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1、第一章 随机事件及其概率,1.1 随机事件,自我介绍,成绩考核,若干年前，美国某电视节目出了下面一个问题：有三扇门，其中一扇门的后面是一辆汽车，另两扇门的后面则各有一只羊，你可以猜一次，猜中羊可以牵走羊，猜中汽车则开走汽车。当然大家都希望能开走汽车。现在假如你猜了某扇门的后面是车（例如1号门），然后主持人把无车的一扇门（例如3号门）打开。此时，请问：你是否要重新选择？,概率统计 是研究随机现象数量规律的,数学学科,理论严谨,应用广泛,发展迅速.,目前,不仅高等学校各专业都开设了这门课,程,而且从上世纪末开始，这门课程特意,被国家教委定为本科生考研的数学课程之,一，希望大家能认真学好这门不易学好
2、又,前,言,不得不学的重要课程.,本学科的 ABC,概率(或然率或几率)随机事件出现,的可能性的量度 其起源与博弈问题有关.,16世纪意大利学者开始研究掷骰子等赌博,中的一些问题；17世纪中叶，法国数学家B.帕,斯卡、荷兰数学家C.惠更斯 基于排列组合的方,法，研究了较复杂 的赌博问题，解决了“合理,分配赌注问题”.,概率论是一门研究客观世界随机现象数量,规律的 数学分支学科.,公元1651年法国著名数学家帕斯卡1623-1662收到法国大贵族 德.美黑 的一封信，信中请教了关于赌金分配的问题：“两个赌徒规定谁先赢3局就算赢了，如果一个人赢了2局,另一个人赢了1局，此时赌博终止，应该怎样分配赌
3、本才算公平合理？”,合理分配赌注问题,赌博中的概率,假设你和舍友用一次投掷骰子的结果来决定由谁负责打扫寝室，如果出现2点至6点则明天由你来打扫寝室，如果出现点数1则后面五天都由他来负责打扫，你认为此次“赌博”是否是“公平”的？,事实上，赌博的公平性是和概率中的概念“期望”密切相关。,发展则在17世纪微积分学说建立以后.,基人是瑞士数学家J.伯努利；而概率论的飞速,第二次世界大战军事上的需要以及大工业,与管理的复杂化产生了运筹学、系统论、信息,论、控制论与数理统计学等学科.,数理统计学是一门研究怎样去有效地收集、,整理和分析带有随机性的数据，以对所考察的,问题作出推断或预测，直至为采取一定的决策
4、,和行动提供依据和建议的 数学分支学科.,论；使 概率论 成为 数学的一个分支的真正奠,对客观世界中随机现象的分析产生了概率,统计方法的数学理论要用到很多近代数学,知识，如函数论、拓扑学、矩阵代数、组合数,学等等，但关系最密切的是概率论，故可以这,样说：概率论是数理统计学的基础，数理统计,学是概率论的一种应用.但是它们是两个并列,的数学分支学科，并无从属关系.,本学科的应用,概率统计理论与方法的应用几乎遍及,所有科学技术领域、工农业生产和国民经,济的各个部门中.例如,1.气象、水文、地震预报、人口控制,及预测都与概率论紧密相关；,2.产品的抽样验收，新研制的药品能,否在临床中应用，均要用到假设
5、检验；,6.探讨太阳黑子的变化规律时,时间,可夫过程 来描述;,7.研究化学反应的时变率，要以马尔,序列分析方法非常有用;,4.电子系统的设计,火箭卫星的研制及其,发射都离不开可靠性估计;,3.寻求最佳生产方案要进行实验设计,和数据处理；,5.处理通信问题,需要研究信息论；,水库调度、购物排队、红绿灯转换等，都,可用一类概率模型来描述，其涉及到 的知,目前,概率统计理论进入其他自然科学,装卸、机器维修、病人候诊、存货控制、,8.生物学中研究 群体的增长问题时，,提出了生灭型随机模型，传染病流行问,题要用到多变量非线性生灭过程；,9.许多服务系统，如电话通信、船舶,识就是 排队论.,领域,特别是
6、经济学中研究最优决策和经,济的稳定增长等问题,都大量采用概率,统计方法.法国数学家拉普拉斯(Laplace),说对了:“生活中最重要的问题,其中绝大,领域的趋势还在不断发展.在社会科学领,多数在实质上只是概率的问题.”,英国的逻辑学家和经济学家杰文斯曾,对概率论大加赞美：“概率论是生活真正,的领路人,如果没有对概率的某种估计,那,么我们就寸步难行,无所作为.,Nankai University,偶然与必然,国王想处死一位大臣，但还不想让“暴君”的名声落在自己头上。行刑之前，执行官将两张纸条递给大臣示意他抽取一张。,大臣抽了一张并将其塞进嘴里吞了下去，说：“我接受了神的审判，你看看剩下的字条就知
7、道我吞进去的是什么了。”大家一看剩下的字条上写的“死”.这是天意吗？,观察下面几种现象,选择一个字母填入：A.必然发生;B.必然不发生;C.事先不能确定.,现象1 苹果自然成熟离开果树时,会往地上落.(),现象2 在摄氏 25 度的室温下,纯水会结冰.(),一、随机试验与随机事件,现象3 掷一颗骰子,出现 7 点.(),观察下面几种现象,选择一个字母填入：A.必然发生;B.必然不发生;C.事先不能确定.,现象4 2015 年正月初一广州的天气是晴天.(),由此可知,在自然界、生产实践和科学实验中,人们观察到的现象一般可分为必然现象和 随机现象两大类.,上面五种现象,我们各选择了一个字母填入：或
8、填(A)必然发生;或填(B)必然不发生;或填(C)事先不能确定.,在一定条件下必然发生或必然不发生的现象,在一定条件下,事先不能断言会出现那种结果的现象.,如：某射手打靶,可能击中靶心,也可能击不中靶心,其结果事先无法确定.这是随机现象.,但是该射手在同一条件下射击 500次,经统计其击中靶心 452 次,即击中靶心的机会约是 90%.这种规律称为随机现象的统计规律.,随机现象在一次观察中其结果虽然事先无法确定,但是在相同条件下,进行大量重复试验,随机现象也会呈现出某种规律性.,随机现象的统计规律,在相同条件下大量重复投掷一枚硬币时,出现正面与出现反面的机会应该相等,即在大量的试验中出现正面可
9、能性是 50%.,这种规律性称为统计规律性.,如,每上抛一次硬币就是一次试验;每射击一次就是一次试验;每抽取一张扑克牌就是一次试验.,什么叫随机试验？,随机试验与随机事件,可重复性,可观察性,不确定性,随机试验的特点,样本点记作,全部样本点的集合称为样本空间，记作,试验不可再分的基本结果称为基本事件，也称为样本点.,例1 掷一颗骰子,它落地时,出现点数的一切可能结果有六种：1,2,3,4,5,6.,样本空间,再如,观察某电话交换台一天内收到的呼叫次数.样本点有无穷多个，样本空间：,又如,从一批灯泡中任意抽取一个，测试其寿命.样本点也有无穷多个（且不可数），样本空间：,例2 掷一枚硬币三次,出现
10、的一切可能结果有八种，即八个样本点，或者说八个基本事件.样本空间：,由基本事件复合而成的称为随机事件.简称事件.用大写字母 A,B,C表示.,什么叫随机事件？,基本事件是不可再分解、最基本的事件.,掷一颗骰子,它落地时,出现点数的结果还可能是:,出现 1点,出现 3点,出现 5点,B=出现偶数点,C=出现奇数点,D=出现的点数大于2,这些也都是随机事件,却不叫基本事件.如,等等.,三个基本事件,出现 4点,出现 3点,出现 5点,由两个或两个以上基本结果构成的事件称为一般事件,四个基本事件,出现 6点,又如,随机事件,一般事件,基本事件（样本点）,在随机试验中,每一种可能发生的结果称之为,什么
11、是必然事件?,什么是不可能事件?,必然事件 与不可能事件 从本质上来讲是属于确定性现象,已不是随机事件,但是为了研究问题方便,仍然把它们当作随机事件,是随机事件的两个特殊情况.,例:在掷一颗骰子,落地时“出现点数”的随机试验中,基本事件有六个,就是全集,6 个基本事件都是它的子集.,6 个基本事件对应的元素是 1,2,3,4,5,6.由这 6 个基本元素组成的集合就是样本空间,A1=1点,A2=2点,A3=3点,A4=4点,A5=5点,A6=6点,B,C 都是样本空间的子集,因此用集合的观点来讨论事件之间的关系与运算就比较方便.,B=出现偶数点=2,4,6,C=出现的点数不小于 3=3,4,5
12、,6.,就是由 3 个基本元素 2,4,6 表示的集合.,仍在这个试验中,一般事件,就是由 4 个基本元素 3,4,5,6 表示的集合.,从集合论的观点看,样本空间 相当于全集,每一个随机事件 A 是 的一个子集.,(1).事件的包含,若事件 A 发生必然导致事件 B 发生,则称事件 A 包含于事件 B,或称事件 B 包含事件 A.,二、事件的关系与运算,两个事件相等就意味着这两个事件的构成是相同的.,即 A 的出现必然导致 B 的出现,而B 的出现也必然导致 A 的出现.,(2)事件的相等,(3)事件的和(并),由事件 A 与 B 至少有一个发生构成的事件,称为事件 A 与 B 的和(并).
13、,A+B 意味着 A 发生或者 B 发生.,如,在掷骰子的试验中,B=2,4,6=A2+A4+A6.,(4)事件的积(交),由事件 A 与事件 B 同时发生构成的事件,称为事件 A 与 B 的积(交).,AB,AB 意味着 A 出现而且 B 也出现.,如,在掷骰子的试验中,B=出现偶数点,C=点数不小于 3,则,=4,6.,BC=出现的偶数点不小于 3,(5)互逆事件(对立事件),若事件 A 与 B 满足:A+B=,AB=,则称事件 A 与 B 互逆(或对立).,如图中黄色部分所示.,(6)事件的差,由事件 A 发生而 B 不发生构成的事件,称为事件 A 与 B 的差.,如,在掷骰子的试验中,
14、=3,5,B=出现偶数点,C=点数不小于 3,CB=,CB=3,4,5,6 2,4,6=3,5,出现奇数点的点数不小于 3,(7)互不相容事件(互斥事件),若事件 A 与 B 不能同时发生,即 AB=,则称事件 A 与 B 互不相容(或互斥).,如图所示.,如,在掷骰子的试验中,A2 2点和 A4 4点不可能同时出现,所以 A2 和 A4 互斥.,在一个随机试验中,基本事件是互斥的.,(8).完备事件组,若事件 A1，A2，An 满足:,如,在掷骰子的试验中,B=出现偶数点,C=点数不小于 3,=1,3,5,CB=,=3,5,显然,结合事件差的定义,有,3,4,5,6 2,4,6,互斥与互逆有
15、什么区别与联系?,(1)AB=,A 与 B 互斥,(2)A+B=,AB=,A 与 B 互逆.,互斥不一定互逆,互逆一定互斥,只需要满足一个条件,需要同时满足两个条件,由互逆的定义,事件 A,B 满足对偶律:,用个实例来验证,“并的补”=“补的交”“交的补”=“补的并”,从一批进口钢材中随机截取一段,进行测试,设事件 A=强度合格,B=硬度合格,则,记号 概率论 集合论 样本空间,必然事件 全集 不可能事件 空集 样本点 元素 AB A发生必然导致B发生 A是B的子集 AB=A与B互不相容 A与B无相同元素 AB A与B至少有一发生 A与B的并集 AB A与B同时发生 A与B的交集 AB A发生且B不发生 A与B的差集 A不发生、对立事件 A的余集,P20：2,用事件A,B,C 的运算关系式表示下列事件:,(1)A,B 发生,但 C 不发生;,(2)A,B,C 都发生;,(3)A,B,C 不都发生;,(4)A,B,C 恰有两个发生;,(5)A,B,C 中至少有两个发生;,(4)A,B,C 恰有两个发生;,(5)A,B,C 中至少有两个发生;,所以 A、B、C 恰有两个发生,即为,作业,习题1(A)P20 2（2）（4）（6）（8）,
