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1、八年级数学(下)第八章 证明(三),8.1.平行四边形(1),直观是把“双刃剑”,直观是重要的,但它有时也会骗人,你还能找到这样的例子吗?,要判断一个数学结论是否正确,仅仅依靠经验,观察,或实验是不够的,必需一步一步,有根有据地进行推理.,每个命题都由条件(condition)和结论(conclusion)两部分组成.条件是已知事项,结论是由已事项推断出的事项.一般地,命题可以写成“如果,那么”的形式,其中“如果”引出的部分是条件,“那么”引出的部分是结论.正确的命题称为真命题(true statement),不正确的的命题称为假命题(false statement).要说明一个命题是假命题,
2、通常可以举出一个例子,使之具备命题的条件,而不具备命题的结论,这种例子称为反例(counter example).,“原名”知多少,定义:对名称和术语的含义加以描述,作出明确的规定,也就是给出它们的定义(definition).,命题:判断一件事情的句子,叫做命题(statement).,原名:某些数学名词称为原名.,公理:公认的真命题称为公理(axiom).证明:除了公理外,其它真命题的正确性都通过推理的方法证实.推理的过程称为证明.定理:经过证明的真命题称为定理(theorem).,推论:由一个公理或定理直接推出的定理,叫做这个公理或定理的推论(corollary).推论可以当作定理使用.
3、,“原名”知多少,公理:公认的真命题称为公理(axiom).证明:除了公理外,其它真命题的正确性都通过推理的方法证实.推理的过程称为证明.定理:经过证明的真命题称为定理(theorem).,本套教材选用如下命题作为公理:1.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行；2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等；3.两边夹角对应相等的两个三角形全等；4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等；5.三边对应相等的两个三角形全等；6.全等三角形的对应边相等,对应角相等.,“原名”知多少,平行线的判定,公理:同位角相等,两直线平行.1=2,ab.,判定定理1:内错角相等,两直线平行.1=
4、2,ab.,判定定理2:同旁内角互补,两直线平行.1+2=180。,ab.,这里的结论,以后可以直接运用.,平行线的性质,公理:两直线平行,同位角相等.ab,1=2.,性质定理1:两直线平行,内错角相等.ab,1=2.,性质定理2:两直线平行,同旁内角互补.ab,1+2=180。.,这里的结论,以后可以直接运用.,三角形内角和定理,三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于1800.ABC中，A+B+C=180。.,A+B+C=180。的几种变形:A=180。(B+C).B=180。(A+C).C=180。(A+B).A+B=180。-C.B+C=180。-A.A+C=180。-B.,这里的结论
5、,以后可以直接运用.,三角形的外角,三角形内角和定理的推论:推论1:三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.推论2:三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.推论3:直角三角形的两锐角互余.,ABC中:1=2+3；12，13.,这个结论以后可以直接运用.,驶向胜利的彼岸,学好几何标志是会“证明”,证明命题的一般步骤:,(1)理解题意:分清命题的条件(已知),结论(求证),(2)根据题意,画出图形；,(3)结合图形,用符号语言写出“已知”和“求证”；,(4)分析题意,探索证明思路(由“因”导“果”,执“果”索“因”.)；,(5)依据思路,运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程；,
6、(6)检查表达过程是否正确,完善.,等腰三角形性质,定理:等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).,如图,在ABC中,AB=AC(已知),B=C(等角对等边).,等腰三角形性质,推论:等腰三角形顶角的平分线,底边上的中线,底边上的高互相重合(三线合一).,如图,在ABC中,AB=AC,1=2(已知).BD=CD,ADBC（三线合一）.如图,在ABC中,AB=AC,BD=CD(已知).1=2,ADBC（三线合一）.如图,在ABC中,AB=AC,ADBC(已知).BD=CD,1=2（三线合一）,轮换条件1=2,BD=CD,ADBC可得三线合一的三种不同形式的运用.,等腰三角形性质,等边三角形的三个
7、角都相等并且每个角都等于600.,如图,在ABC中,AB=AC=BC(已知).A=B=C=600（等边三角形的三个角都相等并且每个角都等于600）.,等腰三角形性质,等腰三角形两底角的平分线相等.等腰三角形两腰上的中线相等.等腰三角形两腰上的高相等.,如图,在ABC中,AB=AC=BC(已知).A=B=C=600（等边三角形的三个角都相等并且每个角都等于600）.,等腰三角形的判定,定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）.,在ABC中BC（已知），AB=AC（等角对等边）.,反证法,在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义，公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明
8、命题的结论一定成立.这种证明方法称为反证法(reduction to absurdity),用反证法证明的一般步骤:1.假设:先假设命题的结论不成立；2.归谬:从这个假设出发,应用正确的推论方法,得出与定义，公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果；3.结论:由矛盾的结果判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确.,反证法是一种重要的数学证明方法.在解决某些问题时常常会有出人意料的作用.,等边三角形的判定,定理:有一个角是600的等腰三角形是等边三角形.,在ABC中,AB=AC,B=600(已知).ABC是等边三角形(有一个角是600的等腰三角形是等边三角形).,等边三角形的判定,定理:三个角都相等的
9、三角形是等边三角形.,在ABC中,A=B=C(已知),ABC是等边三角形(三个角都相等的三角形是等边三角形).,特殊的直角三角形的性质,定理:在直角三角形中,如果有一个锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半.,在ABC中,ACB=900,A=300.BC=AB.(在直角三角形中,300角所对的直角边等于斜边的一半).,特殊的直角三角形的性质,定理:在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么它所对的锐角等于300.,在ABC中ACB=900,BC=AB/2(已知),A=300(在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么它所对的锐角等于300).,勾股定理,定理 如果直角
10、三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理（pythagoras theorem）.,在ABC中ACB=900(已知),a2+b2=c2(直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方).,勾股定理的逆定理,定理如果三角形两边的平方和等于第三边平方,那么这个三角形是直角三角形.,在ABC中AC2+BC2=AB2(已知),ABC是直角三角形(如果三角形两边的平方和等于第三边平方,那么这个三角形是直角三角形).,命题与逆命题定理与逆定理,在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件
11、,那么这两个命题称为互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的逆命题.,如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个定理称另一个定理的逆定理.,直角三角形全等的判定定理,定理:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(斜边,直角边或HL).,如图,在ABC和ABC中,C=C=900,AC=AC,AB=AB(已知),RtABCRtABC(HL).,直角三角形全等的判定方法,直角三角形全等的判定方法:定理:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(斜边,直角边或HL).公理:三边对应相等的两个三角形全等（SSS）.公理:两边及其夹角对应相等的两个三角
12、形全等（SAS）.公理:两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）.推论:两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）.综上所述,直角三角形全等的判定条件可归纳为:一边及一个锐角对应相等的两个直角三角形全等；两边对应相等的两个直角三角形全等；切记!命题:两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.即(SSA)是一个假冒产品!,线段垂直平分线的性质,定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等.,如图,AC=BC,MNAB,P是MN上任意一点(已知),PA=PB(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等).,线段垂直平分线的性质,逆定理 到一条线段两个端点距离
13、相等的点,在这条线段的垂直平分线上.,如图,PA=PB(已知),点P在AB的垂直平分线上(到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上).,三角形的外心,定理:三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等.,如图,在ABC中,c,a,b分别是AB,BC,AC的垂直平分线(已知),c,a,b相交于一点P,且PA=PB=PC(三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等).,角平分线的性质,定理 角平分线上的点到这个角的两边距离相等.,如图,OC是AOB的平分线,P是OC上任意一点,PDOA,PEOB,垂足分别是D,E(已知)PD=PE(角平
14、分线上的点到这个角的两边距离相等).,角平分线的性质,逆定理 在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.,如图,PA=PB,PDOA,PEOB,垂足分别是D,E(已知),点P在AOB的平分线上.(在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上).,三角形的内心,定理:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等.,如图,在ABC中,BM,CN,AH分别是ABC的三条角平分线,且PDAB,PEBC,PFAC(已知),BM,CN,AH相交于一点P,且PD=PE=PF(三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等).,尺规作图,尺规作图的基本作图:作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作线段的垂直平分线(或中点)；作已知角的平分线；已知三边,两边夹角,两角夹边,斜边直角边作三角形.,尺规作图的解题格式(六步骤):已知,求作,分析,作法,证明,讨论.,知识的升华,1、我们探索过的有关四边形的性质及判定,请把你记得的知识整理；2、试着用公理和已有的定理来证明它们.祝你成功！,结束寄语,严格性之于数学家,犹如道德之于人.条理清晰，因果相应,言必有据.是初学证明者谨记和遵循的原则.,
