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1、第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,7.1 线性相位FIR数字滤波器的条件和特点 7.2 利用窗函数法设计FIR滤波器7.3 利用频率采样法设计FIR滤波器7.4 利用切比雪夫逼近法设计FIR滤波器7.5 IIR和FIR数字滤波器的比较,7.1 线性相位FIR数字滤波器的条件和特点,本节主要介绍FIR滤波器具有线性相位的条件及幅度特性以及零点、网络结构的特点。1.线性相位条件 对于长度为N的h(n)，传输函数为,(7.1.1),(7.1.2),式中，Hg()称为幅度特性，()称为相位特性。注意，这里Hg()不同于|H(ej)|,Hg()为的实函数，可能取负值，而|H(ej)|总是正值。H(e
2、j)线性相位是指()是的线性函数，即()=,为常数(7.1.3)如果()满足下式：()=0-,0是起始相位(7.1.4)严格地说，此时()不具有线性相位，但以上两种情况都满足群时延是一个常数，即,也称这种情况为线性相位。一般称满足(7.1.3)式是第一类线性相位；满足(7.1.4)式为第二类线性相位。下面推导与证明满足第一类线性相位的条件是：h(n)是实序列且对(N-1)/2偶对称，即 h(n)=h(N-n-1)(7.1.5)满足第二类线性相位的条件是：h(n)是实序列且对(N-1)/2奇对称，即 h(n)=-h(N-n-1)(7.1.6),(1)第一类线性相位条件证明：,将(7.1.5)式代
3、入上式得,令m=N-n-1,则有,(7.1.7),按照上式可以将H(z)表示为,将z=e j代入上式，得到：,按照(7.1.2)式，幅度函数Hg()和相位函数分别为,(7.1.8),(7.1.9),(2)第二类线性相位条件证明：,(7.1.10),令m=N-n-1,则有,同样可以表示为,因此，幅度函数和相位函数分别为,(7.1.11),(7.1.12),2.线性相位FIR滤波器幅度特性Hg()的特点 1)h(n)=h(N-n-1),N=奇数 按照(7.1.8)式，幅度函数H g()为,式中，h(n)对(N-1)/2偶对称，余弦项也对(N-1)/2偶对称，可以以(N-1)/2为中心，把两两相等的
4、项进行合并，由于N是奇数，故余下中间项n=(N-1)/2。这样幅度函数表示为,令m=(N-1)/2-n,则有,(7.1.13),(7.1.14),式中,按照(7.1.13)式，由于式中cosn项对=0,2皆为偶对称，因此幅度特性的特点是对=0,2是偶对称的。2)h(n)=h(N-n-1),N=偶数 推导情况和前面N=奇数相似，不同点是由于N=偶数，Hg()中没有单独项，相等的项合并成N/2项。,3)h(n)=-h(N-n-1),N=奇数 将(7.1.11)式重写如下：,令m=N/2-n,则有,(7.1.15),(7.1.16),4)h(n)=-h(N-n-1),N=偶数 类似上面3)情况，推导
5、如下：,令m=(N-1)/2-n，则有,(7.1.17),(7.1.18),令m=N/2-n,则有,(7.1.19),(7.1.20),3.线性相位FIR滤波器零点分布特点 第一类和第二类线性相位的系统函数分别满足(7.1.7)式和(7.1.10)式，综合起来用下式表示：,(7.1.21),图7.1.1 线性相位FIR滤波器零点分布,4.线性相位FIR滤波器网络结构 设N为偶数，则有,令m=N-n-1,则有,(7.1.22),如果N为奇数，则将中间项h(N-1)/2单独列出，,(7.1.23),图7.1.2 第一类线性相位网络结构,图7.1.3 第二类线性相位网络结构,7.2 利用窗函数法设计
6、FIR滤波器,设希望设计的滤波器传输函数为Hd(ej),hd(n)是与其对应的单位脉冲响应，因此,相应的单位取样响应h-d(n)为,(7.2.1),(7.2.2),为了构造一个长度为N的线性相位滤波器，只有将h-d(n)截取一段，并保证截取的一段对(N-1)/2对称。设截取的一段用h(n)表示，即 h(n)=hd(n)RN(n)(7.2.3),我们实际实现的滤波器的单位取样响应为h(n),长度为N，其系统函数为H(z)，,图7.2.1 理想低通的单位脉冲响应及矩形窗,以上就是用窗函数法设计FIR滤波器的思路。另外，我们知道Hd(e j)是一个以2为周期的函数，可以展为傅氏级数，即,对(7.2.
7、3)式进行傅里叶变换，根据复卷积定理，得到：,(7.2.4),式中，Hd(e j)和RN(e j)分别是hd(n)和RN(n)的傅里叶变换，即,(7.2.5),RN()称为矩形窗的幅度函数；将Ha(ej)写成下式：,按照(7.2.1)式，理想低通滤波器的幅度特性Hd()为,将Hd(e j)和RN(e j)代入(7.2.4)式，得到：,将H(ej)写成下式：,(7.2.6),图7.2.2 矩形窗对理想低通 幅度特性的影响,通过以上分析可知，对hd(n)加矩形窗处理后，H()和原理想低通Hd()差别有以下两点：(1)在理想特性不连续点=c附近形成过渡带。过渡带的宽度，近似等于RN()主瓣宽度，即4
8、/N。(2)通带内增加了波动，最大的峰值在c-2/N处。阻带内产生了余振，最大的负峰在c+2/N处。在主瓣附近，按照(7.2.5)式，RN()可近似为,下面介绍几种常用的窗函数。设 h(n)=hd(n)w(n)式中w(n)表示窗函数。1.矩形窗(Rectangle Window)wR(n)=RN(n)前面已分析过，按照(7.2.5)式，其频率响应为,2.三角形窗(Bartlett Window),(7.2.8),其频率响应为,(7.2.9),3.汉宁(Hanning)窗升余弦窗,当N1时，N-1N，,图7.2.3 汉宁窗的幅度特性,4.哈明(Hamming)窗改进的升余弦窗,(7.2.11),
9、其频域函数WHm(e j)为,其幅度函数WHm()为,当N1时，可近似表示为,5.布莱克曼(Blackman)窗,(7.2.13),其频域函数为,其幅度函数为,(7.2.14),图7.2.4 常用的窗函数,图7.2.5 常用窗函数的幅度特性(a)矩形窗；(b)巴特利特窗(三角形窗)；(c)汉宁窗；(d)哈明窗；(e)布莱克曼窗,图7.2.6 理想低通加窗后的幅度特性(N=51,c=0.5)(a)矩形窗；(b)巴特利特窗(三角形窗)；(c)汉宁窗；(d)哈明窗；(e)布莱克曼窗,6.凯塞贝塞尔窗(Kaiser-Basel Window),式中,I0(x)是零阶第一类修正贝塞尔函数，可用下面级数计
10、算：,一般I0(x)取1525项，便可以满足精度要求。参数可以控制窗的形状。一般加大，主瓣加宽，旁瓣幅度减小，典型数据为49。当=5.44时，窗函数接近哈明窗。=7.865时，窗函数接近布莱克曼窗。凯塞窗的幅度函数为,(7.2.16),表7.2.1 凯塞窗参数对滤波器的性能影响,表7.2.2 六种窗函数的基本参数,下面介绍用窗函数设计FIR滤波器的步骤。(1)根据技术要求确定待求滤波器的单位取样响应hd(n)。如果给出待求滤波器的频响为Hd(ej)，那么单位取样响应用下式求出：,(7.2.17),(7.2.18),根据频率采样定理，hM(n)与hd(n)应满足如下关系：,例如，理想低通滤波器如
11、(7.2.1)式所示，求出单位取样响应hd(n)如(7.2.2)式，重写如下：(2)根据对过渡带及阻带衰减的要求，选择窗函数的形式，并估计窗口长度N。设待求滤波器的过渡带用表示，它近似等于窗函数主瓣宽度。(3)计算滤波器的单位取样响应h(n)，h(n)=hd(n)w(n),(4)验算技术指标是否满足要求。设计出的滤波器频率响应用下式计算：,例7.2.1 用矩形窗、汉宁窗和布莱克曼窗设计FIR低通滤波器，设N=11,c=0.2rad。解 用理想低通作为逼近滤波器，按照(7.2.2)式，有,用汉宁窗设计：,用布莱克曼窗设计：,图7.2.7 例7.2.1的低通幅度特性,7.3 利用频率采样法设计FI
12、R滤波器,设待设计的滤波器的传输函数用Hd(ej)表示，对它在=0到2之间等间隔采样N点，得到Hd(k)，,再对N点Hd(k)进行IDFT，得到h(n)，,(7.3.1),(7.3.2),式中，h(n)作为所设计的滤波器的单位取样响应，其系统函数H(z)为,(7.3.3),(7.3.4),1.用频率采样法设计线性相位滤波器的条件 FIR滤波器具有线性相位的条件是h(n)是实序列，且满足h(n)=h(N-n-1)，在此基础上我们已推导出其传输函数应满足的条件是：,(7.3.5),(7.3.6),(7.3.7),奇数,偶数,在=02之间等间隔采样N点，,将=k代入(7.3.4)(7.3.7)式中，
13、并写成k的函数：,(7.3.8),(7.3.9),奇数,偶数,(7.3.10),(7.3.11),设用理想低通作为希望设计的滤波器，截止频率为c，采样点数N，Hg(k)和(k)用下面公式计算：N=奇数时，,(7.3.12),N=偶数时，,(7.3.13),2.逼近误差及其改进措施 如果待设计的滤波器为Hd(ej),对应的单位取样响应为hd(n)，,则由频率域采样定理知道，在频域02之间等间隔采样N点，利用IDFT得到的h(n)应是hd(n)以N为周期，周期性延拓乘以RN()，即,由采样定理表明，频率域等间隔采样H(k)，经过IDFT得到h(n)，其Z变换H(z)和H(k)的关系为,图7.3.1
14、 理想低通滤波器增加过渡点,例7.3.1 利用频率采样法设计线性相位低通滤波器，要求截止频率c=/2rad，采样点数N=33，选用h(n)=h(N-1-n)情况。解 用理想低通作为逼近滤波器。按照(7.3.12)式，,对理想低通幅度特性采样情况如图7.3.2所示。将采样得到的,图7.3.2 对理想低通进行采样,图7.3.3 例7.3.1的幅度特性,图7.3.4 例7.3.1(N=65)有两个过渡点幅度特性,7.4 利用切比雪夫逼近法设计FIR滤波器,如果用E(ej)表示Hd(ej)和所设计滤波器H(ej)之间的频响误差 E(ej)=H-d(ej)-H(ej)(7.4.1)其均方误差为,(7.4
15、.2),1.切比雪夫最佳一致逼近准则 设希望设计的滤波器幅度特性为Hd()，实际设计的滤波器幅度特性为Hg()，其加权误差E()用下式表示：E()=W()Hd()-Hg()(7.4.3)为设计具有线性相位的FIR滤波器，其单位脉冲响应h(n)或幅度特性必须满足一定条件。假设设计的是h(n)=h(n-N-1),N=奇数情况，,将Hg()代入(7.4.3)式，则,(7.4.4),式中M=(N-1)/2。最佳一致逼近的问题是选择M+1个系数a(n),使加权误差E()的最大值为最小，即,该定理指出最佳一致逼近的充要条件是E()在A上至少呈现M+2个“交错”，使得,2.利用最佳一致逼近准则设计线性相位F
16、IR滤波器 设我们希望设计的滤波器是线性相位低通滤波器，其幅度特性为,如果我们知道了A上的M+2个交错点频率：0,1,:,M+1,按照(7.4.4)式，并根据交错点组准则，可写出,(7.4.5),将(7.4.5)式写成矩阵形式，,(7.4.6),(1)在频域等间隔取M+2个频率0,1,:,M+1，作为交错点组的初始值。按下式计算值：,(7.4.7),(7.4.8),一般初始值i并不是最佳的极值频率，也不是最优估计误差，它是相对于初始值产生的偏差。然后利用拉格朗日(Lagrange)插值公式，求出Hg()，即,(7.4.9),0),(7.4.11),(2)对上次确定的0,1,:,M+1中每一点，
17、都检查其附近是否存在某一频率|E()|，如有，再在该点附近找出局部极值点，并用该点代替原来的点。(3)利用和第二步相同的方法，把各频率处使|E()|的点作为新的局部极值点，从而又得到一组新的交错点组。,图7.4.2 雷米兹算法流程图,3.线性相位FIR滤波器的四种类型统一表示式 在7.1节，我们已推导出线性相位的四种情况，它们的幅度特性H-g()分别如下式：,奇数,奇数,偶数,偶数,经过推导可把H-g()统一表示为 Hg()=Q()P()(7.4.13)式中，P()是系数不同的余弦组合式，Q()是不同的常数，四种情况的Q()和P()如表7.4.1所示。,表7.4.1 线性相位FIR滤波器四种情
18、况,表中、和 与原系数b(n)，c(n)和d(n)之间关系如下：,(7.4.14),(7.4.15),(7.4.16),将(7.4.13)式代入(7.4.3)式，得到:,(7.4.17),(7.4.18),图7.4.3 利用切比雪夫逼近法设计线性相位 FIR滤波器程序框图,图7.4.4 利用切比雪夫逼近法设计的低通滤波器幅度特性,7.5 IIR和FIR数字滤波器的比较,首先，从性能上来说，IIR滤波器传输函数的极点可位于单位圆内的任何地方，因此可用较低的阶数获得高的选择性，所用的存贮单元少，所以经济而效率高。但是这个高效率是以相位的非线性为代价的。,从结构上看，IIR滤波器必须采用递归结构，极点位置必须在单位圆内，否则系统将不稳定。从设计工具看，IIR滤波器可以借助于模拟滤波器的成果，因此一般都有有效的封闭形式的设计公式可供准确计算，计算工作量比较小，对计算工具的要求不高。,
