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1、4.3平面向量的数量积及平面向量的应用举例,基础梳理,1两个向量的夹角(1)夹角的定义,非零,0或180,90,(2)射影的定义设是A与B的夹角，则|B|Cos叫作B在A方向上的射影|A|Cos叫作A在B方向上的射影射影是一个实数，不是线段的长度，也不是向量当0，90)时，它是正值；当(90，180时，它是负值；当_时，它是0.,90,思考探究,提示：不正确求两个向量的夹角时，两向量起点应相同，向量A与B的夹角为ABC.,2平面向量的数量积(1)向量的数量积的定义已知两个向量A和B，它们的夹角为，把|A|B|Cos叫作A与B的数量积(或内积)，记作AB，即AB|A|B|Cos.,(2)向量数量
2、积的运算律给定向量A，B，C和实数，有ABBA；(交换律)(A)B(AB)A(B)；(数乘结合律)A(BC)ABAC.(分配律),3平面向量数量积的性质已知非零向量A(A1，A2)，B(B1，B2),a1b1a2b20,课前热身,1(教材习题改编)已知A(1,2)，B(2，1)，则(AB)(AB)的值为()A0B10C10 D5解析：选A.AB(1,2)(2，1)(1,1)，AB(1,2)(2，1)(3,3)，(AB)(AB)(1,1)(3,3)330.,3若向量A(1,1)，B(x,2)，若A与B垂直，则x_.解析：A与B垂直，AB(1,1)(x,2)x20，x2.答案：2,(1)(2011
3、高考重庆卷)已知向量A(1，k)，B(2,2)，且AB与A共线，那么AB的值为()A1B2C3 D4,【名师点评】(1)求平面向量的数量积，关键在于求两向量的模和夹角这就需要充分挖掘题目中的几何属性，利用几何知识来求解(2)利用数量积求长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：|a|2a2aa；|ab|2(ab)2a22abb2.,备选例题(教师用书独具),变式训练,(2)(2011高考课标全国卷)已知A与B为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量AB与向量kAB垂直，则k_.,(2)(AB)(kAB)，(AB)(kAB)0，即k|A|2(k1)AB|B|20.(*)又A，B为两不
4、共线单位向量，(*)式可化为k1(k1)AB.若k10，则AB1，这与A，B不共线矛盾；若k10，则k1(k1)AB恒成立综上可知k1满足题意,【答案】(1)C(2)1【规律小结】(1)数量积大于0说明不共线的两向量夹角为锐角；数量积等于0说明两向量的夹角为直角；数量积小于0且两向量不共线时，两向量的夹角就是钝角(2)找两向量的夹角，在图形中必须使两向量共起点，可以结合解三角形求角,(3)解决向量垂直问题，常用向量垂直的充要条件即非零向量abab0 x1x2y1y20.,备选例题(教师用书独具),(2012宝鸡调研)已知A(Cos，sin)，B(Cos，sin)(0)(1)求证：AB与AB互相
5、垂直；(2)若kAB与AkB的模相等，求.(其中k为非零实数),【解】证明：(1)(AB)(AB)A2B2|A|2|B|2(Cos2sin2)(Cos2sin2)0，AB与AB互相垂直,变式训练,【解】(1)法一：BC(Cos1，sin)，则|BC|2(Cos1)2sin22(1Cos)1Cos1，0|BC|24，即0|BC|2.当Cos1时，有|BC|2，向量BC的长度的最大值为2.,法二：|B|1，|C|1，|BC|B|C|2.当Cos1时，有BC(2,0)，即|BC|2，所以向量BC的长度的最大值为2.(2)法一：由已知可得BC(Cos1，sin)，A(BC),Cos Cossin si
6、nCosCos()Cos.A(BC)，A(BC)0，即Cos()Cos.,A(BC)，A(BC)0，即Cossin1.sin1Cos，平方后化简得Cos(Cos1)0，解得Cos0或Cos1.经检验，Cos0或Cos1即为所求,【名师点评】一般来说向量与三角融合时，都会给出向量的坐标，都会进行向量的坐标运算，因此向量的坐标运算公式必须要记住且要会使用涉及向量平行或垂直时，两个坐标关系式也要会熟练地应用,备选例题(教师用书独具),方法技巧,1向量的数量积的运算法则不具备结合律，但运算律和实数运算律类似如(ab)2a22abb2；(ab)(s atb)s a2(ts)abtb2(，s，tR),2求
7、向量模的常用方法：利用公式|A|2A2，将模的运算转化为向量的数量积的运算3利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法技巧4平面向量的数量积的运算法则把平面向量与实数紧密地联系在一起，使它们之间的相互转化得以实施,因此，一方面我们要善于把向量的有关问题通过数量积转化为实数问题，利用实数的有关知识来解决问题；另一方面，也要善于把实数问题转化为向量问题，利用向量作工具来解决相关问题,失误防范1零向量：(1)0与实数0的区别，不可写错：0a00，a(a)00，a000；(2)0的方向是任意的，并非没有方向，0与任何向量平行，也与任一向量垂直2ab0不能推出a0或b0，因为ab
8、0时，有可能ab.3abac(a0)不能推出bc，即消去律不成立,命题预测平面向量的数量积是每年高考必考的知识点之一，考查重点是向量的数量积运算，向量的垂直以及用向量方法解决简单的几何问题等，既有选择题，填空题，又有解答题，属中低档题目近几年试题中与平面几何、三角、解析几何知识交汇命题的综合题是高考的一个热点，主要考查运算能力和数形结合思想,预测2013年高考仍将以向量的数量积运算、向量的垂直为主要考点，以与三角、平面几何、解析几何的交汇命题为考向,典例透析,【解】ABBC，ABCA，两式相加得2ABC(AB).2分又ABC0，故有(AB)22AB0，即A2B24 AB0.5分由已知AB1，|A|2|B|24.同理|B|2|C|24，|C|2|A|24，8分,【得分技巧】根据已知条件，从探求三角形的三边长入手判断其形状是解答本题的关键【失分溯源】在解答本题时主要是错用数量积的运算律及性质导致失分：如由abbc约去B得到ac；由abbcca1得到|a|b|b|c|c|a|1，从而|a|b|c|1.,本部分内容讲解结束,按ESC键退出全屏播放,
