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1、工程力学（C）,北京理工大学理学院力学系 韩斌,(35),（下册）,19.3 动能定理,1.质点的动能定理,动能定理质点或质点系的动能改变量与作用力的功之间的数量关系。,由牛顿第二定律有,（作用于质点上的合力 的元功）,质点动能的微分等于作用于质点上的合力的元功,两边点乘,或写为,若质点从，沿路径L从位置1位置2，则有：,质点在某一运动过程中动能的改变量等于作用于质点上的合力在同一运动过程中所作的功。,2.质点系的动能定理,对质点系中每个质点，都有式(19.21)成立:,质点系动能的微分等于作用于质点系上的全部力（外力和内力）的元功的代数和,设在时间 的过程中，质点系发生了某一运动，,为运动过
2、程中质点系的所有外力所作的功；,为运动过程中质点系的所有内力所作的功，,对式(19.23)积分得到：,质点系的动能在某一运动过程中的改变量等于作用于质点系的所有外力和内力在同一运动过程中所作的功的代数和,以上式中右端的功是全部外力和全部内力的功,一般，系统的内力总是成对（大小相等，方向相反）出现，故内力作功之和为零；,但也有成对的内力作功之和不为零，如：,系统内的弹簧力，摩擦力等。,3.质点系的力之功的计算（复习上册8.3）,（1）重力的功,重力的元功：,从位置1 到位置2 重力作的有限功：,（2）弹性力的功,伸长量,弹簧刚度系数k，原长,弹性力的元功：,从位置1 到位置2，弹性力作的有限功：
3、,（3）约束力的功,对于理想约束，约束力均不作功（如：固定光滑曲面约束，不可伸长柔绳的约束，光滑固定铰支座，光滑的中间铰，纯滚动时接触点的摩擦力和法向反力）。,（4）作用在刚体上的主动力系的功,设刚体受力系 作用，作平面运动,元功和有限功的计算方法 1：,元功和有限功的计算方法 2：,任选A点,注意：由于速度瞬心不固定，上式一般不可积分得出有限功。,若刚体平移，有：,若刚体绕某垂直于运动平面的 z 轴定轴转动，有：,（5）系统只受有势力作功时,只受有势力（重力、弹性力），系统存在势能 V：,动能定理的微分形式：,故,注意：系统的势能数值与势能零点有关，故写出系统的势能时应指明所选取的势能零点。
4、,19.4 动能定理的应用,动能定理,（代数方程）,（1）对一个对象只能列出一个代数方程,求解一个未知量,单自由度系统可直接解出，多自由度系统必须与其他定理联立,（2）可解问题：,动能定理积分形式,动能定理微分形式,（1）分析系统受力时，重点分析系统中全部作功的力（不要忘记弹性力），略去不作功的力（如理想约束的约束力）。,例如：定轴转动圆盘，受主动力偶 作用，时静止，求 时的角速度。,（3）若求系统中某点的加速度或某刚体的角加速度，必须用动能定理的微分形式,（4）系统的动能是系统相对于惯性系的动能，动能定理式中各速度、角速度量均为绝对速度、绝对角速度。,例 题 19-5,I9 动能定理,例题,
5、图示滑轮系统的动、定滑轮均为半径R的均质圆盘，重为P。滑轮上绕有质量忽略不计且不可伸长的细绳，其一端固定在A处，另一端接在一刚性系数为k的弹簧上。设系统开始处于静止，弹簧并未变形。求：动滑轮质心c下落距离s 时，动滑轮轮心的速度。（滑轮轴心摩擦忽略不计）,解：,研究对象为滑轮系统,所受的约束为理想约束,运动状态：动滑轮作一般平面运动，定滑轮作定轴转动,应用动能定理，计算动能,作功的力：重力，弹性力,例 题 19-5,I9 动能定理,例题,计算力的功：,根据系统动能定理,例 题 19-6,I9 动能定理,例题,解：,研究对象：杆,运动状态为定轴转动,受重力和弹性力作用,约束为理想约束，,求动能，
6、位置1：杆水平，位置2：杆铅垂,图示均质细直杆质量M，长为L，绕其一端在铅垂平面内转动，其中点由一刚性系数为k 的弹簧挂住，弹簧原长为L。开始时杆静止地处于水平位置。求：杆转动到铅垂位置时其质心C的速度。（不计轴承的摩檫）,例 题 19-6,I9 动能定理,例题,计算主动力所作的功,应用刚体的动能定理，有,例 题 19-7,I9 动能定理,例题,图示放置于倾角为 的固定斜面上的质量为、半径为 的均质圆盘，其中心A系有一根一端固定，并与斜面平行的弹簧，同时与一根绕在质量为，半径为 的鼓轮B上的张紧绳索相连。在鼓轮上作用一力偶矩为 的常力偶，使系统由静止开始运动，斜面足够粗糙，圆盘A沿斜面向上作纯
7、滚动。已知鼓轮对轮心B的回转半径为，弹簧的刚度系数为，且初始时弹簧为原长。若不计弹簧、绳索的质量及轴承B处摩擦，试求鼓轮转过 时，圆盘的角速度和角加速度的大小。,例 题 19-7,I9 动能定理,例题,解：,1.受力及运动状态分析,（1）初始时系统的动能为,系统为圆盘A+鼓轮B+弹簧，,各处约束均为理想约束，,作功的力：,力偶M，A盘重力，弹性力，,系统1个自由度,以鼓轮B转过的角度 为系统的广义坐标。,圆盘A纯滚动，有：,鼓轮B角速度为：,又,例 题 19-7,I9 动能定理,例题,（2）当鼓轮转过 角时：,系统的动能为,2.外力功,例 题 19-7,I9 动能定理,例题,3.由动能定理的积
8、分形式有,当 时：,例 题 19-7,I9 动能定理,例题,4.对积分形式的动能定理两边求导：,(1),对任意 角成立,例 题 19-7,I9 动能定理,例题,本题提示：,1.求加速度或角加速度，用微分形式的动能定理时，应在一般位置写出系统的动能再求导。,2.对一般位置的动能 T 求导，可有两种方式：,(1)将T表达为系统的广义坐标的函数后再求导。,T与广义坐标关系简单时。,(2)将T表达为系统中各部分速度或角速度的函数后求导，求导后会出现各点或各刚体的加速度、角加速度，,运用运动学知识找出其关系后再代入求解。,T的表达式较复杂时。,例 题 19-7,I9 动能定理,例题,如本例，任意时刻系统
9、的动能为,求导：,例 题 19-8,I9 动能定理,例题,已知：铅垂墙面光滑，圆柱作纯滚动。当=45时系统由静止开始运动。求：此瞬时圆柱质心A的加速度。,例 题 19-8,I9 动能定理,例题,解：,1.分析,运动学关系：,例 题 19-8,I9 动能定理,例题,由动能定理微分形式得：,在初始瞬时有：=45，vA=0，故有：,例 题 19-8,I9 动能定理,例题,由动能定理微分形式也能得到：,但此方法是否正确？,如先将=45代入动能表达式后再微分，即：,例 题 19-8,I9 动能定理,例题,讨论：,例 题 19-9,I9 动能定理,例题,图示系统由杆OA，绳ACB，物块B构成，初始用手扶杆
10、使OA在水平位置，系统静止，放手后，求杆OA到达铅垂位置时，物块B的速度，设杆OA的质量为M=3m，物块B的质量为m，OC间的距离L=4a，杆OA长l=3a，（不计定滑轮的质量）。,例 题 19-9,I9 动能定理,例题,解：,系统为单自由度，,杆OA为定轴转动：,块B为平动：,1.求出运动学量之间关系,且,注意：,绳长不变，有,初始时：,例 题 19-9,I9 动能定理,例题,求导：,令,即,求导：,在三角形COA中，由余弦定理：,例 题 19-9,I9 动能定理,例题,任意时刻系统的动能为：,当 时，有：,当杆OA到达铅垂位置时,例 题 19-9,I9 动能定理,例题,杆OA到达铅垂位置时系统相对于初始时刻的动能改变量为：,例 题 19-9,I9 动能定理,例题,求有限功,代入动能定理,（）,例 题 19-9,I9 动能定理,例题,此题也可用机械能守恒定律：,取重力势能零点为各物体的初始位置，则,同样可得：,（）,例 题 19-9,I9 动能定理,例题,此题易错之处：,认为A点的速度,实际上，绳子的CA段的方位是不断变化的,应有：,
