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1、第5章 时域离散系统的网络结构,本章主要内容,离散时间系统的描述 用信号流图表示网络结构 无限长单位脉冲响应基本网络结构 有限长单位脉冲响应基本网络结构,时域离散系统或网络的描述方法：,差分方程：描述时域离散系统输入输出之间的关系。单位脉冲响应：系统对(n)的零状态响应。系统函数：系统单位脉冲响应h(n)的Z变换。,如果系统输入输出服从N阶差分方程，即：,其系统函数H(z)为：,对输入信号的直接算法：已知x(n)、ai、bi和n时刻以前的y(n-i)，可以递推出y(n),5.1 引 言,由差分方程快速写出H(z),5.1 引 言,为了用计算机或专用硬件对输入信号进行处理，必须把上式变换成一种算
2、法，按照这种算法对输入信号进行运算。,给定一个差分方程，对应不同的算法有很多种，例如：,H1(z)=H2(z)=H3(z)具有相同系统函数H(z)的离散时间系统可以有不同的实现方法（算法），不同的算法直接影响系统运算误差，运算速度以及系统的复杂程度和成本。,因此研究实现信号的算法是一个很重要的问题，可用网络结构表示具体的算法，因此，网络结构实际表示的是一种运算结构。本章重点介绍数字系统的基本网络结构。,5.2 用信号流图表示网络结构,1.数字信号处理中的三种基本运算：乘法、加法和单位延迟,不同的信号流图代表不同的运算方法，而对于同一个系统函数可以有多种信号流图相对应。,5.2 用信号流图表示网
3、络结构,2.基本信号流图,信号流图中所有支路的增益是常数或者是z-1；流图环路中必须存在延时支路；节点和支路的数目是有限的。,例：判断下列两图是否为基本信号流图。,流图环路中没有延时支路,支路的增益不是常数或z-1,网络结构可以通过基本信号流图来描述。基本信号流图对应一种具体的运算方法，非基本信号流图不能用一种具体的运算方法来实现。,5.2 用信号流图表示网络结构,3.由基本信号流图求系统函数H(z),根据给定的信号流图，设置中间节点变量，节点变量w(n)或者w(z)等于该节点的所有输入支路变量之和。代入中间节点变量，可以最终确定流图的输入与输出关系，并根据输入、输出关系求出系统函数H(z)。
4、,例：下图是某一阶系统结构，要求（1）列出系统的差分方程和传递函数。（提示：利用w(n)和w(n-1)作为中间变量）（2）时，分析系统的零极点分布，判断是最小相位系统或最大相位系统或混合相位系统；（3）求出 时的单位脉冲响应h(n)（4）用几何法大致画出幅频响应曲线。,解：设2个参考点位w(n)和w(n-1)，可得到两个方程,取z变换得到,两式合并得到,取反z变换,（2）代入已知参数得到，极点为0.5，零点为2，零点在单位圆外，极点在单位圆内，故是最大相位系统。,因为，所以是全通系统，幅频特性为水平直线,5.2 用信号流图表示网络结构,例：已知基本信号流图如下，求其系统函数H(z)。,W2(n
5、),W2(n),W1(n),解：,5.2 用信号流图表示网络结构,例：已知基本信号流图如下，求其系统函数H(z)。,W2(n),W2(n),W1(n),解：,5.2 用信号流图表示网络结构,3.由基本信号流图求系统函数H(z),根据给定的信号流图，设置中间节点变量，节点变量w(n)或者w(z)等于该节点的所有输入支路变量之和。代入中间节点变量，可以最终确定流图的输入与输出关系，并根据输入、输出关系求出系统函数H(z)。,根据Masson公式（梅森公式）直接由信号流图写出系统函数H(z)。或由系统函数画出信号流图。,对于一个信号流图:,称为信号流图的特征行列式,表示从源点到汇点之间开路的总数,表
6、示从源点到汇点之间的第i条开路的传输增益,表示除去第 i条开路后剩余部分的特征行列式,5.2 用信号流图表示网络结构,4.网络结构分类,一般将网络结构分成两类:,有限长单位脉冲响应网络(FIR)（Finite Impulse Response）,特点:(1)单位脉冲响应h(n)有限长；(2)网络结构中不存在输出对输入的反馈支路；,其差分方程可表示为：,无限长单位脉冲响应网络(IIR)(Infinite Impulse Response),特点:(1)网络的单位脉冲响应h(n)是无限长的；(2)网络结构中存在输出对输入的反馈支路，即:信号 流图中存在环路。,FIR、IIR系统举例,FIR、IIR
7、系统举例,特别小心！,5.3 IIR系统的基本网络结构,IIR基本网络结构有三种：直接型、级联型和并联型,一、直接型：(直接型、型),对N阶差分方程：,1、直接型：,从差分方程出发，用基本运算单元直接画出网络流图，第一部分(输入)对应，第二部分(反馈)对应,设：M=N=2，系统函数为：,直接画出网络结构：,直接I型:优点：结构简单、清晰；缺点：所用运算单元多，延时支路较多；ak、bk常数对滤波器的性能控制作用不明显；零、极点关系不明显，调整困难。,5.3 IIR系统的基本网络结构,5.3 IIR系统的基本网络结构,直接型：,由于系统函数 H(z)=H1(z)H2(z)=H2(z)H1(z)，上
8、图中两部分交换位置：,优点：结构简单、清晰，延时支路比直接I型减少一半。缺点：ak、bk常数对滤波器的性能控制作用不明显；零、极点关系不明显，调整困难；,由于节点变量w2=w2，前后两部分延时支路可以合并：,5.3 IIR系统的基本网络结构,例：已知IIR数字滤波器的系统函数，画出该滤波器的直接II型结构。,解：,由H(z)写出差分方程如下：,也可以按照系统函数表达式直接画出直接II型网络结构。,5.3 IIR系统的基本网络结构,例：已知IIR数字滤波器的系统函数，画出该滤波器的直接型II结构。,解：,由H(z)写出差分方程如下：,5.3 IIR系统的基本网络结构,二、级联型,式中，A是常数，
9、Cr，dr分别表示零点、极点，为实数或共轭成对的复数。,ai,bj一般为实数,将分子分母多项式分别进行因式分解:,如零点、极点为实数，则构成一阶节(网络)如零点、极点为复数，将共轭成对的零点(极点)放在一起，形 成一个二阶多项式，系数仍为实数，则构成二阶节(网络),5.3 IIR系统的基本网络结构,二阶网络系统函数为：,一阶网络系统函数为：,式中：0j、1j、2j、1j和2j均为实数。,H(z)分解成一些一阶或二阶数字网络的级联形式：,H(z)=H1(z)H2(z)Hk(z),级联型结构不是唯一的,式中Hi(z)表示一个一阶或二阶的数字网络的系统函数，每个Hi(z)的网络结构均采用前面介绍的直
10、接型网络结构表示。,5.3 IIR系统的基本网络结构,IIR的级联型网络结构：H(z)=H1(z)H2(z)Hk(z)，级联型示意图：,优点:所需存储器最少，系统结构组成灵活；每个一阶网络决定一个零点、一个极点，每个二阶网络决定一对零点、一对极点。调整一阶网络和二阶网络系数可以改变零极点位置，所以零、极点调整方便，便于调整频响。,缺点：存在误差积累、级联结构中后面的网络输出不会传送到前面，所以运算误差的积累相对于直接型要小；,5.3 IIR系统的基本网络结构,例:已知IIR数字滤波器的系统函数，画出该滤波器的级联型结构。,解:将H(z)的分子、分母进行因式分解，得,则 H(z)的级联型结构为：
11、,为了减少单位延迟的数量，将一阶的分子、分母多项式组成一个一阶网络，二阶的分子、分母多项式组成一个二阶网络。,5.3 IIR系统的基本网络结构,5.3 IIR系统的基本网络结构,三、并联型,将H(z)展成部分分式形式得到IIR并联型结构，即：,式中，Hi(z)通常为一阶网络和二阶网络，网络系数均为实数。,二阶网络的系统函数一般为：,式中，0i、1i、1i和2i都是实数。如果a2i=1i=0则构成一阶网络。,其输出Y(z)表示为：Y(z)=H1(z)X(z)+H2(z)X(z)+Hk(z)X(z),表明：将x(n)送入每个二阶(或一阶)网络后，将所有输出相加得到输出y(n),5.3 IIR系统的
12、基本网络结构,优点：运算速度最高；无误差积累，各级误差互不影响，仅极点调整方便。所以，在要求准确传输极点的场合，宜采用这种结构;缺点:零点调整不方便，当H(z)有多阶极点时，部分分式展开不易。,例:若系统函数，求H(z)的并联型结构。,解：,将 H(z)表示成 z的正幂形式：,对H(z)展开成部分分式：,5.3 IIR系统的基本网络结构,将上式每一部分用直接型结构实现，其并联型结构如下图：,5.3 IIR系统的基本网络结构,例：一滤波器的差分方程如下，求出其级联形式。,（手工计算复杂，用MATLAB）,解：,b=1-3 11-27 18;a=16 12 2-4-1;sos,G=tf2sos(b
13、,a),运行结果为：sos=1.0000-3.0000 2.0000 1.0000-0.2500-0.1250 1.0000 0.0000 9.0000 1.0000 1.0000 0.5000G=0.0625,滤波器的级联结构为：,5.4 FIR系统的基本网络结构,FIR网络结构特点：,无反馈，其单位脉冲响应 是有限长的。一般呈现非递归结构。可用直接型、级联型和其他类型实现。,FIR网络可表示为：,或,5.4 FIR系统的基本网络结构,一、直接型(或称卷积型、横截型、横向型),直接按H(z)或者差分方程画出没有反馈支路的结构图。,5.4 FIR系统的基本网络结构,二、级联型,H(z)进行因式
14、分解，并将共轭成对的零点放在一起，形成一个系数为实数的二阶网络，形式如下：,0i、1i、2i都是实数。如果2i=0则为一阶网络。,优点：调整零点位置比直接型方便。缺点：所需乘法器较多，H(z)阶次较高时，因式分解不容易。,FIR网络结构中还有线性相位型，将在第七章介绍。,5.4 FIR系统的基本网络结构,例:已知FIR网络系统函数H(z)=0.96+2z-1+2.8z-2+1.5z-3，分别画出H(z)直接型与级联型结构。,解：1.根据H(z)直接画出FIR直接型结构,2.对H(z)进行因式分解，H(z)=(0.6+0.5Z-1)(1.6+2Z-1+3Z-2)，画出级联结构：,5.4 FIR系
15、统的基本网络结构,三.频率采样结构,频率域等间隔采样，相应的时域信号会以采样点数N为周期进行周期性延拓，如果在频率域采样点数N大于等于原序列的长度M，则不会引起信号时域混叠，此时原序列的z变换H(z)与频域采样值H(k)满足下面关系式：,k=0,1,2,N-1,要求：频率域采样点数NM，上式提供了一种称为频率采样的FIR网络结构。,对H(z)的内插公式写成下式：,H(z)是由一梳状滤波器Hc(Z)和N个一阶网络Hk(z)的并联结构进行级联而成。,5.4 FIR系统的基本网络结构,网络结构中有反馈支路，是由Hk(z)产生的，其极点为Zk=WN-k，即单位圆上有等间隔分布的N个极点，由于Hc(z)
16、为梳状滤波器，其零点为：,零点也是等间隔分布在单位圆上。理论上，极点和零点相互抵消，保证了网络的稳定性。,FIR滤波器频率采样结构,5.4 FIR系统的基本网络结构,优点：,频响特性调整方便，在频率采样点k，H(ejk)=H(k)，只要调整H(k)(即一阶网络Hk(z)中乘法器的系数H(k)，可有效地调整频响特性。易于标准化、模块化：只要h(n)长度N相同，对于任何频响形状，其梳状滤波器部分和N个一阶网络部分结构完全相同，只是各支路增益H(k)不同。这样，相同部分便于标准化、模块化。,缺点：,系统稳定是靠位于单位圆上的N个零极点对消来保证的，由于寄存器的长度有限，有限字长效应可能使零极点不能完
17、全抵消，影响系统的稳定性。由于H(k)和WN-k一般为复数，要求乘法器完成复数乘法运算，这对硬件实现是不方便的。,5.4 FIR系统的基本网络结构,为了克服以上缺点，采取下面修正措施:,1.将单位圆上的零极点向单位圆内收缩一点，收缩到半径r1且r1，这样，以z/r代替原H(z)表示式中z。,确保极点在单位圆内，系统稳定。,5.4 FIR系统的基本网络结构,2.若h(n)是实序列，根据其DFT变换对称性，H(k)=H*(N-k)，旋转因子(WN-k)*=WN-(N-k)，将Hk(z)和H(N-k)(z)合并为一个二阶网络，并记为Hk(z),a0k=2ReH(k)，a1k=2RerH(k)WNk,
18、k=0,1,N/2-1；,5.4 FIR系统的基本网络结构,当N为偶数时，H(0)和H(N/2)为实数，H(z)可表示为：,当N为奇数时，只有H(0)为实数，H(z)可表示为：,可见，当采样点数N很大时，网络结构很复杂，需要的乘法器和延时单元很多，对于窄带滤波器，大部分采样值为零，使二阶网络个数大大减少，所以频率采样结构适合窄带滤波器的设计。,5.4 FIR系统的基本网络结构,1、在IIR基本网络结构中，哪种网络结构的误差积累最小【】直接型 级联型 并联型 无法比较 2.在IIR基本网络结构中，零、极点调整均方便的网络结构是【】直接型 级联型 并联型 无法比较,本章作业,第1题,第7题,第8题,第13题,线性相位,幅频响应相频响应,如果：,我们称其为线性相位。,具有线性相位,
