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1、第三章 弹性力学空间轴对称问题有限元法,3.1 弹性力学空间轴对称问题的描述,物体几何形状、约束及外力都对称于某一轴线(z轴),3.1 弹性力学空间轴对称问题的描述,轴对称问题物体几何形状、约束及外力都对称于某一轴线(z轴)，则物体的位移、应变、应力也都对称于这一轴线。,3.1 弹性力学空间轴对称问题的描述,一、柱坐标系,由于轴对称性质，采用柱坐标系（r、z）分析轴对称问题,3.1 弹性力学空间轴对称问题的描述,a:通过对称轴的任一平面都是对称平面,b:子午面通过对称轴的任一平面（r-z平面）,c:如果以对称轴为z轴，则位移、应变、应力都仅为r、z的函数而与无关,空间的三维问题化为平面的二维问
2、题，即空间域回转体简化为定义在回转体的某个子午面平面域上的物体。,3.1 弹性力学空间轴对称问题的描述,二、基本变量,(1)位移矢量,(2)应变,(3)应力,环向位移 u=0 即在子午面（rz面）上的点无离面位移。,3.1 弹性力学空间轴对称问题的描述,三、基本方程,（1）平衡微分方程,设微元体上作用有体力,3.1 弹性力学空间轴对称问题的描述,三、基本方程,（2）应变与位移的关系几何方程,3.1 弹性力学空间轴对称问题的描述,三、基本方程,（2）应力应变关系 物理方程,(E是杨氏模量，为泊松比),3.1 弹性力学空间轴对称问题的描述,三、基本方程,(10个未知函数在域内的控制方程),四、边界
3、条件,3.1 弹性力学空间轴对称问题的描述,su 表示位移边界点的集合,位移边界条件,应力边界条件,因为：,上式先对积分，化为在子午面上的以下积分,在位移中求解时，虚功方程等价于力边界条件与平衡微分方程。,3.1 弹性力学空间轴对称问题的描述,五、虚功方程,3.1 弹性力学空间轴对称问题的描述,六、总势能泛函,受均匀内压的球体计算分析模型,3.2 三结点环状单元分析,受均匀内压的球体有限元模型,3.2 三结点环状单元分析,单元结点的位移列阵记为,一、单元位移模式,3.2 三结点环状单元分析,3.2 三结点环状单元分析,二、单元内的应变,3.2 三结点环状单元分析,二、单元内的应变,3.2 三结
4、点环状单元分析,二、单元内的应变,为单元应变转换矩阵,子块,环状三角形单元不是常应变单元,3.2 三结点环状单元分析,三、单元内的应力,为单元应力转换矩阵。其子块为,三角形环状单元也不是常应力单元,3.2 三结点环状单元分析,三、单元刚度矩阵的计算,其子块为,3.2 三结点环状单元分析,三、单元刚度矩阵的计算,计算以上积分的方法有三种：导出精确的积分公式；采用通常的数值积分公式；简单的近似积分。,3.2 三结点环状单元分析,三、单元刚度矩阵的计算,单元中心坐标,3.2 三结点环状单元分析,三、单元刚度矩阵的计算,3.2 三结点环状单元分析,3.2 三结点环状单元分析,三、单元刚度矩阵的计算,(
5、E是杨氏模量，为泊松比),3.2 三结点环状单元分析,四、等效结点力的计算,受自重作用,设是物体比重，重力只有z方向分量且与z轴反向，其体积力密度为,3.2 三结点环状单元分析,四、等效结点力的计算,受自重作用,3.2 三结点环状单元分析,四、等效结点力的计算,惯性离心力作用,物体绕z轴转动的角速度为(rad/s)，是比重，g是重力加速度，则惯性离心力为,3.2 三结点环状单元分析,四、等效结点力的计算,惯性离心力作用,3.2 三结点环状单元分析,四、等效结点力的计算,受均布压力,rz面上的压力矢量,ij边外法线与r轴夹角为,3.2 三结点环状单元分析,四、等效结点力的计算,受均布压力,由于是
6、在ij边上，则形函数矩阵为,3.2 三结点环状单元分析,四、等效结点力的计算,受均布压力,3.2 三结点环状单元分析,四、等效结点力的计算,热应变作为初应变,若单元结点的温度升高为，则单元的平均温升为,单元热应变为,单元等效结点力,3.2 三结点环状单元分析,四、等效结点力的计算,热应变作为初应变,子块为,3.2 三结点环状单元分析,四、等效结点力的计算,热应变作为初应变,本章小结：,(1)由于轴对称性质,轴对称问题可简化为二维问题处理,只分析其一子午面,并在子午面离散.,(2)与平面问题中的三结点三角形平面单元不同，在本章对轴对称问题的分析中，采用的单元类型为三结点三角形环状的实体单元，采用
7、的坐标系为柱坐标系.在单刚及等效载荷的计算中采用的近似积分方式是相当简单也相当有效的，且三结点三角形环状实体单元不是常应变单元或常应力单元。,(3)轴对称问题有限元法中,刚体位移仅为轴向移动.,膨胀节,例子：,总应力云图,总位移云图,例:某立式压力容器如图所示，其设计压力p=10MPa，在常温下工作，材料为16Mn，弹性模量E=210GPa,泊松比为0.3，筒体内径D1=3400mm，壁厚t1=110mm，球形封头内半径R2=1720mm，t2=70mm，筒体削边长度l=270mm，忽略自重，对容器筒体与封头的连接区进行应力分析。,PLANE82轴对称单元,应力强度云图,整体结构的应力强度云图,第三章结束,
