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1、,实值微分方程 自变量、未知函数均为实值复值微分方程 未知函数取复值或自变量及未知函数均取复值 本书中只讨论实值微分方程，简称微分方程或方程。微分方程基本概念(1)常微分方程和偏微分方程(2)线性和非线性(3)解和隠式解(4)通解和特解(5)积分曲线和方向场(6)微分方程组(7)驻定与非驻定、动力系统(8)相空间、奇点和轨线,常微分方程模型 特点,1.2 微分方程的基本概念,(8）相空间和轨线,常微分方程 自变量的个数只有一个。偏微分方程 自变量的个数为两个或两个以上。阶 未知函数最高导数,微分方程的基本概念(1)常微分方程和偏微分方程,(8）相空间和轨线,n阶线性微分方程非线性微分方程 不是
2、线性的微分方程,微分方程的基本概念(2)线性和非线性,的一次有理整式,为,(8）相空间和轨线,解 代入方程后使其变为恆等式的函数隐式解(积分)决定解函数 的关系式 解和隐式解统称为微分方程的解,微分方程的基本概念(3)解和隠式解,有解,和,有隐式解(积分),(8）相空间和轨线,通解独立性指对同样可定义隱式通解,微分方程的基本概念(4)通解和特解,的雅可比行列式不为0。,含有n个独立的任意常数的解,关于n个常数c1,c2,cn的1至n-1阶偏导数,(8）相空间和轨线,定解条件(1)初值条件可写为(2)边值条件特解,微分方程的基本概念(4)通解和特解 定解条件,对二阶方程，在区间a,b中,当x=x
3、0时,确定通解中任意常数的条件。,或,满足定解条件的解。,(8）相空间和轨线,例1 初值条件 N(t0)=N0 时特解为例2 有通解初值条件则特解为,微分方程的基本概念(4)通解和特解 例,通解,二阶微分方程,人口模型,(8）相空间和轨线,一阶微分方程的解通解特解 可记为向量场(方向场)即D上,微分方程的基本概念(5)积分曲线和方向场,表示Oxy平面上的一条曲线，称为积分曲线。,为过点(x0,y0)的一条曲线。,表示平面上的一族曲线。,平面某区域D上过各点方程的切向段。,过各点处的小段斜率方向。,(8）相空间和轨线,微分方程的基本概念(5)积分曲线和方向场 例,例等倾斜线,方向场中方向相同的曲
4、线,(8）相空间和轨线,n阶微分方程其中取变换则n阶微分方程变为1阶微分方程组可记为 或,微分方程的基本概念(6)微分方程组,这里y为向量。,驻定(自治)微分方程组含时间t的微分方程组叫非驻定方程组引进新时间，非驻定方程组可化为(n+1维空间)驻定方程组:,(8）相空间和轨线,微分方程的基本概念(7)驻定与非驻定,方程组右端不含 t,过y的解(t,y)可视t为参数，称为单参数变换群 t(y)动力系统常微分驻定方程组可称为连续动力系统,(8）相空间和轨线,微分方程的基本概念(7)动力系统,具恒同性,和可加性,相空间轨线驻定解、平衡解、常数解奇点相平面其相空间称为相平面。,(8）相空间和轨线,微分
5、方程的基本概念(8)相空间、奇点和轨线,不含自变量，仅由未知函数组成的空间,积分曲线在相空间中的投影,驻定微分方程组,右端函数为0的解,驻定解在相空间中称为奇点（平衡点）,平面一阶驻定方程组,平面一阶驻定方程组其积分曲线有特殊性质：可在空间(x,y,t)将方程的积分曲线投影到(x,y)平面上。,(8）相空间和轨线,微分方程的基本概念(8)相平面轨线 空间投影,方程组変为,时间轴的平移不影响方向场,或,常微分方程模型,18世纪 19世纪中 求通解时代,1.1 常微分方程模型,常微分方程发展历史,第一章,19世纪中 19世纪末 求定解时代,19世纪末 20世纪初 求所有解时代,20世纪中 21世纪
6、 求特殊解时代,常微分方程模型,1.1 常微分方程模型,18世纪 19世纪中 求通解时代,第一章,莱比尼兹（Leibiniz）曾专门研究利用变量变换解决一阶微分方程的求解。欧拉（Euler）则试图用积分因子统一处理。伯努利（Bernoulli）、黎卡提（Riccati）方程就是在研究初等积分时提出后人以他们的名字命名的方程。,常微分方程模型,1.1 常微分方程模型,19世纪中 19世纪末 求定解时代,第一章,早期的常微分方程的求解热潮被刘维尔(Liouville)于1841年证明黎卡提方程不存在一般的初等解而中断。加上柯西(Cauchy)初值问题的提出，常微分方程从“求通解”转向“求定解”时代
7、。首先是对常微分方程定解问题包括初值和边值问题的解的存在性、唯一性等解的性质的研究。,常微分方程模型,1.1 常微分方程模型,19世纪中 19世纪末 求定解时代,第一章,其次，针对线性微分方程，特别是二阶线性微分方程，通过专门定义一些特殊函数以求解特殊方程.如贝塞耳(Bessel)函数、勒让德函数等.这促成了使微分方程与(复变)函数论结合产生微分方程解析理论.同时，由于天文计算的需要促进了常微分方程摄动理论以及小参数、幂级数等近似方法的研究.,常微分方程模型,1.1 常微分方程模型,19世纪中 19世纪末 求定解时代,第一章,十九世纪末，天体力学中的太阳系稳定性问题需震研究常微分方程解的大范围
8、性态.从而使常微分方程的研究从“求定解问题”转向“求所有解”的新时代.首先，庞卡莱(Poincare)创立了定性理论、方法研究常微分方程解的大范围性态.由于希尔伯特(D.Hilbert)提出二十世纪23个数学问题中关于极限环个数的第16问题，大大促进了定性理论的发展.,19世纪末 20世纪中 求所有解时代,常微分方程模型,1.1 常微分方程模型,19世纪末 20世纪中 求所有解时代,第一章,另一方面李雅普诺夫(Lyapunov)提出的运动稳定性理论，用于解决方程解初值扰动不影响原方程解的趋向。同时，伯克霍夫(D.Bekcof)在二十世纪初在动力系统方面开辟了一个新领域。二十世纪五十年代后经阿诺
9、尔德(B.N.Anord)、斯梅尔(S.Smale)等大数学家的参与而得到蓬勃发展。除定性、稳定性和动力系统理论外，还有非线性振动理论、摄动与奇异摄动理论及变换群理论在二十世纪迅速发展着。,常微分方程模型,1.1 常微分方程模型,20世纪中 21世纪 求特殊解时代,第一章,二十世纪六、七十年代以后，常微分方程由于计算机技术的发展迎来了新的发展，从“求所有解”转入“求特殊解”时代。发现了具有新性质的恃特殊的解和方程，如混沌(解)、奇异吸引子及孤立子等。洛伦兹（Lorenz）在六十年代发现了称为Lorenz系统的常微分方程，初始敏感的特性导致了混沌现象的发现引起了科学界的巨大震动，斯梅尔称之为“利
10、用牛顿的定律推翻了牛顿决定论”。,常微分方程模型,1.1 常微分方程模型,19世纪中 19世纪末 求特殊解时代,第一章,孤立子本是物理上有重要意义的偏微分方程的新类型解,但它们往往对应于可积的被称为哈密顿系统的常微分方程，从而引发了对停顿百年的常微分方程可积性的研究热潮。常微分方程的研究还与其他学科或领域结合而出现各种新的研究分支，如控制论、种群生态学、分支理论、泛函微分方程、脉冲微分方程、广义微分方程、时标微分方程等。,常微分方程模型,1.1 常微分方程模型,微分方程在数学中的地位,第一章,300年来分析是数学里首要的分支，而微分方程又是分析的心脏。这是初等微积分的天然后继课，又是为了解物理科学的一门最重要的数学。而且在它所产生的较深的问题中，它又是高等分析里大部分思想和理论的根源。常微分方程属于数学分析的一支、是数学中与应用密切相关的基础学科，其自身也在不断发展中。学好常微分方程基本理论与方法对进一步学习研究理论或实际应用均非常重要。,
