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1、第三章:斯托克司边值理论,长安大学,地质工程与测绘学院,张永志,地球的正常重力场,由于地球和大地水准面的不规则性,选择一个旋转体作为地球的近似:该质体应满足:1、旋转体产生的重力位、重力与实际重力位、重力相近2、表面为重力位水准面。,确定正常重力场的方法,1、将重力位展开成级数，取最大的几项作为正常位（拉普拉斯方法）2、选择一个质量和大小为已知的质体，该质体以已知的角速度旋转，其表面为重力位水准面（斯托克斯方法）,正常重力公式,单位:Gal,3.1 扰动位、大地水准面高和垂线偏差,（一）扰动位 扰动位定义为同一点上重力位与正常重力位之差。扰动位的定义用数字公式表示出来为 T=W一U,3-1-1
2、 它是指空间同一点上W与U之差。,(二)大地水准面高(差距),大地水准面是大地测量中一个很重要的概念，它定义为与平均海水面最为接近的重力位水准面，是海拔高程的起算面。大地水准面高是描述大地水准面形状的一个量，它是由平均椭球体表面到大地水准面的垂直距离，向上为正，向下为负。,如图3-1所示，S为平均椭球体表面，为大地水准面，P为大地水准面上的一点，点为P点在平均椭球体表面的投影，则大地水准面高即为有向线段。用 表示平均椭球体表面的正常重力位，表示大地水准面上的重力位，表示过P点的正常重力位水准面上的正常重力位，则由重力位的性质知,3-1-2,利用(3-1-1)得,其中 和 分别为大地水准面上的扰
3、动位和平均椭球体表面上的正常重力。,3-1-3,图 3-1,由于定义平均椭球体表面的正常重力位等于大地水准面上的重力位，即，所以(3-1-3)简化为,因为 是微小量，在一级近似下我们用 的全球平均值 来替换它，这相当于省略扁率级的量，所以这种近似称为球近似，,上述三个公式(3-1-3),(3-1-4)和(3-1-5)统称为布隆斯公式。,3-1-4,3-1-5,(三)垂钱偏差,这里的垂线偏差指重力垂线偏差，它是大地水准面上某点的重力方向与通过该点到平均椭球体表面的法线方向之间的夹角。垂线偏差除大小之外，还必须指出偏离方向，这就需要至少用它在两个方向的投影来描述，一般取向南的分量 和向西的分量 来
4、表示，如图3-2所示，轴垂直于平均椭球体表面。,3-2,垂线偏差,垂线偏差,由于正常重力垂直于xy平面,所以有,垂线偏差,垂线偏差,由于垂线偏差很小,通常小于1秒,垂线偏差,将x,y的微分用子午圈和卯酉圈的弧长微分表示,用地球平均半径代替子午圈和卯酉圈半径,用正常重力代替gz,垂线偏差,我们将地面作球面对待，此时，用地球的等体积平均半径R代替a和b，而且地理纬度B和地心纬度 也没有差别了，(3-1-14)简化成,该式中的N也应以其球近似代替，它就是垂线偏差的球近似公式。,3-1-6,3.2 重力异常和斯托克司边值问题,(一)重力异常和重力测量基本微分方程,用 表示大地水准面上某点的重力，表示该
5、点在平均椭球体表面上投影处的正常重力，如图3-1所示，我们称 和 之差为重力异常。仍然用 和S分别表示大地水准面和平均椭球体表面，用 和 分别表示 和S的外法线方向，则,3-2-1,3-2-2,所以，重力异常为,忽略n和 之间的差别,3-2-3,3-2-4,重力异常（混合重力异常）：大地水准面上的重力值减参考椭球上的正常重力值。纯重力异常：同一点的重力值减正常重力值。,将 按泰勒级数展开，得,由于第二项是一个很小的量,可以将S面当作球面,球半径的法线与椭球的法线相同,而且用平均引力位来代替正常位,3-2-5,重力测量基本微分方程,大地测量基本微分方程为,(二)斯托克司边值问题,我们的任务始终是
6、确定地球外部的重力场，即计算地球外部的重力位，重力位又分成了正常重力位和扰动位。正常重力位是已知的，所以我们只须求出扰动位。,重力测量基本微分方程事实上是扰动位在边界面大地水准面上满足的一个第三边值问题，如果大地水准面外部没有质量的假设得到满足，则求解大地水准面外部扰动位的问题就转化为解算在边界面大地水准面上以重力测量基本微分方程为边界条件的拉普拉斯方程。由于边界面大地水准面是未知的，它依赖于扰动位，所以上述求解扰动的问题又称为自由边值问题，也称为斯托克司边值问题。,虽然斯托克司边值问题的边界面大地水准面是一个自由面，但我们知道大地水准面很少超过100m，所以在求解斯托克司问题时，我们将大地水
7、准面当作椭球面就很精确了，但由于平均椭球体的扁率也只有1/300的量级，所以，在绝大多数情况下，采用球近似就可以保证足够的精度，这样带来的相对误差也是1/300的量级，大地水准面高的误差一般都小于1m。上述将大地水准面近似地看成椭球面或球面事实上是自由边值问题简化成了固定边值问题。最后注意，球近似中省略的是微小量中的高阶微小量，在求解 时，必须采用平均椭球体表面的。,大地水准面上扰动位的解,基本微分方程,假设一个辅助函数E为,大地水准面上扰动位的解,E在球面上的数值为,大地水准面上扰动位的解,如果E在球外是调和的,在无穷远处是正则的,可通泊松积分求E,然后由E求T.,将两边同时乘d,并在R对积
8、分,大地水准面上扰动位的解,大地水准面上扰动位的解,大地水准面上扰动位的解,将上式两端乘-22,并同时减去/r得,大地水准面上扰动位的解,两边同乘/r3,大地水准面上扰动位的解,采用分步,大地水准面上扰动位的解,令x=,a=1,b=2Rcos,c=R2查积分表,地水准面上扰动位的解,水准面上扰动位的解,将上式两边同除以2,并令S(,),水准面上扰动位的解,上式称为广义斯托克斯函数,当=R时,称为斯托克斯函数,相应的扰动位,斯托克司积分,式中,A和分别为方位角和极距.,维宁、曼尼兹公式,3.3 扰动位的球近似解,(一)级数解,设平均椭球体的质心与地球的质心重合，并采用地球质心主惯轴坐标，则正常引
9、力位和引力位的球函数级数展开式中均没有一阶球函数的各项;由于平均椭球体的质量与地球质量相等，所以正常引力位和引力位中的零阶球函数项相等综合这些讨论可将扰动位的球函数级数展开式写成,其中采用R而不采用a是球近似的原因。,3-3-1,（3-3-2）,其中，,为了求得 与，将 展开成球函数级数,3-3-3,为单位球面，面积元是,也理解为积分变量 和 的函数。的球函数级数展开式(3-3-3)中没有零阶和一阶球函数项是(6-3-2)式的一个直接推论。,最后，比较(3-3-2)和(3-3-3)便得,3-3-5,然后再将(3-3-4)代人，得,其中的积分变量是 和,也被看作 与 的函数。我们将证明，最后一个积分号下的级数是收敛的，固可将连加号和积分号变换次序。,(二)积分解,令,则扰动位可写成,利用加法公式可将S(,)换算成S(,)如,其中 为球面上坐标为(，)和(,)两点相对于球心的夹角，即计算T的点(,)与积分流动点(,)的球心角。,具体地，实际地球的重力位可写成,
