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1、第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,7.1 线性相位FIR数字滤波器的条件和特点 7.2 利用窗函数法设计FIR滤波器7.3 利用频率采样法设计FIR滤波器7.4 利用切比雪夫逼近法设计FIR滤波器7.5 IIR和FIR数字滤波器的比较,7.1 线性相位FIR数字滤波器的条件和特点,FIR滤波器具有线性相位的特性，它的幅度有特殊的对称性，零点和网络结构也很特别。1.线性相位的条件 对于长度为N的h(n)，传输函数为,式中，Hg()称为幅度特性，()称为相位特性。注意，这里Hg()不同于|H(ej)|,Hg()为的实函数，可能取负值，而|H(ej)|总是正值。H(ej)线性相位是指()是的线性
2、函数，即()=-,为常数(7.1.3)如果()满足下式也称为线性相位，()=0-,0是起始相位(7.1.4)严格地说，此时()不具有线性相位。但以上两种情况都满足群时延是一个常数，即,所以两种情况都称为线性相位。一般称满足(7.1.3)式是第一类线性相位；满足(7.1.4)式为第二类线性相位。FIR滤波器具有第一类线性相位的条件是：h(n)是实序列且对(N-1)/2偶对称，即 h(n)=h(N-n-1)FIR滤波器具有第二类线性相位的条件是：h(n)是实序列且对(N-1)/2奇对称，即 h(n)=-h(N-n-1)2.线性相位FIR滤波器幅度特性Hg()的特点,3.线性相位FIR滤波器零点分布
3、特点 第一类和第二类线性相位的系统函数分别满足(7.1.7)式和(7.1.10)式，综合起来用下式表示：,图7.1.1 线性相位FIR滤波器零点分布,4.线性相位FIR滤波器网络结构 设N为偶数，则有,令m=N-n-1,则有,如果N为奇数，则将中间项h(N-1)/2单独列出，从上面的公式可以看出，线性相位FIR滤波器比FIR滤波器的直接型结构节省乘法器近一半。线性相位滤波器的网络结构图如下：,图7.1.2 第一类线性相位网络结构,图7.1.3 第二类线性相位网络结构,7.2 利用窗函数法设计FIR滤波器,设希望设计的滤波器传输函数为Hd(ej)，hd(n)是它的单位脉冲响应，因此 对于理想的低
4、通滤波器，它的传递函数为,相应的单位取样响应hd(n)为,为了构造一个长度为N的线性相位滤波器，只有将hd(n)截取一段，并保证截取的一段对(N-1)/2对称。设截取的一段用h(n)表示，即 h(n)=hd(n)RN(n),我们实际实现的滤波器的单位取样响应为h(n),长度为N，其系统函数为H(z)，,图7.2.1 理想低通的单位脉冲响应及矩形窗,以上就是用窗函数法设计FIR滤波器的思路。另外，我们知道Hd(e j)是一个以2为周期的函数，可以展为傅氏级数，即,根据复卷积定理，得到：,式中，Hd(e j)和RN(e j)分别是hd(n)和RN(n)的傅里叶变换，即,RN()称为矩形窗的幅度函数
5、；将Hd(ej)写成下式：,按照(7.2.1)式，理想低通滤波器的幅度特性Hd()为,将Hd(e j)和RN(e j)代入(7.2.4)式，得到：,将H(ej)写成下式：其卷积结果用图表示比较直观。,图7.2.2 矩形窗对理想低通 幅度特性的影响,通过以上分析可知，对hd(n)加矩形窗处理后，H()和原理想低通Hd()差别有以下两点：(1)在理想特性不连续点=c附近H()有过渡带。过渡带的宽度，近似等于RN()主瓣宽度，即4/N。(2)通带内H()有波动，最大的峰值在c-2/N处。阻带内H()有余振，最大的负峰在c+2/N处。,下面介绍几种常用的窗函数。设 h(n)=hd(n)w(n)式中w(
6、n)表示窗函数。1.矩形窗(Rectangle Window)2.三角形窗(Bartlett Window)3.汉宁(Hanning)窗升余弦窗 4.哈明(Hamming)窗改进的升余弦窗 5.布莱克曼(Blackman)窗,图7.2.4 常用的窗函数,图7.2.5 常用窗函数的幅度特性(a)矩形窗；(b)巴特利特窗(三角形窗)；(c)汉宁窗；(d)哈明窗；(e)布莱克曼窗,图7.2.6 理想低通加窗后的幅度特性(N=51,c=0.5)(a)矩形窗；(b)巴特利特窗(三角形窗)；(c)汉宁窗；(d)哈明窗；(e)布莱克曼窗,下面介绍用窗函数设计FIR滤波器的步骤。(1)根据技术要求确定待求滤波
7、器的单位取样响应hd(n)。如果给出待求滤波器的频响为Hd(ej)，那么单位取样响应用下式求出：,(2)根据对过渡带及阻带衰减的要求，选择窗函数的形式，并估计窗口长度N。设待求滤波器的过渡带用表示，它近似等于窗函数主瓣宽度。(3)计算滤波器的单位取样响应h(n)，h(n)=hd(n)w(n)(4)验算技术指标是否满足要求。设计出的滤波器频率响应用下式计算：,例7.2.1 用矩形窗、汉宁窗和布莱克曼窗设计FIR低通滤波器，设N=11,c=0.2rad。解：用理想低通作为逼近滤波器，按照(7.2.2)式，有,用汉宁窗设计：,用布莱克曼窗设计：它们的幅频特性如图 所示。,图7.2.7 例7.2.1的低通幅度特性,7.5 IIR和FIR数字滤波器的比较,首先，从性能上来说，IIR滤波器传输函数的极点可位于单位圆内的任何地方，因此可用较低的阶数获得高的选择性，所用的存贮单元少，所以经济而效率高。但是这个高效率是以相位的非线性为代价的。FIR滤波器可得到线性相位，阶数较高。,从结构上看，IIR滤波器必须采用递归结构，极点位置必须在单位圆内，否则系统将不稳定。FIR滤波器采用非递归结构。从设计工具看，IIR滤波器可以借助于模拟滤波器的成果，因此一般都有有效的封闭形式的设计公式可供准确计算，计算工作量比较小，对计算工具的要求不高。FIR滤波器的没有封闭形式的设计公式，较复杂。,
