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1、【小学教学精品资料】,新课程理念下小学数学教学中的几个问题,曲阜师范大学数学科学学院陆书环,一 如何用好“新教材”,伴随着基础教育新课程体系的诞生，新课程走进了学校，受到教师们的广泛认同。新教材在遵循科学性、思想性的基础上，较老教材更注重可读性、实践性、综合性、创造性。新教材通过题材选择、内容设计、结构编排等充分体现了最新的数学教育理念，同时又提示我们在教学实践中怎样去实践标准中的基本理念，很好地引领我们走进新课程。,在教学过程中，教师们普遍感到，新教材无论从内容的选择还是呈现方式上，都很好地体现了“以学生发展为本”的理念，图文并茂、形象直观、生动有趣，贴近学生生活，充满时代气息。然而，当他们
2、真正走进课堂才发现，课程标准是新的，教材是新的，可在实际的教学中却很难跳出旧式教学的门槛。为此，很多教师感到茫然、苦恼；但也有教师认为，既然现在已课改，就要将旧式的方法丢掉，真正转为开放式的教学。,面对这两种现象，到底如何用好“新教材”，我认为：教材是新一轮课程改革理念的文本体现，是一个载体，需要每一个教师去挖掘、去创造。只有认真研读教材、感悟教材、领会教材、创新教材，一切从教材出发，才能把握教材、正确地使用教材，最终达到用好“新教材”的目的。因此要用好新教材必须从以下几点做起.,(1)要用好“新教材”，就要认真研读题材情景图,基于学生的生活教学，充分调动学生的兴趣和积极性,翻开人教版教材，可
3、以看到很多题材都来源于学生熟悉的生活，题材源于生活是人教版新教材的一大特色。生活中有许多的教育资源不仅应用到实践活动中，对数学课堂教学资源也有很大的补充。要精心钻研教材挖掘社区中的资源，并运用到课堂教学中来。,例如：“测量”一章中认识毫米、分米时对数学书、作业本厚度和长度的测量、估计硬币的厚度、1千米有多长等活动；“有余数的除法”一章中课间半小时、布置联欢会场、森林餐厅等插图；“面积”一章中感受面积单位的大小（活动）、测量火车站的面积（插图）、天安门广场鸟瞰图；“位置与方向”一章中的校园图、动物园图等等，很多很多.上述材料都是教材在生活中所选的优秀教育资源。,除了数学教材所选的题材，还可以将其
4、扩展到教材外，只要所选内容基于学生的生活。如“位置与方向”一章中，可以将咸丰的公交车路线图、南门新地图方向辨别以及判断一栋楼房几个具体的方位等作为学生学习位置和方向这一知识的良好习题补充资源，这样自然也提高了小学生的学习热情和积极性。,不言而喻，贴近生活的题材选择使学生的学习热情高涨，很有可能放学的路上都还在讨论有关路线及城区小地图的问题。这样，不仅能很快地理解，还能正确地加以运用。所以，只要我们留心观察孩子们的生活，找准教学的“切入点”，就会使我们的教学收到事半功倍的效果。小学生学习很大程度上取决于他们对呈现材料的兴趣，选取他们身边熟悉的情境现身说法，不仅能极大地调动学生的学习积极性，更能较
5、持久地保持，以便深入理解，为进一步建构知识奠定了较好的基础。,(2)要用好“新教材”，就要极力注重实践操作，基于学生为活动主体的教学，让学生经历探索数学知识的形成过程,下面是一位特级教师上过的一节课的课堂实录.内容是：让学生感受不确定现象（随机现象）。,师：大家摸过奖吗？生1：摸过。我还得过玩具小熊呢！生2：我也摸过。不过什么奖也没有中到。师：老师这里有两个盒子，里面各放有5个乒乓球，如果摸到黄颜色的为中奖，其它则不能中。（先猜一猜）谁愿意上来试试？（两生上台，老师出示1号盒和2号盒，让学生动手摸奖，分别摸5次，再验证。）,师：（对1号选手）恭喜你，你每次都中得了大奖！（对2号选手）很遗憾，你
6、一次也没有中奖！师：老师看2号小朋友还有些不甘心，大家能不能再给他们一次机会？生：行，再来一次！师：那你们两人再摸一次吧！（情况同上。）,师：（疑惑地）为什么1号小朋友每次都能得奖，2号小朋友一次都没有中奖？请他们把盒子打开给大家看一看。（学生打开盒子，1号盒为5个黄球，2号盒为5个白球。）生：啊！原来1号盒全是5个黄球，2号盒全是5个白球。师：大家认为老师这样放球公平吗？生1:不公平!1号盒全是黄球，他每次都会中奖。生2：如果这样摸的话，1号选手每次都能得奖，2 号选手一次也不会中奖。,师:那么大家想一想怎样才算公平？（学生小组交流讨论汇报。）生1：全部都放白球。生2：全部都放黄球。生3：两
7、种颜色的球都放几个。生4：每个盒子都放入两种同样多的球。师：那么大家认为哪一种最合理呢？生：每个盒子都放入两种同样多的球。,师：老师就照同学们的意见。现在向3号盒放入5个白球，5个黄球。师：现在我请3个小朋友上来，再做一次摸奖游戏。（3名学生依次上场。）,师：（问1号选手）你能预测一下你这一次摸奖结果吗？生：一定能得奖。因为盒子里全都是黄球。（板书：一定。）师：（问2号选手）这次你能得奖吗？生：不可能，因为盒子里没有黄球。（板书：不可能。）师：一次都不能中吗？生：肯定不会中！,师：（问3号选手）你能说说这次摸奖后情况吗？生：有可能中奖，也有可能不中奖。（板书：两种可能。）师：为什么？你能给大家
8、说说原因吗？生：因为盒中放入了不同颜色的球，两种情况都有，都可能出现。师：说得真好！你们现在就开始再次摸摸吧！,教师小结：刚才通过两个小游戏，我们知道有些事情是可以确定的，它一定会发生或不可能发生；有些事则是不能确定的，只是具有发生的可能性。我们生活中所有的事件发生的结果都可以用“不可能、一定、可能”三种结论来预料。,这节课我自认为比较好的体现了“以学生发展为本”的新课程理念，将“到底如何让学生经历探索数学知识的形成过程”这一人教版特色落到了实处。数学学习是不是活动的、合作的、富有反思的，学生能否成为活动的真正主体，主要取决于教师的课程理念与行为。,在课堂上，学生既要经历数学化的过程，又要经历
9、社会化的过程；既要建构数学意义，又要建构伙伴关系，还要建构积极进取、充满自信的自我。可以看出：要使学生真正融入其中难度还是比较大的，那么就很需要老师的实时帮助和点拨了，比如：做到心中始终“装着学生”，注意倾听，努力营造宽松、和谐、师生平等、相互尊重,的课堂氛围。善于把握课堂动态生成的资源，比如：关心那个“不服输”的小朋友，再给他一次机会，及时处理这个突发事件，及时抓住了师生进行深度对话的契机，其意义不仅是为一个学生提供充分表达自己思想的机会，而是给全班学生提供了一次反思性学习的机会。这样，通过学生自己认真观察、猜想、验证、比较、推理、实践、交流等丰富的数学实践活动，使学生真正成为活动的主体，经
10、历知识的形成过程，就会在他们的脑海中形成较深的印象，真正让所学知识成为己有。,(3)要用好“新教材”，就要真正开放学生思维，尊重学生个性，在倡导学习方式多样化的过程中体验方法的最优化,在人教版教材中，我们可以看到很多编者精心设计的问题。如(1)“图中还可以比什么？”(2)“还可以怎样分？”(3)“看到每一组,还能想到什么？”(4)“你喜欢用哪种方法？”(5)“还可以怎样算？”(6)“你是怎样想的？”(7)“你还能提出什么问题？”(8)“怎样数比较快？”等,从这些问题的设置，我们不难发现它们都是开放性的，既无标准答案，又无固定模式，由此不难体会编者对学生求异和发散思维的引导以及对学生自主意识、创
11、新意识的鼓励。现在我们以倡导算法多样化、体验算法最优化的计算教学为例来具体分析一下这方面的认识。,计算教学是数学教学中的一个重要组成部分，但由于内容本身的抽象性、逻辑性比较强，学起来固然有些枯燥，但我们可以通过情景导入、经历计算过程、体验算理、感悟算法这些具体的步骤使学生成为学习的主体，把枯燥的计算课变成思维发散的教学活动。,在面对一个计算问题时，计算的方法可以是多样的，它只要求思维的方法和过程是合理的、合符逻辑的。标准中指出：“由于学生生活背景和思考角度不同，所使用的方法必然是多样的，教师应尊重学生的想法，鼓励学生独立思考，提倡计算方法的多样化。”这一理念在人教版课标教材的计算教学编排中得到
12、了充分的体现。“你喜欢用那种方法？”“你还可以怎样算？”等问话更是俯首皆拾。允许学生联系生活经验探索不同的算法，然后相互交流、比较、创造新的算法，最后实现算化最优化。,案 例下面是教学“多位数乘一位数”笔算乘法（2）时的一个片段：师出示情景图：开学之初，王阿姨买了三套书，每套18元，王阿姨一共买了多少本书？师引导列式：18*3=生计算（用自己喜欢的方法）,师指名展示其算法：（1）18 3=18+18+18=54（2）18 3=（20-2）3=60-6=54（3）18 3=6 3 3=6 9=54（4）18 3=（6+6+6）3=6 3+6 3+6 3=18+18+18=54（5）18 3=（1
13、0+8）3=10 3+8 3=54,师：每一种算法都有相应的支持者，都很不错，现在就请大家用自己喜欢的方法完成这个练习：259=？生思考，认真完成。,师：通过刚才对这道题的计算，你认为哪一种计算方法更方便快捷呢？师生讨论交流（师的语言要委婉）生1：（4）与（1）实际上是一种，而且（4）还更复杂了，可以用（1）就行了。生2：（1）本来也不错，但对于259来说，已变成9个25相加了，这也挺复杂的。生3：（3）本来挺好的，但对于259来说，已变成：259=559=545=，这样基本上就没有起到简便的作用了，所以呢！这种方法也不是太好。,师：所以对于今天所学的内容，我认为第（2）种和第（5）种方法最好
14、，大家同意吗？生：（都很高兴、心服口服的回答）同意！这样的计算教学不仅仅是关注学生学会了什么、知道了什么，更重要的是还关注了学生“创造”了什么，使学生经历了数学的活动过程，获得了真正的情感体验。,通过上例，可以不难看出算法多样化和最优化的体现所在。算法多样化的实质是希望每个学生能独立思考，拿出体现自己个性的解决问题的方法，是对学生个性的尊重。因此我们教师要解放自己的思想，开放学生的思维，只要是学生自己开动脑筋想出来的方法，此时对于学生来说就是好方法。教师不要急于评价，教师要做的应该是引导学生通过比较各种算法的特点，总结出更方便快捷的好方法，达到算法最优化的目的。选择适合于自己的方法，让学生用自
15、己的方式去解决问题，老师再加以正确引导，这样就会让他们感受到成就感，渐渐地对数学产生兴趣，主动地去学习更多的数学知识。,(4)要用好“新教材”，就要努力创新教材内容，在教材与教学的融合中，让学生感受数学文化的魅力和体验数学世界的美妙神奇 数学世界是丰富多彩的，儿童的数学学习也是多姿多彩的，尽管新教材在教学中的作用非常巨大，但是在反复的“去粗取精”、“去烦求简”后，教材内容也显得更加凝练和精悍了，教师在使用教材的过程中，总要通过创设情境、选取素材、设计思路、组织教学等方式，不同程度地将自身对教材内容的理解融入到教学实践活动之中，或合并、或调整、或补充、或删减实现教材内容与教学方法的有机融合。这种
16、融合的过程，是教师教育思想、专业素养、教学能力的转化过程，也就是一个创新教材内容的过程。,所谓“创新教材内容”，一方面是指对课本进行个性化加工和处理，对原有教材呈现的教学内容、组织方式、活动形式、目标任务等进行较大调整，形成合理、生动、有效的教学预案。比如：“年、月、日”一章中的“例1”“认识2003年年历，回答有关问题。”当把教材编排的问题解决后，老师可以启发式的问学生：“是不是每一年都有12个月？”“是不是每个1月都是31天？”“每个二月都是28天吗？”如果有学生提出异议，就可以建议学生课后收集资料来解决这个问题。,如果条件允许，还可以把“例2”一起讲解（当然，这样就需要让学生前一天准备一
17、些其它年份的年历），这样，就可将联系紧密的知识整合，有利于学生掌握。通过学生对数学知识本身内在的逻辑推演、规律发现、自主应用，来感受数学的美丽，在一次又一次的发现与挑战自我中获得深刻的情绪体验和学习经验，从而感到“数学好玩”，“学习有味”。,另一方面“创新教材内容”也包括根据教学需要和学生学习实际，自主开发一些新的教学内容，对学生的课本学习形成补充和拓展。比如：在讲述“统计”中的“平均数”时，当最后得出结论“平均数能较好地反映一组数据的总体情况”时，可以再让学生每人说一句能体现“平均数”这一含义的句子，如：某集团上半年月均生产滑板车8万辆；2004年某旅游景点国庆期间平均每天游客有7000人等
18、等，并全班交流。,这样就可以使学生在知识上真正实现正迁移。这样使所学内容由理解到运用，多维度构建主体化的“平均数”概念，基本体现了数学课程标准在第二学段提出的要求，通过数学思维拓展，让学生感受数学文化的魅力，体验数学世界的美妙和神奇，从而促进学生对数学学习的情感变化，与学生的课本学习交相辉映，共同实现数学教育的目标和任务。,以上所述四个方面的认识，在很大程度上是相辅相成、融会贯通的，尤其是第四点与前三点联系非常紧密。在新课程理念下，我们提倡教师有自己的教学风格，这就要求教师一切从教材出发，认真研读、感悟、领会和创新教材。只有品出了其中的内涵，悟出了其中的精髓，把握住了新课堂的脉搏，真正吃透了教
19、材，才能有效地用好“新教材”.使自身的教学水平不断提高，让学生真正走进新课堂。,二 在新旧教材的对比中用好新教材,在实施新课程的过程中，特别是在教学一些传统内容时，老师们往往存在着一些偏差：一是认为这些内容已了然于胸，没有什么新意可言，只要按照经验中传统的方法教学就可以了；二是为了体现新课程的“新”，在教学形式上花样翻新，忽略了数学知识的本质。这两种现象对于新课程的有效实施都是非常不利的，其共同点都是轻视了对教材的研读和分析，这也是当前教师专业素养提高的一个薄弱环节，应引起我们的重视。,随着老的原义务教材逐渐被新的课标教材所取代这一现实，考虑到老师们业已形成的教学观念和教学工作的连续性，以及教
20、材更替过程中传承和创新等因素，将同一教学内容的新老两种教材放在一起对比分析，对于我们领会新教材的编写意图、把握其实质，从而更好地进行教学不失为一种有效的方法,大家知道“分数的初步认识”这一内容现存于四年级人教版九年义务教育小学教科书数学（以下简称义教版）和三年级人教版义务教育课程标准实验教科书数学（以下简称课标版）之中。下面综合对这一内容的几节公开课教学，以其中的“认识几分之一”为例，谈一谈对上述问题的一些认识。,(1)比教学素材,以贴近儿童实际生活的情境为素材，唤醒儿童已有的知识和经验，为新知的学习提出一些具有思考性的问题，这是课标教材的一个特点。,平均分”是分数的前提和基础，在两种版本的教
21、材中都十分重视。不同的是，两种版本对于这一概念所关注的程度和侧重点有所差别.义务教材仅以一个“分月饼”的例子引入，但在分数意义的初步建立中给予了足够的强调.课标教材则安排了一幅主题图，从大量的学生熟悉的生活实例如分西瓜、苹果和月饼、搭积木以及折纸中引入，为学生提供了许多平均分的素材和原型，不仅让学生认识到“平均分”这一现象的普遍存在，也认识到了分数产生的需要。,两种教材相比较我们不难发现，课标教材十分关注学生的知识经验，为学生的自主建构打下了良好的基础；密切联系学生的生活实际，生动活泼，有较好的亲和力；有强烈的问题意识，能较好地激发学生的求知欲望。同时，在学生初步认识了分数的意义后，主题图又可
22、作为学生巩固应用的素材。应该说，课标教材所提供的学习素材是丰富的，其内涵也是十分深刻的。,在教学中，我们不仅要领会教材的编写意图，更要创造性地用好这些素材。从本部分内容的几节公开课中了解到，无论是使用哪种版本的教师，都注意到了为学生提供一定的关于“平均分”的素材，这从一个方面反映了新课程在理念和实践上的广泛推进，是一种可喜的现象。,值得注意的是，教师对课标教材为什么要补充这些素材的实质缺乏了解，在操作层面上存在形式化的倾向，许多“平均分”的素材成为了一种现象的罗列，对其教学意义挖掘不够。例如，对于平均分得的每一份的结果能否用自然数表示，未能引导学生去思考，认知矛盾没有突出出来，分数产生的需要不
23、能内化为学生学习的需求。再如，对于“图形平均分”这一介于实物与抽象分数的中介素材，得不到重视甚至忽略，学生对“平均分”的内涵和外延把握不够，势必影响对分数意义的建立。从比较中深刻认识素材的重要价值和意义并应用到教学实践中去，是促进学生主动学习的前提。,(2)比呈现方式,教材的呈现方式不仅承载着教学知识，还蕴涵着学习方式和教学行为的提示，不同的呈现方式反映了不同的教学理念。比较而言，老教材结构严谨，组织细密，倾向于传授接受性的学习，教师易于把握；新教材有一定的跳跃性，倾向于学生的自主建构，为学生的自主探索和教师教学化处理留有空间，教师则普遍反映难以把握。我们仍可通过比较，从变化中发现一些潜在的痕
24、迹，从而深刻领会其意图。,从整数到分数是数系的扩展，是学生认识上的一次飞跃，需要经历一个逐步数学化的过程。新老教材在呈现“1/2”这一分数时都是直接提出分数的意义.所不同的是，课标教材增加了“每份是这块月饼的一半”这句话。“一半”是学生的生活经验和生活语言，则是这一生活经验数学化的结果教材的这一变化，提示我们要在这二者之间架起一座桥梁，引导学生逐步抽象。,教学时，有的教师跳过了这一过程，直接给出，使学生失去了一次认知提升的机会。有的老师则先让学生用不同的个性化方式表示“半块月饼”，如“半块、一半、”等等，再让学生通过比较其优劣逐步认同“1/2”，这样处理可说是领会了新教材的真谛。分数的意义应建
25、立在丰富的感性材料的基础上，新老教材在这一点上是一脉相承的，所给出的例子都较为丰富。,不同在于呈现方式上，义务教材以5个例题逐步呈现1/2、1/3、1/4、1/5、1/10等几个分数，是一种线性的安排，教学形式缺乏变化，是一种机械的累加过程。课标教材在出示“1/2”后，仅出示了“1/4”这一例子，要求学生根据1/2的意义迁移类推其意义，这体现了学生学习方式的变化。紧接着，教材安排了“折出一个正方形的1/4”这一活动，意在让学生认识到：虽然折法不同，形状不同，但都是平均分成四份、取一份，都可用同一分数表示，进一步突出了分数的本质内涵。同时，活动的开放性、折法的多样性也给了学生一个创造的空间，个性
26、化的学习行为及合作学习方式都得到了体现。,相比于义务教材这一部分内容的呈现，在突出分数的本质意义和改变教与学的方式上都有较大的突破，值得我们去认真揣摩。可惜的是，有的教师仍以图形的展示代替学生的动手操作，学生失去了一次亲历的机会，感受与体验显得苍白；有的教师则纠缠于不同折法的展示与讨论，未能引导学生通过比较抽象出其共同点，学生的思维始终处于直观的水平，没有上升到应有的层次。,事实上，新教材的这种编排特点向我们提出了挑战，需要我们不断提高专业素养和专业水平。在当下的实际情况来看，如能把两种教材联系起来分析，对我们的教学应是有一些启发的，也有利于我们的继承创新，如上例中可克服新教材例1过于简约这一
27、问题，借鉴老教材适当补充一些例子。,(3)比教学内容,教学内容是根据数学知识结构体系、教学目标和学生的认知特点确定的，体现了小学数学教材螺旋上升，逐步提高的特点。新老教材的某些内容在知识点的包含上并无二致，不同的是小节教学内容的划分，老教材追求的是知识结构的严密和完整，新教材则更为关注学生的学习。,在本节内容中，义务教材安排了通过线段认识1/10的例子和分数各部分名称的教学，课标教材则把这些内容后移到“认识几分之几”中，并改线段图为条形图。教材这样安排的意图在于：由于学生学习方式的改变，特别是一些探究性学习需要耗费大量的时间，一小节内容安排过多势必会加大学生的学习难度。更为重要的是，“十分之几
28、”的学习相对于“十分之一”的学习，更有助于为小数的学习提供较为丰富的认识，而分数各部分名称的学习放在“几分之一”中则是不全面的，不利于学生深刻领会分数中各部分名称所表示的含义。同时，改线段图为条形图则更为直观，符合第一学段学生的认知特点。,教材的这些变化体现了为学生的发展服务的理念，我们不仅要体会它，更要落实好。有些教师不顾教材意图和班级教学实际，随意增加教学内容的做法是不可取的，是一种以知识传授为本、急功近利的表现。对于使用义务教材的教师，由于课堂教学行为的变化，不必拘泥于老教材的内容划分，可根据教学实际对教学内容适当调整，以免加重学生负担。更为深入的认识应是，教学内容的划分不是一个简单的可
29、多可少的问题，它反映的是不同的教育理念下的实践行为，只有心领神会，才能付诸实施,(4)比练习应用,练习具有巩固、深化和提高的作用，是教材的重要组成部分。分析研究与教学内容相匹配的练习，了解其功能是我们分析教材的重要环节。老教材题型丰富、题量较多，学生通过训练能获得扎实的基本功，这是我们数学教育的优势，是值得我们去继承和发扬的。新教材在这个方面则略显不足，但是，新教材在实践应用和开放创新以及遵循学生认知规律等方面又有着自己的特色。通过比较，取长补短是我们应持的态度。,“几分之一”的练习编排，义务教材在“做一做”中对应安排了两道题，一是用一长方形的纸分别折出它的1/2、1/4、1/8，并涂上颜色；
30、二是判断几个图形的涂色部分能不能用1/4表示。课标教材在“做一做”中只对应安排了一道题，把4个图形的涂色部分用分数表示出来。“练习”中两种版本在题量和题型安排上无差异，一是涂色表示分数，二是判断图形能否用分数表示。,从以上所列不难看出，新老教材都十分重视图形与分数的对应关系，都突出了对“平均分”这一本质特征的认识，都体现了方法的开放性，这较好地体现了新老教材的传承关系。不同之处，一是新教材的题量略少，二是在“做一做”中不再安排动手操作，而是从形象的图形到抽象的数，是一个逐步抽象与提高的过程，是符合从动作图式抽象的概念学习规律的。,在教学中，教者都能适当补充一些练习，这是可取的。特别是把同一个长
31、方形分别平均分成2份、4份、8份，把其中的一份涂上颜色，让学生用1/2、1/4、1/8表示出来，这不仅强化了分数的本质特征，让学生感受到量变与质变的关系，也为分数大小的比较埋下了伏笔，是创造性使用教材的例证。而一些教师在练习时，还让学生去折纸表示1/2、1/3、1/4、1/5，不仅费时费力，而且阻碍了学生思维水平的发展，这就不足取了。比较分析练习的编排，在继承的基础上创新，应是研读教材不可或缺的重要环节。,“分析教材、吃透教材”这个我们曾经熟悉的口号现在已听不到了，是时代发展了不再需要吗？从现实的情况看，不是不需要，而是值得我们再度大力提倡的。学习教材的方式很多，有专家报告、教材培训、学习观摩
32、等，相对于农村学校的实际情况和广大教师富有独特感受的教学经历来看，比较研读是一种简便易行、行之有效的方法。从同中求继承，在异中谋发展，深刻领会教材的编写意图和设计思路，切实把握教学内容与教学方法，对于我们实施有效教学是有着十分重要的意义的。,三 关于在新教材中渗透现代数学思想的问题,当今数学教育界，非常重视数学思想方法在教学中的渗透。然而实际教学中，部分教师对数学思想方法的理解及应用还存在着偏颇.下面以小学数学教学中极限思想的渗透为例提出一些教学中的观点。,极限是用以描述变量在一定的变化过程中的终极状态的概念。极限的思想方法为建立微积分学提供了严格的理论基础，极限的思想方法为数学的发展提供了有
33、力的思想武器。同时这种数学思想方法在小学阶段的许多教学过程可加以渗透和应用,在中小学数学教育中占有重要地位.下面对极限的思想方法应用于小学数学教学之中,提出一些观点进行探讨与交流。,下面是大家非常熟知的一个故事：有一个牧民，临终前要把17匹马分给他的3个儿子。于是留下遗嘱：分给老大1/2，分给老二1/3，分给老三1/9。牧民死后，三个儿子都不知道如何来分。一位邻居牵来自己的一匹马来帮忙分，这时就有18匹马了，所以老大得9匹，老二得6匹，老三得2匹，邻居牵着自己的那匹走了。,有人对上述分马的方法提出了异议，认为这实际上分的是18匹马，而不是17匹。那么我们不妨换一种办法来分:共17匹马。老大可以
34、分得：171/2=17/2匹；老二可以分得：171/3=17/3匹；老三分得171/9=17/9匹。还剩下1717/217/317/9=17/18匹。我们就把剩下的17/18匹马按遗嘱继续分。老大又可以分得：17/182 匹；老二又可以分得：17/183匹；老三又分得17/189匹。还剩下 17/18 2匹。就这样我们可以继续不断地分下去,现在让我们来看一看老大分得的马匹数：第一次得17/2，第二次得:17/182，第三次得:17/(18 2)2，第次得17/(18 n-1)2 这是一个无穷递缩等比数列，这个数列所有项的和是S=17/2+17/182+17/(18 2)2+17/(18 n-1
35、)2+=17/2/(1-1/18)=9，即老大分得9匹。,利用这种办法我们也可以求出：老二可以分得6匹，老三可以分得2匹。而9+6+2=17，恰好分完。这样既满足了牧民的心愿，又符合规则，问题得到圆满解决。“借马分马”的故事虽然简单，但第二种分马的方法其中所蕴含的极限思想却极其珍贵。如果你只认识到“只分一次”是不够的，这种办法的核心是要将分遗产的过程无限的进行下去，每分一次剩下的马匹数都缩小到上一次的1/18，最后每个人分得的马匹数就逼近于一个整数了，这实际就是极限的思想的一个具体应用。,由于小学生的年龄特点的限制，他们对具体的、数量有限的事物容易理解，对抽象的、数量无限的事物难于把握。但作为
36、教师我们不能无视极限思想方法的重要性，还应该着眼于学生的长远发展及终身发展，因此，我们在小学数学教学中应针对小学生的特点，将极限有思想方法进行适度的渗透。我想教师应该抓住机会进行分层渗透，切不可急功近利。,层次一：帮助学生理解无限。数量无限多。现行小学教材中有许多知识点会涉及到数量无限多的情况。在“自然数”、“奇数”、“偶数”、这些概念教学时，教师可让学生体会自然数是数不完的，奇数、偶数的个数有无限多个。在循环小数这一部分内容中，1 3=0.333是一循环小数，它的小数点后面的数字是写不完的。通过这些方面让学生初步体会“无限”思想，这样的例子在小学数学教学中还有很多。比如 商不变性质教学后的练
37、习：（32）（8）4让学生体会内可填入无限多数，再如：在学习分数基本性质后的练习中，教师又要求学生在1分钟内写一些与某个分数相等的分数，让学生体会这样的分数也是无穷无尽的。,图形无限延伸。小学几何概念中有许多概念是具有无限性的，如直线、射线、角的边、平行线的长度等等它们都是可以无限延伸的。这些概念在现实生活中并不是真实存在的（现实生活中你找不到一条能无限延伸的线），它们只是存在于人脑的想象之中，是人脑抽象的结果。而这种想象又是进一步学习数学的必不可少的基础能力。因此，在图形教学中培养学生空间想象力，培养学生的无限观念是非常重要的。以上两点是从不同方面体现了“无限”的观念，并不是真正意义上的“极
38、限”，然而，培养学生的无限观念是形成极限思想的基础，离开无限谈极限是没有任何意义的。所以，不应该因为“无限极限”而忽视对无限性的教学。,层次二：帮助学生理解逼近。“无限极限”的原因在于无限的结果可能是收敛的，也可能是发散的。由于小学生的生活经验、数学知识还比较贫乏，他们只能通过一些具体的事例，逐渐感悟到什么是“无限地逼近”，为将来学习“收敛”这个数学中概念积累一些感性的认识。因此，逐步理解“逼近”是形成极限思想的另一个重要方面。受年龄特征的制约小学生对极限思想不会有深刻的理解，但这并不等于我们在小学数学教学中可以淡化对极限思想的渗透，相反我们应该抓住一切可以利用的契机加以渗透，为他们将来学习极
39、限理论，提高抽象思维，奠定基础。我们认为小学数学教学中可以在以下几方面加强对极限思想加以渗透（渗透点）。(1)在公式推倒过程中渗透极限思想。,【案例】“圆的面积”。在教学“圆面积公式的推导”一课时，有的教师是这样设计的。师：我们学过了一些图形的面积计算公式，今天我们来研究圆的面积公式。你们有什么办法吗？生：可以把圆转化为我们学过的图形。师：怎么转化？生：分一分。演示把圆平均分成了2分，把两个半圆地拚起来，结果还是一个圆。生：多分几份试一试。演示把一个圆分割为完全相同的小扇形，并试图拚成正方形。从平均分成4个、8个、到16个师：你们有什么发现？,生：分的份数越多，拼成的图形就越接近长方形。课件继
40、续演示把圆平均分成32个、64个完全相同的小扇形。教师适时说“如果一直这样分下去，拼出的结果会怎样？生：拼成的图形就真的变成了长方形，因为边越来越直了。这个过程中从“分的份数越来越多”到“这样一直分下去”的过程就是“无限”的过程，“图形就真的变成了长方形”就是收敛的结果。学生经历了从无限到极限的过程，感悟了极限思想的具大价值。,学生有了这个基础，到将来学习圆柱体积公式的推导时就会很自然地联想到这种办法，从而再一次加以利用解决问题，在不断的应用中学生的极限思想会潜移默化地形成。以上计算公式的推导过程，采用了“变曲为直”、“化圆为方”极限分割思路。在通过有限想象无限，根据图形分割拼合的变化趋势，想
41、象它们的最终结果。既使学生掌握了计算公式，又萌发了无限逼近的极限思想。,(2)在数学练习中挖掘极限思想 一些老师的练习设计往往是侧重于对基础知识的巩固，通过练习培养学生的基本技能，针对培养学生数学思想方法的练习题相对较少。然而，学生的数学思想的形成是靠不断的积累、不断的运用来形成的，能够自主运用思想解决问题是学生数学素养的具体体现，它应该贯穿于数学学习的始终。练习作为学生数学学习的重要环节，也应该承担这方面的任务。因此，教师在练习题的设计时要注意极限思想的体现。,在大学数学教材学习极限之前通常引用庄子天下篇引用过的一句话：一尺之棰，日取其半，万世不竭。”，于是在五年级学生学习了分数这一单元后，
42、我把它改造成以下的一个题目:庄子天下篇引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”也就是说一根长为一尺的木棒，每天截去一半，这样的过程可以无限制地进行下去。如果我们按照上述方法操作，第1天截去后剩下部分的长度占原长的()/()，第2天截去后剩下的占全长的()/()，第3天截去后剩下的占全长的()/()，第10天截去后剩下的占全长的()/()，第n天截去后剩下的占全长的()/()，如果我们这样不断地截下去，木棒所剩部分的长度是（）。,这道题的过程性比较强，学生做过此题后可以根据答案所呈现出的规律性，感悟出木棒所剩部分的长度会趋向于0。在解题的过程中可以体会到初步的极限思想，而且可以受到一定的
43、传统文化的熏陶，事实证明学生还是非常感兴趣的。,又如在学习分数加法后我们可以设计练习：1/2+1/4+1/8+1/16 方法一 学生多数是利用通分的方法统一分母后，按分数加法的法则进行计算的。但如果此题只使用到这个程度还是远远不够的。方法二我们发现在这个算式中，任意相邻的两个分数，后一个分数总是前一个分数的一半。如果设S=1/2+1/4+1/8+1/16 那么2S=S=1+1/2+1/4+1/8+我们用2SS得：S=(1+1/2+1/4+1/8)-(1/2+1/4+1/8+1/16)=1-1/16=15/16 问题得以解决。这个办法的核心是相互抵消的思想，且具有浓烈的代数的味道，对于从算术到代
44、数的过渡也很有意义。,方法三先画一个大正方形，它的面积是1，如图所示(略)，从图中可以直观地看出：1/2+1/4+1/8+1/16=1-1/16=15/16。在此基础上可以把问题进一步变化为：用数形结合的方法加以解决，从图中直观地看出随着加数的不断增加，空白部分的面积逐渐扩大，并且越来越接近正方形的面积即不断地逼近1，当有无限多项相加时其结果为1。,通过多种办法解决这个题目的动态过程中学生在收获知识的同时，极限思想、数形结合的思想、相互抵消的策略等数学思想又为学生解题方法的创新提供了可能，培养了思维的灵活性。总之，练习的设计不能仅仅着眼于一个问题的解决，而是关注学生在解决这个问题中自主领悟到的
45、数学知识及思想方法，更关注在解决问题中数学素养的形成。,三 使用新教材要正确处理传统与现代的关系,随着课程改革的推进，新的教学方式和手段已日渐被广大教师所接受，并应用于教学实践中，课堂教学有了新的活力。但由于不少教师对新课程理念理解不全面、不准确，思想上比较浮躁，行动上比较激进，在课堂教学中赶时髦，盲目追“新”，把传统的教学方式和手段一概摒弃。不能正确处理传统与现代的关系,其结果势必影响学生的发展和教学质量的提高。因此在教学中我们要处理好传统与现代的关系,必须注意下几个方面.,(1)有了“创设情境”，莫丢“复习铺垫”标准在教学建议中指出：“要创设与学生生活环境、知识背景相关的学生感兴趣的学习情
46、境、让学生在观察、操作、猜测、交流、反思等活动中逐渐体会数学知识的产生形成与发展的过程，获得积极的情感体验，同时掌握必要的基础知识与基本技能。”创设情境作为新课标倡导的教学理念之一，已成为广大一线教师的共识。针对传统教学中数学知识的呈现过于抽象，缺乏现实背景的依托，数学知识显得枯燥乏味，数学课堂显得毫无生气而言，创设情境的确对小学数学课堂产生了积极的影响。,很多教师通过创设情境有效地激发学生兴趣，形成认知冲突，唤起求知欲望，课堂教学充满活力，促进了学生的学习。但是，不少教师误认为数学课都要用情境引入，传统教学中的“复习铺垫”、“以旧引新”过时了，落后了、不再适用了。上述做法,一方面造成过于花哨
47、的或牵强附会的情境充斥着数学课堂，另一方面学生在学习新知识的过程中所必需的旧知识不能及时再现，找不到新知识的“固着点”，造成学生理解上的困难，这既不利于新知识的学习，更不利于学生沟通新旧知识的联系，构建知识系统。,小学数学教科书将“数与代数”、“空间与图形”、“统计与概率”、“实践与综合应用”有机地结合起来，形成以数的认识和运算为主线，其余内容纵横交织的立体结构。有的新知识的学习所必需的旧知识，学生已学很久而被遗忘，为了扫清学习的障碍，激活学生学习新知识所必需的旧知识，为新知识提供“固着点”，适当的“复习铺垫”、“以旧引新”是完全必要的。,如教学比的基本性质时，与其煞费苦心地创设情境，倒不如从
48、复习除法中的商不变性质和分数的基本性质来引入，学生很快就能发现比的基本性质，而且也助于学生对性质的理解，更有利于沟通它们间的联系，形成知识系统，减轻学生记忆的负担。因此，数学课的引入是创设情境，还是复习铺垫，应视教学内容而定，绝不能千篇一律。,(2)有了“探究学习”，莫丢“接受学习”,探究学习是不呈现学习结论，而是让学生通过对一定材料的实验、尝试、推测、思考，去探究和发现数学知识的新的学习方式。探究学习比较开放，它更重视学生学习动机的激发和学生主体作用的发挥，更强调让学生经历知识的形成过程，有利于学生思维能力和创新潜能的发挥，是标准倡导的学习方式。,但我们也应该清醒地认识到：有效的教学应采用多
49、种方式和策略，数学教学只用探究是不可取的，也是行不通的。因为用探究的方法教学费时较多，不能保证学科教学任务的完成。同时用一种教学方法教学，学生容易乏味，教学效率也是很低的。更何况在小学数学知识领域的某些内容（如最原始的数学概念，数学中的某些规定，以记忆为目标的知识等）不适宜探究，应采用接受学习。不少教师错误地认为在实施新课程的过程中应该采用探究学习，不能再用接受学习，对接受学习采用摒弃的态度。处处都让学生亲自发现、独立探索或合作交流，造成课堂教学的少、慢、差、费。,如“小括号”的教学，一位教师让学生去探索怎样在算式548+22中表示出要先算8+22。学生的积极性很高，充分发挥了创造性。有的说在
50、8+22下面写上先算，有的说在8+22的下面画一条横线表示先算，有的说在8+22的前后各画一个五星表示先算，众说纷纭，耗时达数分钟，谁也没说出应该用小括号。教师只能无奈地讲：“同学们想出了很多方法，但这些方法都不好，在数学上规定要改变运算的顺序，就要用小括号。”学生的积极性受到严重的挫伤。,试想，既然是规定，何不用“接受学习”，用讲授法直接告诉学生呢？这样的探究价值何在？课堂教学的实践告诉我们，“探究学习”和“接受学习”都是学生学习必需的，各有利弊，各司其职，不可偏废。而且在一堂课里，两种学习方式兼而有之，相互配合，相互补充。课标倡导的“动手实践，自主探索，合作交流”等学习方式，是针对传统教学
