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1、,第15章 拉普拉斯变换,15.9 卷积定理,15.1 拉普拉斯变换,15.2 常用函数的拉普拉斯变换,15.3 拉普拉斯变换的基本性质,15.5 复频域中的电路定律、电路元件与模型,15.6 拉普拉斯变换法分析电路,15.7 网络函数,15.8 网络函数的极点和零点,15.4 拉普拉斯反变换,本章重点,本章重点,返回目录,15.1 拉普拉斯变换,一、拉氏变换（Laplace transformation）的定义,（Laplace transformation）,（inverse Laplace transformation）,f(t)和F(s)是一对拉普拉斯变换（Laplace pairs）
2、对。,f(t)，t 0,)称为原函数（original function），属时 域（time domain）。原函数 f(t)用小写字母表示，如 i(t)，u(t)。,F(s)称为象函数（transform function），属复频域（complex frequency domain）。象函数F(s)用大写字母 表示，如 I(s)，U(s)。,称为复频 率（complex frequency）。,积分下限从0 开始，称为0 拉氏变换。,积分下限从0+开始，称为0+拉氏变换。,0+拉氏变换和0拉氏变换的区别：,为了把0-0+时冲激函数的作用考虑到变换中，以下拉氏变 换定义式中积分下限从 0-
3、开始。,二、拉氏变换存在条件,不同的 f(t)，0的值不同，称 0为复平面s内的收敛横坐标。,电工中常见信号为指数阶函数，即,由于单边拉氏变换的收敛问题较为简单，在下面的讨论 中一般不再写出其收敛范围。,返回目录,=1,15.2 常用函数的拉普拉斯变换,例 求图示两个函数的拉氏变换式,解 由于定义的拉氏变换积分下限是0，两个 函数的拉氏变换式相同,返回目录,-1,15.3 拉普拉斯变换的基本性质,一、线性（linearity）性质,二、原函数的微分（differentiation）,三、原函数的积分（integration）,例,四、时域平移（time shift）,平移,不是平移,例1 求图
4、示函数的拉氏变换式,例2 求图示函数的拉氏变换式,例3 周期函数（periodic function）的拉氏变换。,设 f1(t)为第一个周期的函数，,五、复频域平移（frequency shift）,六、初值(initial-value)定理和终值(final-value)定理,初值定理 若 f(t)=F(s)，且 f(t)在t=0处无冲激，则,例1,例2,例3,例1,例2,例3,返回目录,15.4 拉普拉斯反变换,一、由象函数求原函数,（2）经数学处理后查拉普拉斯变换表,象函数的一般形式：,二、将F(s)进行部分分式展开（partial-fraction expansion）,f(t)=L
5、-1F(s),等式两边同乘(s-s1),ki也可用分解定理求,等式两边同乘（s-si）,应用洛比达法则求极限,例1,例2,用分解定理,例3,m n，用长除法，得,k1,k2也是一对共轭复数。,假设只有两个根,可据前面介绍的两种方法求出 k1,k2。,设,例,法一：,部分分式展开，求系数。,法二：,将F2(s)改写为(s)2+2,等式两边乘,例1,例2,等式两边乘,一般多重根情况,返回目录,一、电路元件的运算形式（operator form）,电阻R,u=R i,15.5 复频域中的电路定律、电路元件与模型,电感L,电容C,互感M,受控电源,二、电路定律的运算形式,设电路无初始储能,运算形式的欧
6、姆定律,三、运算电路模型,（1）电压、电流用象函数形式。,（2）元件用运算阻抗或运算导纳。,（3）电容电压和电感电流初始值用附加电源表示。,uC(0-)=25V iL(0-)=5A,换路后 运算电路,解,返回目录,15.6 拉普拉斯变换法分析电路,步骤,（1）由换路前电路计算uC(0-),iL(0-)；,（2）画运算电路模型；,（3）应用电路分析方法求出待求变量的象函数；,（4）反变换求原函数。,t=0时闭合S，求iL，uL。,例1,（2）画运算电路,解,（4）反变换求原函数,校核初值和终值,要考虑初值,思考：uL是哪两端 的电压？,例2 求图示电路的单位冲激响应uC(t)，iC(t)。,返回
7、目录,15.7 网络函数（Network Function）,一、定义,单个独立源作用的线性网络,转移函数（transfer function）,1.策动点函数,策动点阻抗,策动点导纳,2.转移函数（传递函数）,转移导纳,转移阻抗,转移电压比,转移电流比,二、网络函数的具体形式,三、单位冲激响应与网络函数的关系,若单位冲激响应h(t)已知，则任意激励e(t)产生的响应r(t)可求。,单位冲激响应与网络函数是一对拉氏变换对。,返回目录,15.8 网络函数的极点（Pole）和零点（Zero）,一、复频率平面,在复平面上用“”表示极点，用“。”表示零点。,例,绘出其极零点图。（pole-zero d
8、iagram）,二、极点分布与冲激响应的关系,H(s)在s平面上极点位置不同，冲激响应波形不同。,单位冲激响应与网络函数是一对拉氏变换对。,极点的位置决定冲激响应的波形。,极点和零点共同决定冲激响应的的幅值。,网络函数极点的位置决定了系统的稳定性（stability）。,全部极点在 s 左半平面的电路动态响应是稳定的；有位于 s 右半平面极点的电路动态响应是不稳定的；极点在 s 平面的虚轴上，且只有一阶，则电路动态响应是临界稳定的。,网络函数极点是该网络变量的固有频率。,R(s)=H(s)E(s),系数Ai和Aj是由零点和极点共同决定。,返回目录,设D(s)和E(s)没有相同的极点,15.9 卷积（Convolution）定理,R(s)=E(s)H(s),证明,延时,例 已知某电路的单位冲激响应 h(t)=2e-t(t)，求该电 路在激励为e(t)=5e-2t V作用下的响应 r(t)。,解,由单位冲激响应得网络函数,H(s)=2/(s+1),由卷积定理，得,时域响应为,r(t)=10(e-t-e-2 t)V（t 0）,返回目录,
