证明途径,然后再用综合法叙述出来.(4)应用反证法证明数学命题,一般分下面几个步骤:第一步:分清命题“pq”的条件和结论；第二步：作出与命题结论q相矛盾的假定q;第三步：由p和q出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果；第四步：断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定q不真，于是原结论q成立，从而间接地证明了命题pq为真.,第三步所说的矛盾结果,通常是指推出的结果与已知公理矛盾、与已知定义矛盾、与已知定理矛盾、与已知条件矛盾、与临时假定矛盾以及自相矛盾等各种情况.,1.归纳猜想是一种重要的思维方法，但结果的正确性还需进一步证明.2.分析法要注意叙述的形式：要证A，只要证B，B应是A成立的充分条件.3.综合法证明不等式是“由因导果”，分析法证明不等式是“执果索因”.它们是两种思路截然相反的证明方法.分析法便于寻找解题思路，而综合法便于叙述，因此注意两种方法在解题中的联合运用.,祝同学们学习上天天有进步！,
