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1、,平面向量基本定理,复习回顾,（1）小明从A到B，再从B到C，则他两次的位移之和是：,（2）向量共线定理：,三角形法则,平行四边形法则,首尾相连，连首尾,起点相同连对角,2023年11月13日星期一,即,向量的分解,A,B,给定平面内两个不共线的向量e1,e2,可表示平面内任一向量a吗？,探究：,23.1平面向量基本定理,学习导航预习目标重点难点重点：平面向量的基本定理及其应用，两向量的夹角及垂直难点：平面向量基本定理的应用,1.平面向量基本定理(1)定理：如果e1、e2是同一平面内的两个_向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1、2，使a_(2)我们把不共线的向量e1，e2叫
2、做表示这一平面内所有向量的一组_,不共线,1e12e2,基底,做一做 1.下列关于基底的说法正确的是()平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底基底中的向量可以是零向量平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的 A B C D答案：C,非零向量,AOB,范围：向量a与b的夹角范围是_当0时a与b_当180时a与b_(2)垂直：如果a与b的夹角是_，则称a与b垂直，记作_,0，180,同向,反向,90,ab,做一做2.已知向量a与b的夹角为60，则向量a和b的夹角为_解析：如图所示，可得a与b的夹角为60.答案：60,想一想提示：不是应该是BAC的补角,如果e1，
3、e2是平面内两个不共线的向量,判断下列说法是否正确？并说明理由.e1e2(，R)可以表示平面内的所有向量；,对于平面内任一向量a，使ae1e2的实数对(，)有无穷多个；若向量1e11e2与2e12e2共线，则有且只有一个实数，使得1e11e2(2e12e2)；若实数,使得e1e20,则0.【解】由平面向量基本定理可知，是正确的,对于，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的对于，当向量1e11e2与2e12e2均为零向量，即12120时，满足条件的实数有无数个,【名师点评】两个向量能否构成基底，主要看两向量是否为非零向量且不共线此外，一个平面的
4、基底一旦确定，那么平面内任意一个向量都可以由这组基底唯一表示,【名师点评】关于基底的一个结论：设e1,e2是平面内一组基底，当1e12e20时,恒有120.,变式训练,已知|a|b|2,且a与b的夹角为60,则ab与a的夹角是_，ab与a的夹角是_,ab，aAOC30ab，aABC60.【答案】3060,【名师点评】两向量夹角的实质和求解(1)明确两向量夹角的定义，实质是从同一起点出发的两个非零向量构成的不大于平角的角，结合平面几何知识加以解决(2)求两个向量的夹角关键是利用平移的方法使两个向量起点重合,作出两个向量的夹角,按照“一作二证三算”的步骤求出,互动探究2.在本例中，若“a与b的夹角
5、为90”，其他条件不变，ab，a，ab，a的夹角应分别为_，_答案：4545,名师微博 在同一组基底下，两向量相等对应系数分别相等.【名师点评】平面向量基本定理中,实数1,2的唯一性是相对于基底e1，e2而言的.平面内任意两个不共线的向量都可作为基底,一旦选定一组基底，则给定向量沿着基底的分解是唯一的即若a是平面内的非零向量,且能表示为a1e12e2，a1e12e2，那么一定有11，22.,变式训练,2.设a，b为平面内的一组基底，试确定实数k，使得kab和akb共线解：kab和akb共线，存在实数，使得kab(akb)，,方法技巧1.用基底表示平面向量，要充分利用向量加、减法的三角形法则或平行四边形法则，同时结合实数与向量积的定义，解题时要注意解题途径的优化与组合,2.应用平面向量基本定理来证明平面几何问题的一般方法如下：一般先选取一组基底，再根据几何图形的特征应用向量的有关知识解题,失误防范1.零向量不能作为基底，两个非零向量共线时不能作为平面向量的一组基底只有平面内两个不共线的向量才可作为基底2.平面内不共线的两个向量可以作为基底，对于同一个向量，用不同基底表示时，实数对并不一定相同3.向量的夹角与多边形内角区分开,小结：,1.由平面向量基本定理知：平面内任一向量可用该平面内两个不共线向量表示，且表示方法惟一,2.会运用公式,
