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1、第一章 数制与编码,1 进位计数制,2 数制转换,3 带符号数的代码表示,4 常用的一般编码,学习要求,1 进位计数制,一、十进制数的表示 数码个数：10个。计数规律:,数 制：进位计数制：,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,逢十进 1,借一当10,数码的个数和计数规律是进位计数制的两个决定因素,计数体制、计数方法。,高位进位，本位归0。,例：123.45=1102+2101+3100+410-1+510-2,例：123.45 读作 一百二十三点四五,计数法,例：123.45 读作 一百二十三点四五,例：123.45=1102+2101+3100+410-1+510-2,(N)10=an
2、-110n-1+an-210n-2+a1101+a0100+a-1 10-1+a-210-2+a-m10-m,基与基数,用来表示数的数码的集合称为基（09）,集合的大小称为基数(十进制为10)。即表示某种进位计数制所具有的数字符号的个数称为基数，也叫模。,在十进制中，10的整幂次方称为10进制数的权。即表示某种进位计数制不同位置上数字的单位值，位置不同表示的数值大小不同。,权,例：,二、其它进制 其它进制的计数规律可看成是十进制计数制的推广，对任意进制 R，数N可以表示成按权展开式：,(N)R=an-1R n-1+an-2R n-2+a1R1+a0R0+a-1 R-1+a-2R-2+a-mR-
3、m,(N)R=(an-1 an-2 a1 a0.a-1 a-2 a-m)R,权值一般用十进制表示,R2 二进制,数码个数2个：计数规律:例：,0,1,逢二进 1,借一当 2,(11011.01)2=124+123+022+121+120+02-1+12-21(10)100+1(10)11+0(10)10+1(10)1+1(10)0+0(10)-1+1(10)-10,权值一般用十进制表示,二进制数的特点:,只有两个数码,很容易用物理器件来实现。,运算规则简单。,可使用逻辑代数这一数学工具。,节省设备(?),例：如需表示数字0999，共有1000个信息量。十进制：用3位，每位10个数字，共需30个
4、数字设备。二进制：用10位，每位2个数字，共需20个数字设备。,R8 八进制,数码个数8个：计数规律:例：,0,1,2,3,4,5,6,7,逢八进 1,借一当 8,(176.5)8=182+781+680+58-11(10)2+7(10)1+6(10)0+5(10)-1,R16 十六进制,数码个数16个：计数规律:例：其它进制,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F(0 10 15),逢十六进 1,借一当 16,(FA1.C)16=F162+A161+1160+C16-1F(10)2+A(10)1+1(10)0+C(10)-1,如六进制、十二进制、二十四进制、六十进制等
5、。书P5 表所列各进制对应值要求熟记。,几种常用数制的表示方法（P5）,2 数制转换,说明：转换是任意的。方法：多项式替代法基数乘除法混合法直接转换法,10,10,10,K，K,一、多项式替代法（R10）,(11011.11)2=()10,=124+123+022+121+120+12-1+12-2,16 8 0 2 1 0.5 0.25,=(27.75)10,(321.4)8=()10,=382+281+180+48-1,192 16 1 0.5,=(209.5)10,例1：,例2：,规则：按权展开，相加求和,二、基数乘除法（10 R）,整数的转换基数除法规则：除基取余，商零为止例 1：解：
6、例 2：解：,(25)10=()2,(25)10=(11001)2,(54)10=()16,(54)10=(36)16,小数的转换基数乘法,规则：乘基取整。例 3：例 4：解：例 5：解：,(0.125)10=()2,(0.125)10=(0.001)2，(0.125)10=(0.02)4,(0.125)10=()4,(29.93)10=()2,(29.93)10=(11101.111011)2,乘不尽咋办？,满足精度要求为止,三、混合法(10),例:(2022)3()8解:,(2022)3=233+032+231+230=(62)10=(76)8,四、直接转换法(K，K),一般在二、八、十六
7、进制之间转换,八进制与二进制之间的转换：,.01)B=,(010 011 100 101 101 001 000.010)B=,=(2345510.2)O,从小数点开始3位一组,不足补0,不足补0,十六进制与二进制之间的转换：,B=,(1001 1100 1011 0100 1000.0100)B=,=(9CB48.4)H,不足补0,从小数点开始4位一组,反之:,(345.7)O=()B,(345.7)O=(011 100 101.111)B,1位八进制对应3位二进制,(27B.7C)H=()B,(27B.7C)H=(0010 0111 1011.0111 1100)B,1位十六进制对应4位二
8、进制,=(10 0111 1011.0111 11)B,3 带符号数的代码表示一、符号数,真值：在数值前加“”号表示正数；在数值前加“”号表示负数。机器数：把符号数值化的表示方法称。用“0”表示正数，用“1”表示负数。例：真值 机器数91001 0100191001 11001,符号位,二、原码,常用的机器数有：原码、反码、补码其符号位规则相同，数值部分的表示形式有差异。,符号位数值位正0 不变负1,例：,X11101 X1原=01101X21101 X2原=11101,直观易辨认；有2个0；符号不参与运算；数值范围,特点：,组成：,三、反码,组成：特点：,符号位数值位正0 不变负1 取反,例
9、：,X11101 X1反=01101X21101 X2反=10010,X11101 X1反=10010X1反反=11101=X1原,正数的反码同原码，负数的反码数值按位取反；有2个0；反码的反码为原码；数值范围,特点(续),两数和的反码等于两数反码之和；符号位参与运算,有进位时循环相加。,例：已知 X11100 X21010 求 Y1 X1 X2；Y2 X2 X1,解：X1反=01100，X1反=10011，X2反=01010，X2反=10101 Y1反 X1反 X2反=00010 Y10010,Y2反 X2反 X1反=11101 Y20010,四、补码,组成：特点：,符号位数值位正0 不变负
10、1 取反1,例：,X11101 X1补=01101X21101 X2补=10011,正数的补码同原码，负数的补码数值按位取反1；只有1个0；补码的补码为原码；数值范围,X11101 X1补=10011X1补补=11101=X1原,特点(续),两数和的补码等于两数补码之和；符号位参与运算,有进位时丢弃。,例：已知 X11100 X21010 求 Y1 X1 X2；Y2 X2 X1,解：X1补=01100，X1补=10100，X2补=01010，X2补=10110 Y1补 X1补 X2补=00010 Y10010,Y2补 X2补 X1补=11110 Y20010,补码的补充说明：,计数容量。,在某
11、一模数系统中，模数为N，如果a、b的余数相同，则称a、b模N同余。例：17和33在模16系统中同余1。同余的两数，在同一模数系统中值相等，即为余数。,同余：,模：,1.概念,2.补码的应用：变减为加,一般而言：在模N的系统中，数L与N-L是一对互补的数。,特例情况：如N=2n，即在二进制中，负数L补码的数值为L补 2nL，求取形式上可归纳为：取反加1。,例：钟表为模12的系统。,顺时针：+；逆时针：-,由12点拨到3点：,1）12+3=15，15(mod12)=3,2)12-9=3，3(mod12)=3,则：12-9(mod12)=12+3(mod12)=3,即减9等于加3，在 mod12系统
12、中3是9的补码(仅考虑数值位)，所以利用补码特点可把减法变成加法运算。,当L为负数时，,4 常用的一般编码,一、二十进制编码 二、可靠性编码,现实生活中，对事物进行编码的示例很多，如：学号、身份证号、电话号码、房间号、汽车牌号等等。主要以十进制数为主，也有字母和文字。在数字系统里，往往也需要对被控对象进行编码，或者对传递的信息进行编码。数字系统中的编码以二进制数形式出现，常用的编码有：,一、二十进制编码,BCD码-Binary-Coded-Decimal 用四位二进制数表示一位十进制数码（09），称为BCD码。四位二进制有16种不同的组合，任意取其中的10中组合来代表数码09，即形成一种BCD
13、码，不同的组合便形成了各种各样的BCD编码。BCD码主要有：8421码、5421码、2421码、余3码等。,二进制数,自然码,8421码,2421码,5421码,余三码,简称8421码。按4位二进制数的自然顺序，取前十个数依次表示十进制的09，后6个数不允许出现，若出现则认为是非法的或错误的。,8421码是一种有权码，每位有固定的权，从高到低依次为8,4,2,1，如 8421码:(0111)8421BCD=08+14+12+11=7,8421 BCD码,二进制数,8421码,与自然二进制数排列一至，10101111为冗余码；,8421码与十进制的转换关系为直接转换关系 例:（0001 0011
14、.0110 0100)8421BCD=(13.64)10,有权码，从左到右为 8 4 2 1；,8421码的特点：,2421 BCD码,简称2421码。典型2421码按4位二进制数的自然顺序，取前后各5个数依次表示十进制的09，其余6个数不允许出现，若出现则认为是非法的或错误的。这只是2421码的一种编码方案。,2421码是一种有权码，每位有固定的权，从高到低依次为2,4,2,1，如:,二进制数,2421码,2421码(0100)2421=02+14+02+01=42421码(1110)2421=12+14+12+01=8,2421码的编码方案：,特点：,余3码,1)是一种无权码。,2)有六个
15、冗余码。（0000、0001、0010、1101、1110、1111）,3）对9的自补码。,例：(4)余3码=0111;(5)余3码=1000(0111)9补=1000 即0111按位取反。,由8421码加3形成。,二进制数,自然码,8421码,2421码,5421码,余三码,二、可靠性编码(自 学),能减少错误，发现错误，甚至纠正错误的编码 称为可靠性编码。,纠错的三个层次,编码本身不易出错格雷码,出错能检查出来奇偶校验码,检查并能纠错汉明码,纠错是以增加硬件为代价的,总结：,各进位计数制间的相互转换。原码、反码、补码的相关概念。8421BCD码、5421BCD码、2421BCD码、余3码。
16、,作业:,P231-1(1)，1-2(1)，1-3(1)，1-4(1)，1-5(1)1 13，1 16(1)(3)思考题1-9,本章完!,例1 转换过程：,(25)10=(11001)2,(25)10=()2,(54)10=(36)16,例2 转换过程：,(54)10=()16,例3 转换过程：例4 转换过程：,0.25,(0.125)10=(0.001)2,0.5,(0.125)10=(0.02)4,(0.125)10=()2,(0.125)10=()4,例5 转换过程：,(29.93)10=(11101.11101)2,1.8 6,(29.93)10=()2,节省设备的说明:,1）设n是数的位数 R是基数 Rn 最大信息量 nR Rn个数码所需设备量 例：n=3，R=10，(R)10n=103=1000 nR=310=30 R=2时,为使 2n1000 n=10(Rn=1024),nR=102=20 同样为1000的信息量，二进制比十进制节省设备。2）唯一性证明 N=Rn（N为最大信息量）LnN=nLnR 令C=LnN C=nLnR 两边同乘R，RC=nRLnR 可求得:,R=e=2.718,
