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1、数学解题的“三化”与“四策”,几乎每一位高三教师都有个共 同的无奈：复习后期每天除了考试与讲评，别无良策。,似乎每一位高三学生有个相同的感受：做了那么多的习题试卷，会的早就会了，不会的还是不会！,有学生高考后对老师直言不讳：做那么多的习题试卷，有用吗？,的确，高考中的绝大多数题目如选择、填空及大部分解答题是不需要搞“题海战术”就能顺利解答的；,而有些试题如把关题，即使是搞了“题海战术”也是无法奏效的。,这不能不引起我们思考：数学需要解题，但我们该如何开心、快乐、有效地解题呢？,“特殊化、极限化、坐标化”数学选择填空题的巧解三策,为了提高作答速度，一般说来，解答选择题能够估算的地方，就不必精确计
2、算；,能够取特例或极端化处理的 地方，就不必作一般性推演；,能够借助直觉判断的地方，就不必追求推理过程；,能够通过思考解决问题的地方，就不必运算。,对填空题也是如此！因为填空题也不用说明理由，无须书写过程，具有选择题的某些特征。,因而解选择题的一些策略也适合填空题。比如特例法，图解法等。,这些策略，是对考试来说的。训练时应该兼而用之。,特殊化,特殊化是重要的数学思想之一。,它是通过选取特殊元素，依据问题在一般情况下真则在特殊情况下亦真，反之，在特殊情况下不真则在一般情况下亦不真的原理。肯定某一结论或否定其余结论的过程。,特殊化思想在解决某些数学选择题与填空题上有重要的作用，可以帮助我们快捷地得
3、到问题的答案。,对于本题，不少同学联立直线方程，求出交点坐标，进而求出三角形三边长，再利用勾股定理得出a,b,c的关系式，进而求得离心率。一个选择填空题，需要如此“大动干戈”吗？,有不少人说可观察出右式各项的系数和为1，这是合情推理中的归纳推理。其实，当角特殊化为0时，右式各项的系数和不就为1了吗？,极限化,极限化思想是用无限逼近的方式从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的思想。,有限与无限相比，有限显得具体，无限显得抽象。对有限的研究往往先于对无限的 研究。,反之，当积累了解决无限问题的经验之后，可以将有限问题转化成无限问题来解决。,这种无限化有限、有限化无限的解决数学问题的
4、方法就是极限化方法。,本题直接求解难度很大，但若用极限思想将直线PAB极限化为切线，然后绕点P旋转，则PA慢慢变小，而AB慢慢变大，则必有某一时刻，使得PA=AB，故选A。,坐标化,坐标化思想是用代数方法研究几何问题的本质思想。对于给定的问题，若能巧妙运用坐标化思想，则能大大减少运算量，有效简化求解过程。,本题求解可将平行四边形特殊化为边长为2的正方形，进而运用坐标化原则建系可轻松求解。,2012年厦门市高三质检考理科14题：,“转换、猜想、控制、构造”数学压轴试题的破解“四策”,对于数学高考解题，许多考生对常规问题的解答可谓潇洒自如，让人赏识有嘉。,可一旦应对压轴题，则判若两人。或干脆到此“
5、戛然而止”，或抓不住解决问题的关键，浮游于问题之外。,很少见到思路清晰、简洁明了、彰显考生功力和灵性的完整解答。至于新颖别致、颇具创意的方法更是风毛麟角。,为何考生过不了压轴题这道坎呢？是否因为压轴题肩负着区分考生水平的重任，既考知识更考能力。难度上去了，自然多不作为吗？,“转换”,解题需要套路，看到这道题，你的第一反应是什么？迅速生成常规方案，也即第一方案。,为什么要有套路？因为80%的高考题是基本的、稳定的，考查运算的敏捷性。没有套路，就没有速度。,比如:如何求函数的单调区间，证明函数的单调性；涉及参数问题时，把参数分离出来，转化为这个参数与一个式子的不等或者相等关系；,数列问题，设法转化
6、为基本数列（等差数列或等比数列）模型；解析几何问题，根据条件特征选择适当的算法：坐标、向量和运用几何性质推演；,概率计算，把一事件转化为互斥事件的和或独立事件的积，合理选用基本模型和分布；等等。,当实施第一方案（套路）遇到障碍时，我们的策略是什么？转换视角，生成第二方案。,转换视角，转换到哪里？转换到知识丰富领域，也就是说把问题转换到我们最熟悉的领域。,处理难题，从方法论的角度讲就是转换视角。常态方案不行，换一个方案行了；,这种说法与思路不通，换一个说法通了；在一个领域内繁复的问题，换一个领域简单了。,如若不是这样，靠什么考查能力？所谓试题的创新，本质上是视角的转换。我们的复习就是要用创新应对
7、创新，用转换适应转换。,在试题创新背后，一定存在着稳定的东西，无非是：（1）将原问题推广或者把条件与结论互逆；（2）将一个领域中的问题移植到另一个领域；,（3）改变设问方式；（4）设置预备定理、临时定义或者借助图象，使“超纲”问题合法化，等等。,命题者通过这样的手续，使套路得以规避，使难题得以生成。备考者呢？就得沿着命题者的思路回到原点，即实现视角的转换，用转换适应转换。,简单源于转换视角的转换。可见，有时候题目的难，在于我们视角的狭窄，应把单一的视角作一个宽泛的转换，道路会越走越宽阔。,本题是典型的“能力立意”题，它反映了多思少算的命题特点：如果不注重思考，它会很难，如果注重思考，它会变得很
8、简单。本题的得分率很低，这不能不引起我们的思考：我们该如何洞察繁难表象后的简单思路呢？,上述思路虽然直接，却难以进行。原因何在？运算繁杂无法进行。其实，本题最难的地方在于点M坐标的计算，只要我们善于转化，就不难选择出合理的运算路径，从而将困扰我们的问题避开。,简单源于转换视角的转换。可见，有时候题目的难，在于我们不懂得如何规避难点。避难就易，我们会走得很轻松。,追溯一下以上的探究历程，不难明白问题得以解决的关键之所在：通过“转换”命题，进而“猜想”获得了a的值，而后证明。,“猜想”,对一个真正的问题，我们可以说结果是算出来的，是证出来的。因为算和证是终结性的表达，是必须履行的手续。,但履行手续
9、前是需要实质性工作的，这个实质性的工作就是猜想。有了猜想，我们才得以将问题继续。否则，我们做什么？,在本题第（）问的求解中，求“实数a,b的值”是基本点，属于基本知识。但要用到导数知识来求实数a,b的值，因而构成交汇点。,对于第()问的(ii)，我们发现，沿着这个思路，是不能继续下去的，怎么办？这就需要对问题作转化，转化为探索函数是否存在对称中心，如果存在，它即为题设中的点Q。,而要探索函数是否存在对称中心，又必须借助合情推理，需要猜想。如何进行猜想呢？这里至少有三条途径。,猜想三：,猜想出对称中心，证明就是简单的事了。从这里，我们可以看出问题得以解决的关键之所在：通过猜想获得了对称中心，然后
10、转换了命题。,这是2010年新课标全国卷理科压轴题，试题的第（）问难住了众多学生，而高考标答同样也让人费解这样的解答是如何想到的呢？,第（）问，,一定要这么解吗？有没有其他的解法？若有，高考标准答案为什么又不给出呢？,第(I)问很常规。,这里猜测是关键！因为猜想出a的值，我们才有了前进的方向。没有猜想，我们做什么？,因为猜想，我们有了前进的方向；没有猜想，我们做什么？先猜想，后证明，这是数学发现的基本思路，也是最见数学功力、最能体现能力立意的地方。,这里关键是猜测！为什么说猜测是关键呢？因为一旦猜测了某种结果，我们就有了方向，由条件到结论的方向。,对一个真正的问题，我们可以说结果是算出来的，是
11、证出来的，因为算和证是终结性的表达，是必须履行的手续。但履行手续前是需要实质性工作的，这个实质性的工作就是猜测。,因为演绎推理能力是验证结果的能力，而直观能力、合情推理能力是预测结果的能力。没有预测，我们验证什么？,“控制”,对于给定的数学问题，如何用已有的知识与方法去加以控制，使得解题朝着我们可预测的方向发展，是我们突破高考难题的关键所在。,在这里，控制已知数列的那个数列，不再是等比数列，也不是等差数列，而是题目以某种方式给出的数列，这就扩展了命题的前景。,“构造”,控制，是问题的“制高点”。而如何控制，则需要构造了。构造相关的函数、数列、不等式去控制，则是“至高点”了。,“四策”的综合运用,从以上的例子中，我们不难看出，数学压轴题的解答往往不是运用一种策略就能奏效的，而是几种策略的综合应用。,谢谢大家！,
