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1、例7 已知结构如图示，梁AB为刚性，钢杆CD直径 d=20 mm，许用应力=160 MPa，F=25 kN。求：(1)校核CD杆的强度；(2)确定结构的许可载荷 F；(3)若F=50 kN，设计CD杆的直径。,解：(1)校核CD杆的强度,CD杆轴力FNCD：,SMA=0 FNCD2a F 3a=0,FNCD=1.5F,CD杆应力 CD：,CD CD杆强度足够。,(2)确定结构的许可载荷 F,F=33.5 kN,(3)若 F=50 kN，设计CD杆的直径。,圆整，取直径 d=25 mm。,例8 图示结构，BC杆 BC=160 MPa，AC杆 AC=100 MPa，两杆横截面面积均为 A=2 cm
2、2。求：结构的许可载荷 F。,解：(1)各杆轴力,FNAC=0.518F FNBC=0.732F,F 3.86 104 N=38.6 kN,SFx=0 FNBC sin30 FNAC sin 45=0,SFy=0 FNBC cos30 FNAC cos 45 F=0,(2)由AC杆强度条件：,0.518F A AC=2104 100 106,F 4.37104 N=43.7 kN,(3)由BC杆强度条件：,0.732F A BC=2104 160 106,(4)需两杆同时满足强度条件：应取较小值，F=38.6 kN,87 胡克定律与拉压杆的变形,一、拉压杆的轴向变形与胡克定律,轴向拉伸和压缩试
3、验表明：,取比例系数 E：s=Ee 称为胡克定律。,比例系数 E 称为材料的弹性摸量，单位：GPa 1GPa=109 Pa,由s e 曲线可知：,E 为图中直线 OA 段的斜率，即,E，材料受力后越不易变形，是用来衡量材料抵抗弹性变形能力的一个指标。,碳钢：E=196 210 GPa。,在比例极限s p内，正应力与正应变成正比，即 s e,轴向拉伸试验中：,在 F 作用下：,杆的轴向伸长变形量为：,得：,Dl=l1 l,此时：,杆沿轴向的正应变为：,代入胡克定律 s=Ee,整理：,为胡克定律的另一表达形式，可用来计算杆沿轴向的弹性变形。,l l1，b b1,杆长l、横向尺寸b,可知：Dl 与
4、FN、l 成正比，与 A 成反比。,另外：Dl 与 FN 符号相同，轴向拉伸时，杆伸长，Dl 为正；轴向压缩时，杆缩短，Dl 为负。,当 FN、l 一定时，EA，Dl，,称 EA 为杆横截面的拉压刚度，表示轴向拉压时杆抵抗弹性 变形的能力。,当杆为几段不同截面组成，或各段轴力不同时，杆的变形为：,轴向拉伸时，杆横向尺寸减小：b b1 Db=b1 b,试验表明：在 s sp 时，材料的横向正应变与轴向正应变之 比的绝对值为一常数。,即：,横向正应变：,可知：轴向拉伸时 e 为负，轴向压缩时e 为正。,称 m 为泊松比(横向变形系数)，无量纲。,m 也反映了材料所固有的弹性性能。,低碳钢：m=0.
5、25 0.33,几种常用材料的弹性模量 E 与泊松比 m 的数值见表8-1，P143。,表 8-1 材料的弹性模量与泊松比,例9 变截面杆受力如图示。已知 F1=50 kN，F2=20 kN，l1=120 mm，l2=l3=100 mm，A1=A2=500 mm2，A3=250 mm2，E=200 GPa。试求各段杆的变形及杆的总变形。,AC段：FN1=30 kN(压),解：1)计算各段轴力,2)计算各段变形,CD段：FN2=20 kN(拉),AB段：,CD段：,DB段：FN3=20 kN(拉),DB段：,例9 变截面杆受力如图示。已知 F1=50 kN，F2=20 kN，l1=120 mm，
6、l2=l3=100 mm，A1=A2=500 mm2，A3=250 mm2，E=200 GPa。试求各段杆的变形及杆的总变形。,3)杆的总变形,杆的总变形为,例10 结构如图示，已知lAC、lBC、AAC、ABC、F、E、a。求：图中节点C的位移。,解：1)计算各杆轴力,AC杆：FNAC(拉力),BC杆：FNBC(压力),2)计算各杆变形,2)计算节点C的位移：,过 C1 作 AC1 的垂线，,过 C2 作 BC2 的垂线，,交点即为变形后C点的位置C4(近似)。,实际位置为 C，小变形条件下误差很小。,例10 结构如图示，已知lAC、lBC、AAC、ABC、F、E、a。求：图中节点C的位移。
7、,DlAC,C1,C3,C4,O,C的水平位移：,C2,DlBC,C的垂直位移：,节点C的位移：,解题方法：考虑三个方面,静力平衡条件；物理关系：胡克定律(变形公式)；变形几何关系：小变形条件。,概括为：平衡求内力；沿杆绘变形，垂线代圆弧，交点得位移。,注意：各杆变形应与其受力情况相对应。,静不定问题的处理方法：,88 简单拉压静不定问题,静定问题：未知力数 静力平衡方程数,静不定问题(超静定问题)：未知力数 静力平衡方程数,此时仅由静力平衡方程不能求解全部未知量，必须建立补充方程，与静力平衡方程联立求解。,一、静定与静不定问题,未知力数 静力平衡方程数=静不定问题的次数(阶数),由数学知识可
8、知：n 次静不定问题必须建立 n 个补充方程。,二、简单静不定问题分析举例,除静力平衡方程外须寻求其他条件。,材料力学中从研究变形固体的变形出发，找出变形与约束的关系(变形协调方程)、变形与受力的关系(物理方程)，建立变形补充方程，与静力平衡方程联立求解。,例11 设横梁为刚性梁，杆 1、2 长度相同为 l，横截面面积分别 为A1、A2，弹性模量分别为 E1、E2，F、a 已知。试求：杆 1、2的轴力。,解：1)计算各杆轴力,SMA=0 FN1a+FN2 2a F 2a=0,FN1+2FN2 2F=0(a),2)变形几何关系,Dl2=2Dl1(b),3)物理关系,代入(b),例11 设横梁为刚
9、性梁，杆 1、2 长度相同为 l，横截面面积分别 为A1、A2，弹性模量分别为 E1、E2，F、a 已知。试求：杆 1、2的轴力。,解：1)计算各杆轴力,SMA=0 FN1a+FN2 2a F 2a=0,FN1+2FN2 2F=0(a),代入(b),联立(a)(c)解之,注意：静不定问题中各杆轴与各杆的拉压刚度有关。,静不定问题的解题方法：,1.静力平衡条件静力平衡方程；,2.变形几何关系变形谐调条件；,3.物理关系胡克定律。,变形补充方程,解题步骤：,1.由静力平衡条件列出应有的静力平衡方程；,2.根据变形谐调条件列出变形几何方程；,3.根据胡克定律(或其他物理关系)建立物理方程；,4.将物
10、理方程代入变形几何方程得补充方程，与静力平 衡方程联立求解。,解题关键：又变形谐调条件建立变形几何方程。,注意：假设的各杆轴力必须与变形关系图中各杆的变形相一致。,例12 杆 1、2、3 用铰链连接如图，各杆长为：l1=l2=l、l3，各杆 面积为A1=A2=A、A3；各杆弹性模量为：E1=E2=E、E3。F、a 已知。求各杆的轴力。,解：1)计算各杆轴力,SFx=0 FN1sina+FN2sina=0,SFy=0 2FN1cosa+FN3 F=0(a),FN1=FN2,2)变形几何关系,Dl1=Dl3 cosa(b),3)物理关系,(c),代入(b),联立(a)(c)解之,连接件：在构件连接
11、处起连接作用的零部件，称为连接件。,如：螺栓连接：,89 连接部分的强度计算,例如：螺栓、铆钉、销、键等。,连接件虽小，但起着传递载荷的作用。,铆钉连接：,工作时传递横向载荷。,工作时传递横向载荷。,此外剪板机剪断钢板：,钢板受横向剪切力作用。,若工作时连接件失效，则会影响机器或结构的正常工作，甚至会造成灾难性的严重后果。,键连接,工作时传递转矩。,连接件的受力和变形一般较复杂，难以进行精确分析。,工程上根据实践经验，采用简化的实用方法进行计算。,一方面对连接件的受力和应力分布进行简化，计算其“名义”应力；同时对同类的连接件进行破坏试验，确定材料的极限应力，从而建立有关的强度条件，进行实用计算
12、。,键受力：,1.剪切的概念及特点,以铆钉为例：,受力特点：构件受两组大小相等、方向相反、作用线相距很近 的平行力系作用。,变形特点：构件沿两平行力系间的相 邻横截面发生相对错动。,一、剪切与剪切强度条件,发生相对错动的横截面称为剪切面。,受力过大时铆钉沿剪切面被剪断。,同时存在两处剪切面时称为双剪。,2.剪切时的内力,截面法：,剪切面上内力 FS，与截面相切。,SFx=0 F+FS=0,FS 称为剪力，为一分布力系。,FS=F,此外剪切时常伴有挤压作用。,挤压：一种局部受压现象。,3.剪切时的应力,剪力FS 位于截面内，组成 FS 的应力也位于截面内。,假定：剪切面上的切应力均匀分布。,剪切
13、面上存在切应力 t。,t 称为名义切应力(平均切应力)。,As为剪切面的面积。,注意：剪切面与剪力平行。,4.剪切强度条件,由剪断试验测定剪断时的载荷Fb，,考虑安全因数，得剪切许用切应力 t：,得材料的剪切极限切应力 t b：,剪切强度条件,由剪切强度条件可进行三种类型的剪切强度计算。,常用材料的剪切许用切应力可查阅有关资料。,校核强度,截面设计,确定许可载荷,挤压的概念及特点,挤压：连接件中受剪切的同时发生的局 部受压现象。,在连接件接触表面局部受压处的力称挤压力 Fbs。,当挤压应力过大时会引起挤压破坏。,二、挤压与挤压强度条件,如铆钉和孔被挤压产生显著的塑性变形、压溃，使连接松动，发生
14、失效。,由挤压力引起的应力称为挤压应力 sbs。,挤压应力只分布于接触面的附近区域，在接触面上的分布也比较复杂，工程中采取简化的实用方法进行计算。,假定：挤压面上的挤压应力均匀分布。,Fbs为挤压力，Abs为挤压面的面积。,挤压强度条件：,sbs为材料的许用挤压应力，可查阅有关设计手册。,由挤压强度条件可解决三种类型的挤压强度计算问题。,挤压面面积 Abs的计算：根据接触面的情况而定。,校核强度,截面设计,确定许可载荷,接触面为平面：如平键。,挤压面面积 Abs 按接触面实际面积计算，即,接触面为圆柱面的一部分：如螺栓、铆钉、销等。,挤压应力的分布为：,挤压应力的最大值位于接触面的中点，,计算
15、中以直径平面面积ABCD作为挤压面的面积：,所得挤压应力数值与接触面上实际最大应力值大致相等。,注意：挤压面面积与挤压力垂直。,分析：,例13 一铆钉连接如图示，受力F=110 kN，钢板厚度为 d=1cm，宽度 b=8.5 cm，许用正应力为=160 MPa，铆钉的直 径 d=1.6 cm，许用切应力为=140 MPa，许用挤压应力 为 bs=320 MPa。试校核铆钉连接的强度。,可能的破坏形式有：,铆钉沿剪切面剪切破坏；,铆钉和钢板挤压破坏；,钢板沿1-1截面被拉断；,钢板沿2-2截面被剪断，一般较少见。,解：1)铆钉剪切强度,例13 一铆钉连接如图示，受力F=28 kN，钢板厚度为 d
16、=1cm，宽度 b=8.5 cm，许用正应力为=160 MPa，铆钉的直 径 d=1.6 cm，许用切应力为=140 MPa，许用挤压应力 为 bs=320 MPa。试校核铆钉连接的强度。,2)挤压强度,剪切强度满足。,bs bs 挤压强度满足。,3)钢板拉伸强度,例13 一铆钉连接如图示，受力F=28 kN，钢板厚度为 d=1cm，宽度 b=8.5 cm，许用正应力为=160 MPa，铆钉的直 径 d=1.6 cm，许用切应力为=140 MPa，许用挤压应力 为 bs=320 MPa。试校核铆钉连接的强度。,拉伸强度满足。,综上，铆钉连接安全。,例14 木榫接头如图所示，a=b=12 cm，
17、h=35 cm，c=4.5 cm,F=40 kN。试求接头的切应力和挤压应力。,如图示：,解：1)剪切面、挤压面,2)切应力,3)挤压应力,AS=bh Abs=bc,解：1)键的受力分析如图,例15 齿轮与轴由平键(bhl=2012100)连接，传递的转矩 M=2 kNm，轴直径 d=70 mm，键的许用切应力=60 MPa，许用挤压应力bs=100 MPa。试校核键的强度。,SMO=0 F d/2 M=0,2)键的剪切强度,例15 齿轮与轴由平键(bhl=2012100)连接，传递的转矩 M=2 kNm，轴直径 d=70 mm，键的许用切应力=60 MPa，许用挤压应力bs=100 MPa。
18、试校核键的强度。,3)键的挤压强度,键满足强度 要求。,例16 齿轮与轴由平键(b=16 mm，h=10mm)连接，传递的扭矩 M=1600 Nm，轴的直径 d=50 mm，键的许用切应力为=80 MPa，许用挤压应力 bs=240 MPa。试设计键的长度 l。,解：1)键的受力分析如图,SMO=0 F d/2 M=0,例16 齿轮与轴由平键(b=16 mm，h=10mm)连接，传递的扭矩 M=1600 Nm，轴的直径 d=50 mm，键的许用切应力为=80 MPa，许用挤压应力 bs=240 MPa。试设计键的长度 l。,2)由键剪切强度条件,例16 齿轮与轴由平键(b=16 mm，h=10
19、mm)连接，传递的扭矩 M=1600 Nm，轴的直径 d=50 mm，键的许用切应力为=80 MPa，许用挤压应力 bs=240 MPa。试设计键的长度 l。,3)由键挤压强度条件,应 l=53.3 mm，圆整，取 l=55 mm,受力分析如图：,例17 铆钉连接如图示，受力F=110kN，已知钢板厚度 t=1 cm，宽度 b=8.5 cm，许用应力为=160 MPa；铆钉直径 d=1.6 cm，许用剪应力=140 MPa，许用挤压应力 bs=320 MPa，试校核铆钉连接的强度。,假定每个铆钉受力相等。,例17 铆钉连接如图示，受力F=110kN，已知钢板厚度 t=1 cm，宽度 b=8.5
20、 cm，许用应力为=160 MPa；铆钉直径 d=1.6 cm，许用剪应力=140 MPa，许用挤压应力 bs=320 MPa，试校核铆钉连接的强度。,分析：,可能的破坏形式有：,铆钉沿剪切面剪切破坏；,铆钉和钢板挤压破坏；,钢板沿截面2-2或截面3-3被拉断；,解：1)键的剪切强度,2)键的挤压强度,截面3-3：FN3=F,综上，铆钉连接安全。,截面2-2 和3-3 为危险面：,截面2-2：,3)钢板的拉伸强度,例18 已知钢板厚度 t=10 mm，剪切强度极限为tb=300 MPa。现需在钢板上冲出直径 d=25 mm的孔，求冲剪力Fb数值。,分析：,破坏条件为：t t b,解：,Fb t bp d t=300 106p 10 25 106=235619 N=235.6 kN,
