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1、第五章 信号处理初步,3.1 数字信号处理基础 3.2 相关分析及其应用 3.3 功率谱分析及其应用,3.1 数字信号处理,1.概述 数字信号处理主要研究用数字序列来表示测试信号，并用数学公式和运算来对这些数字序列进行处理。其主要内容包括数字波形分析、幅值分析、频谱分析和数字滤波。如：001 011 110 111 通常把研究信号的构成和特征值称为信号分析 把信号经过必要的变换以获取所需信息的过程称为信号处理 模拟信号处理系统和数字信号处理系统,物理信号,x(t),传感器,电信号,信号调理,电信号,A/D转换,数字信号,数字信号分析仪或计算机,显示,y(t),2.数字信号处理的基本步骤,物理信
2、号,传感器,电信号,信号调理,电信号,A/D转换,数字信号,采样,3.数字信号,模拟信号,离散时间信号,3.0129623.,时间离散,幅值连续,量化,编码,离散时间信号,数字信号,量化把采样信号x(nTs)经过舍入变为只有有限个有效数字的数，这一过程称为量化,时间离散,幅值连续,1,3,6,7,3,1,5,0,7,7,000 001 011 110 111 111 111 100 011 001 000,模拟信号采样后的电压幅值变成为离散的二进制数码时，舍入到相近的一个量化电平上引起的随机误差。量化误差e 在(Dx/2,+Dx/2)区间内出现概率相等。误差的标准差为:se=0.29Dx,离散
3、时间信号,Dx,量化误差,4.采样、混叠和采样定理,(1).信号采样和混叠,采样频率,采样时间,按此采样频率，两个信号数字信号相同,x1(t),x2(t),(2).信号混叠理论分析,不生产混频的条件：,若模拟信号x(t)为有限带宽信号，其最高频率为fc，为了避免混叠，以使采样处理后仍有可能恢复原信号，则采样频率fs必须大于或等于最高频率fc的两倍，即,对研究对象感兴趣的频率可能远小于研究对象的最高频率fc，这样，在信号采集前用一个抗混频滤波器，把不感兴趣的频率成分先滤掉。,(3).采样(香农）定理,频域采样,13,5.信号的截断、能量泄漏和窗函数,x(t),x(t)WR(t),加窗,采样,x(
4、t)WR(t)g(t),(1).矩形窗函数,WR(f)为一个无限带宽信号，其幅值随f 逐渐衰减，这样频谱有主瓣和旁瓣。,主瓣,旁瓣,如果窗的宽度越大，即时间序列截取的越长，其频谱的旁瓣占的比例越小。,当窗口长度为无限大时，即截取所有的时间序列，则信号的频谱WR(f)变为d(f)，即只有主瓣，而没有旁瓣。,旁瓣,旁瓣,窗函数,正弦信号,正弦信号的加窗,窗函数的频率,正弦信号的频谱,皱纹,主瓣,旁瓣,(2).信号加窗分析与能量泄漏,正弦信号加窗后的频谱,.,=,*,=,周期信号截断后的频谱一定是连续谱,将截断信号谱|X(f)WR(f)|与原始信号谱X(f)相比较可知，它已不是原来的两条谱线，而是两
5、段振荡的连续谱.原来集中在f1处的能量被分散到两个较宽的频带中去了，这种现象称之为频谱能量泄漏。,(3).如何尽可能减少能量泄漏？,泄漏是不可避免的，因为任何的窗函数的频谱都不会变为d(f),选择好的窗函数，尽可能减少能量的泄漏。,好的窗函数，就是窗函数的频谱尽可能衰减的快，即主瓣和旁瓣的比例尽可能的大。,主瓣,旁瓣,(4).常用的窗函数,1）矩形窗,2）三角窗,3）汉宁窗,(5).信号加窗采样分析,模拟信号,周期单位脉冲序列,数字信号,窗函数,频域采样,3.2 相关分析及应用,1.相关的概念,相关：指两变量之间的线性关系,人的身高和体重的关系,确定性信号：两个变量 t、y之间用函数关系来描述
6、 y=10sin(2p t+j0),(a),(b),(c),2.相关函数和相关系数,随机变量x(t)和y(t)在不同时刻的乘积平均来描述它们之间的线性相关程度，称为相关函数，表示为：,式中，t(-,)，表示时间位移，或时延，为连续变量，与t无关。,(1).相关函数,用相关系数表示两个变量x、y之间的相关程度,|rxy|1,当rxy=1时，则随机变量x、y具有理想的线性关系,当rxy=0时，两随机变量x、y完全不相关,例如，玻璃管温度计液面高度(Y)与环境温度(x)的关系就是近似理想的线形相关，在两个变量相关的情况下，可以用其中一个可以测量的量的变化来表示另一个量的变化。,(2).相关系数,设y
7、(t+t)是y(t)时延t 后的样本，对于x(t)和y(t+t)的相关系数 rx(t)y(t+t)简写为rxy(t),(5-19),(5-10),(3).相关函数和相关系数的关系,推导,设x(t)是各态历经随机过程的一个记录样本，而x(t+t)是x(t)时移t后的样本。令x(t)x(t)，y(t+t)x(t+t)，则得到x(t)的自相关函数Rx(t),自相关函数：描述随机过程一个时刻的幅值与另一个时刻幅值之间的依赖关系。或者说，现在的波形与时间坐标移动了之后的波形之间的相似程度。,3.自相关函数,自相关系数rx(t),(5-14),(5-15),(1).自相关函数的性质,1）Rx(t)的值限制
8、范围为,(5-16),2)Rx(t)为偶函数,t+t t,(5-13),(5-15),自相关函数的性质,d(t+t)=d(t),(5-18),3）当时延t=0时，Rx(0)达到最大值。即Rx(0)|Rx(t)|,(5-13),(5-14),(5-17),自相关函数的性质,x(t)在同一时刻的记录样本完全成线性,如果均值mx=0，则,4）当t 时，x(t)和x(t+t)之间不存在内在联系，彼此无关,(5-13),(5-14),如果均值mx=0，则Rx(t)0。,自相关函数的性质,x(t)与x(t)彼此无关,5）当信号x(t)为周期函数时，自相关函数Rx(t)也是周期的，且周期相同,若周期函数为x
9、(t)=x(t+nT)，则其自相关函数为,(5-13),t t+nT,例5-1：求正弦函数x(t)x0Sin(w t+j)的自相关函数。,保留幅值和频率信息，丢失初始相位信息,推导,6）当信号x(t)是由完全独立的信号l(t)和噪声信号n(t)组成，那么x(t)的相关函数是这两部分各自的自相关函数之和。即：若x(t)=l(t)+n(t)则 Rx(t)=Rl(t)+Rn(t),自相关函数Rx(t)的应用,可根据自相关图的形状来判断信号的性质,由性质5)知，周期信号的自相关函数仍为周期信号，t 时，Rx(t)不衰减且周期与原周期一致；而对随机信号，当 t 时，Rx(t)衰减0(mx=0)。,利用自
10、相关函数进行机械设备的故障诊断,a)正弦波加随机噪声信号,b)正弦波加随机噪声信号的自相关函数,34,自相关分析测量转速,理想信号,干扰信号,实测信号,自相关系数,提取周期性转速成分。,4.互相关函数,对于各态历经随机过程，两个随机信号x(t)、y(t)的互相关函数定义为,互相关函数Rxy(t)描述一个系统中的一处测点上所得的数据x(t)与同一系统的另外一测点数据y(t)互相比较得出它们之间的关系。也就是说，Rxy(t)是表示两个随机信号x(t)、y(t)相关性的统计量。,(5-19),互相关系数,|rxy(t)|1,当rxy(t)=1时，则随机变量x、y具有理想的线性关系,当rxy(t)=0
11、时，两随机变量x、y完全不相关,1）互相关函数的限制范围为,mx my-sxsyRxy(t)mx mysx sy,|rxy(t)|1,(5-20),互相关函数的性质,(1).互相关函数的性质,2)互相关函数是可正、可负的实函数,x(t)和y(t)均为实函数，Rxy(t)也应当为实函数。在t=0时，由于x(t)和y(t)可正、可负，故Rxy(t)的值可正、可负,3)互相关函数非奇函数、非偶函数，而是Rxy(t)=Ryx(-t),互相关函数的对称性,(5-19),令 t-t t,d(t-t)=d(t),4)Rxy(t)的峰值不在t=0处，其幅值偏离原点的位置反映了两信号时移的大小，相关程度最高。在
12、t0时，Rxy(t)出现最大值，它反映x(t)、y(t)之间传输通道的滞后时间。,互相关函数的性质,峰值点,5）两个不同频率的周期信号，其互相关函数为零,x(t)x0Sin(w1t+q)，y(t)y0Sin(w2t+q-j),不同频率不相关,正余弦函数正交性,推导,6）两个同频率正弦函数的互相关函数Rxy(t)：,求x(t)=x0Sin(w t+q)，y(t)=y0sin(w t+q j)互相关函数Rxy(t),互相关函数不仅保留了两个信号的幅值x0、y0信息、频率 w 信息，而且还保留了两信号的相位j 信息,同频率正弦相关,推导,7)同频相关，不同频不相关,8）周期信号与随机信号的互相关函数
13、为零,由于随机信号y(t+t)在时间t t+t内并无确定的关系，它的取值显然与任何周期函数x(t)无关，因此，Rxy(t)=0。,相关函数的性质,(1)自相关函数是 的偶函数，Rx()=Rx(-)；(2)当=0 时，自相关函数具有最大值。(3)周期信号的自相关函数仍然是同频率的周期信号，但不保留原信号的相位信息。(4)两周期信号的互相关函数仍然是同频率的周期信号，且保留原了信号的相位信息。(5)两个非同频率的周期信号互不相关。(6)随机信号的自相关函数将随 的增大快速衰减。,(2).互相关函数Rxy(t)的工程应用,1)确定信号通过一给定系统所需要的时间,一个信号x(t)经过测试系统后输出y(
14、t)的时间t0，这个时间就是由Rxy(t)的互相关图中峰值的位置来确定,利用互相关分析确定信号通过系统的时间,互相关函数的性质,2）消除噪声影响，提取有用信息,利用互相关分析仪消除噪声的工作原理图,a)正弦波加随机噪声信号,b)正弦波加随机噪声信号的自相关函数,3)对复杂信号进行频谱分析,利用互相关分析仪分析信号频谱的工作原理图,x(t)x0Sin(w t+q)，y(t)y0sin(w t+q j)的互相关函数,x(t)x0Sin(w1t+q)，y(t)y0Sin(w2t+q j)的互相关函数,4)地下输油管道漏损位置的探测,S1-S2=vtm,S1-S2=2S,1,2,S1,S2,传输通路分
15、析,5)寻找振源故障诊断,1.巴塞伐尔(Paseval)定理,在时域中计算的信号总能量，等于在频域中计算的信号总能量，,(5-30),3.3 功率谱分析及应用,沿频率轴的能量分布密度,2.自谱和互谱,(1).自谱定义,Sx(f)包含着Rx(t)的全部信息。,Rx(t)为实偶函数，Sx(f)也为实偶函数。,(5-27),(5-28),对信号x(t)其均值mx=0，且x(t)中无周期成分即 Rx(t)0，则,(2).互谱定义,Sxy(f)保留了Rxy(t)的全部信息,Rxy(t)为非奇非偶函数，因此Sxy(f)具有虚、实两部分,(5-38),(5-39),(5-28),(5-29),所以,信号x(
16、t)的平均功率,无数不同频率上的功率元,1),(5-29),(5-13),(3).自谱的物理意义,Sx(f)自功率谱密度函数,(5-27),自功率谱密度函数是偶函数，它的频率范围是(-,)，又称为双边功率谱密度函数。,单边谱和双边谱,可用在(0,)频率范围内的单边功率谱密度函数来表示信号的全部功率谱，即,2),3)自功率谱密度函数Sx(f)和幅值谱X(f)的关系,信号的平均功率,(5-30),(5-29),直接对时域信号作傅立叶变换来计算功率谱,1)求系统幅频特性|H(f)|,理想单输入、输出线性系统,Y(f)=H(f)X(f),Sy(f)=|H(f)|2 Sx(f),Gy(f)=|H(f)|
17、2 Gx(f),Sxy(f)=H(f)Sx(f),可以证明,(5-35),(5-35.a),(5-44),式(5-35)和(5-35.a)表明：,通过输入、输出的自谱分析，就能得出系统的幅频特性，不能得到系统的相频特性,由式(5-44)可知：,从输入的自谱和输入、输出的互谱就可以得到系统的频率响应函数；所得到的 H(f)不仅含有幅频特性而且含有相频特性,(3).功率谱的应用,互相关函数、和 均为零,2)互谱排除噪声影响,受外界干扰的系统,系统的输出y(t)为,输入x(t)和噪声n1(t)、n2(t)和n3(t)是独立无关的,所以,式中，H(f)=H1(f)H2(f),(5-45),输入x(t)
18、和输出y(t)的互相关函数为,(5-46),(5-47),(5-48),评价测试系统的输入信号与输出信号之间的因果关系，,判断系统中输出信号的功率谱中有多少是所测输入信号所引起的响应,用相干函数表示,(5-49),g 2xy()=0：输出、输入信号不相干,g 2xy()=1：输出、输入信号完全相干，不受干扰且是线性的,g 2xy()0，1：有如下三种可能,测试系统有外界噪声干扰；,输出y(t)是输入x(t)和其它输入的综合输出；,联系x(t)和y(t)线性系统是非线性的.,3.相干函数,船用柴油机润滑油泵压油管振动和压力脉动间的相干分析,油压脉动自谱,油管振动自谱,相干函数的应用,设y(t+t
19、)是y(t)时延t 后的样本，对于x(t)和y(t+t)的相关系数 r x(t)y(t+t)简写为rxy(t),相关函数和相关系数,返回,例1：求正弦函数x(t)x0Sin(w t+j)的自相关函数。,正弦函数,正弦函数的自相关函数,它保留了变量 x0(t)的幅值信息 x0 和频率 w 信息，但缺丢掉了初始相位j 信息。,自相关函数的性质,返回,5）两个不同频率的周期信号，其互相关函数为零,x(t)x0 Sin(w1t+q)，y(t)y0Sin(w2t+q j),互相关函数Rxy(t)的性质,返回,两个同频率正弦函数的互相关函数Rxy(t)：,求x(t)x0Sin(w t+q)，y(t)y0s
20、in(w t+q-j)互相关函数Rxy(t),互相关函数不仅保留了两个信号的幅值 x0、y0信息、频率 w 信息，而且还保留了两信号的相位j 信息,返回,自相关函数,互相关函数,(3-43),(3-44),自相关函数,互相关函数,有限时间内观测得到的样本函数的平均值,有限长采样的序列点N的数字信号,(3-45),(3-46),相关函数估计,1）根据原始信号计算相关函数，然后进行傅立叶变换,(3-25),(3-27),2）模拟方法,(3-33),中心频率为、带宽为B的带通滤波器滤波后的时域信号：,(3-31),因此，进行功率谱估计时：,自谱的模拟分析原理框图,互谱估计,(3-32),(3-47)
21、,3）数学信号处理技术估计,(3-34),得离散随机序列x(n)的自功率谱密度为,其估计为,对于互谱为：,(3-47),返回,1）用一个固有频率为1200Hz的振动子去记录某基频为600Hz的方波信号，试分析记录结果，并绘出记录波形的示意图。2)对三个简单周期信号x1(t)=cos2p t，x2(t)=cos6p t，x3(t)=cos10p t 进行理想采样，采样频率fs=4Hz。要求 画出的波形及采样点位置。画出三个信号的采样输出序列。比较三个输出序列，解释频率混叠现象。3)在数字信号处理过程中，混叠是什么原因造成的？如何克服混叠现象？泄漏又是因何而起？如何减少泄漏误差？,习题,4)已知某信号的自相关函数为:Rx(t)=Acosw0t，试确定该信号的平均功率和标准差。5)试求正弦信号x(t)=sinw0t 和基频与之相同的周期方波信号y(t)的互相关函数。其中，,2)现用FC6-30型振动子去记录10Hz的正弦信号，信号的幅值为2V，要求在记录纸上偏转50mm。试求需串、并联的电阻值(设信号源的内阻为200),
