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1、第四章 杆件的横截面应力,4-1 平面图形的几何性质,杆件承载能力除与其材料性能,加载方式和尺寸有关外,还与杆件截面的几何形状有关.,一、静矩和形心微面积 dA 乘以坐标 z 称为dA对y轴的静矩:同样，dA对 z 轴的静矩为:平面图形 A 对两坐标轴的静矩为:,静矩是可加的,即,利用计算均质板形心的公式,可知计算几何图形形心的公式:,C点是平面图形A的形心的充分必要条件：平面图形A对过C点任意方向轴的静矩为零。SzC=0；SyC=0。,根据静矩定义和静矩的可加性，为了简化复杂图形的形心计算，可以将复杂图形A分为Ai，i=1,2,n，则,这种方法称为组合法.,例1：求抛物线 z=hy2/b2下
2、方面积的形心。解：,例2：求图示面积的形心。解：,二、惯性矩,惯性积和惯性半径,微面积元dA乘以坐标z的平方称dA对y轴的惯性矩 同样，dA对z轴的惯性矩为 dA对O点的极惯性矩为平面图形A对两坐标轴的惯性矩和对O点的极惯性矩分别为:惯性半径定义为：,微面积元 dA 乘以 yz 称 dA 对 yOz 轴系的惯性积：平面图形A对坐标轴系的惯性积为 惯性积反映平面图形对坐标轴系的对称性,以上讨论都与转动惯量的计算方法相似。,例 4-3 求矩形对边轴和形心轴的惯性矩。解：,例 4：求圆对形心轴的惯性矩和极惯性矩。解：,三、平行移轴公式,研究平面图形对两组相平行的轴系的惯性矩、惯性积之间的关系。首先根
3、据坐标平移公式,取O1点为平面图形的形心，且SyC=SzC=0，可得对于惯性积，用同样结果可以得到,针对形心轴系的平行移轴公式,以上公式与计算转动惯量所用的平行轴定理非常相似。,例5：求图形对形心轴和y、z轴的惯性矩。解：,四、转轴公式,研究将坐标系逆时针旋转角时，平面图形A的惯性矩和惯性积在新、老轴系之间的变化规律。坐标旋转公式：,转轴公式的推导,平面图形A对旋转后的y1轴的惯性矩：,平面图形A对旋转后的z1轴的惯性矩：,平面图形A对新轴系的惯性积：经整理后,由前面的推导，可以得到,平面图形A对过O点任意方向轴的惯性矩之最大、最小值 极值条件：惯性主方向：惯性主轴：平面图形A对过O点沿惯性主
4、方向的轴称惯性主轴。对称轴是惯性主轴，和该主轴垂直的轴也是惯性主轴。,主惯性矩：是平面图形A对过O点惯性主轴的惯性矩；也是平面图形A对过O点各轴惯性矩的极大、极小值。过形心的惯性主轴称为形心惯性主轴（形心主惯性轴）。过图形上的任何一个点，都可以找到一对相互垂直的惯性主轴。,一.应力即：单位截面积上作用着的内力 平均应力：一点处的应力：-正应力；切应力。,4-2 应力与应变的概念,应力的量纲：FL-2，单位：MPa=106N/m2。二.应变 概念:弹性变形;塑性变形 应变:描述变形的剧烈程度.应变分为线(正)应变和切应变.平均线应变 线应变 切应变表示材料内部两正交线段在变形后的角度变化.或:切
5、应变是直角的改变量.,三.简单的应力-应变关系1.胡克定律 E-弹性模量,单位:GPa 1 GPa=10 9 Pa2.波松比 杆件在轴向伸长时其横向同时缩短-波松比/-横向线应变 3.剪切胡克定律4.E G 三者之间的关系,4-3 轴力与弯矩所引起的应力,一.轴力在横截面引起的应力,当杆段发生伸长、缩短时，其横截面仍为平面，仍垂直于轴线，无任何转动，杆的横截面面积发生变化。,在杆件横截面上变形均匀。根据对材料的连续性假设，在杆件横截面上内力均匀分布，即杆件在拉压时横截面上仅有正应力，且在横截面上均匀分布。,例4-6：如图杆件，已知qx，试求杆件中的最大应力。解：先作杆件的轴力图.可以发现，FN
6、的最大值出现在杆的两端.故最大应力也出现在杆的两端.,斜截面上的应力:,拉压杆任一斜截面上的应力也是均匀分布的：正应力和切应力：最大切应力：,一点的应力状态：过该点所有方向的截面上的正、切应力的总和。一般用微单元体来描述。,弯矩在横截面引起的应力 1.纯弯曲和平面假设 纯弯曲：杆件的横截面上只有弯矩，无其它内力。平面假设：梁在变形后，横截面仍然保持为平面，仍垂直于变形后的轴线，绕中性轴发生转动。,中性轴和中性层：梁在变形后，横截面上一部分材料受拉，另一部分材料受压，两部分的界线为一直线，称中性轴。各截面的中性轴连成中性层。中性层上无伸长、缩短变形（既不受拉也不受压）。,纵向纤维互不挤压假设：梁
7、中各平行于轴线的纵向截面上无正应力。,2.纯弯曲梁的弯曲正应力,变形几何关系,物理关系（应力应变关系）,应用胡克定律得,静力学关系,由 轴力为零,结论：在纯弯曲时，中性轴过形心。,由 正应力的合成结果是弯矩,由(1)(2)(3)式，得纯弯曲梁横截面正应力的计算公式,3、横力弯曲时的正应力,在截面上一般FS和M都非零。严格地讲，由于FS的作用，横力弯曲时平面假设不能成立。但对于细长梁来说，由此引入的误差很小，故认为，FS引起的横截面翘曲对变形几何关系的影响较小。在横力弯曲时，纵向纤维互不挤压的假设也不能成立。但因为在绝大多数情况下，纵截面上的正应力不大，因此对变形几何关系的影响较小。总之：在横力弯曲时，对于细长梁，上面的应力公式可以继续使用。,工程上关心梁的最大正应力；对于塑性材料制成的梁，通常采用中性轴对称截面，这时最大拉、压应力相等，即,Wz-抗弯截面系数,对于矩形截面：对于圆形截面对于环形截面,4-4 扭矩所引起的应力,
